精品解析：辽宁锦州市普通高中2026届高三质量检测（二）数学试题

2026年锦州市普通高中高三质量检测（二） 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用并集定义计算求解. 【详解】因为集合，，则 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 2i 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，故其虚部为. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可. 【详解】由，得，即，解得，此时. 所以，则. 4. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（ ） A. 40%分位数 B. 60%分位数 C. 75%分位数 D. 85%分位数 【答案】B 【解析】 【详解】由表格可知，分数段的占比为，分数段的占比为，该区间的分数范围是分. 110分与90分的差值为分，因此分在的占比为：. 将低于分的占比与分在区间内的占比相加，即110分对应的百分位数为第百分位数. 5. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 或 B. 或2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解． 【详解】原方程整理得 ， 且， 当焦点在轴上，则，，满足，即. 由离心率，得，解得，符合条件. 当焦点在轴上，则，，满足，即. 同理，解得，符合条件. 6. 《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【答案】C 【解析】 【详解】设海岛到前表水平距离为，岛高为， 则，解得， 岛高为步． 7. 已知，则等比数列，，的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数换底公式将，转化为以2为底的对数，结合等比中项性质，解出和的关系式，再代入数列的项，利用等比数列公比的定义计算公比. 【详解】，，为等比数列， ，整理得； 或. ，，得. ，，. 公比. 8. 是定义在上的函数，满足对都成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，依次代入特殊值，，，联立方程组，即可求出. 【详解】令，则①， 令，则②， 令，则③， 令，则④， 联立③④，解得，，将代入②，解得， 再将代入①，解得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A. 与有且只有两个公共点 B. C. 若，则 D. 使成立的值不存在 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由写出椭圆、双曲线的基本量与离心率，联立两曲线方程得仅有两个横轴交点判定A正确；代入离心率表达式化简验证不等于1知B错误；由平方求解得，算出判定C正确；再联立双曲线渐近线与椭圆求得交点，利用向量运算表示并与列方程，解得与矛盾，故满足条件的不存在，D正确. 【详解】已知椭圆，双曲线. 椭圆参数：，，，离心率. 双曲线参数：，，，离心率 选项A:联立与方程：， 两式相加得，代入得，公共点为，，共2个，故A正确. 选项B:，故B错误. 选项C,， 平方得，，故C正确. 选项D:双曲线的渐近线：，第一象限渐近线. 联立椭圆：，，即. 椭圆顶点，，， ，， ，, 由，平方得，与矛盾，故不存在，D正确. 10. 已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得，，得到，，结合条件概率的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于B，由，可得， 因为，可得， 所以，所以B正确； 对于A，由，可得，所以A错误； 对于C，由，可得， 且， 根据条件概率的公式，可得，所以C正确； 对于D，由条件概率的计算公式，可得，所以D正确. 11. 函数，则（ ） A. B. C. 存在对称轴 D. 存在对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过可发现函数具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析是否具有对称中心，将化为，通过构造函数，结合导数与单调性得到，都有，进一步证明即可. 【详解】函数解析式可化为：， 则，选项A正确； 因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称， 故曲线也关于直线对称，选项C正确； 要证，即证. 当时，左右两边均为0，等式成立. 令，则，则在上单调递增. 当时，，所以. 当时，，所以，所以. 因此，，都有，当时等号成立. 所以，当时，有， 又， 所以成立， 综上，成立，选项B正确； 对于D选项，若存在一点使得关于点对称，则， 通过分析发现不可能为常数，故选项D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据为等差数列，求出，再根据的关系求出通项公式，然后检验是否符合即可. 【详解】解：由是首项为1，公差为的等差数列，则，所以， 当时，， 当时，， 检验，当时，，所以该公式对也成立， 所以. 13. 在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知及棱锥的体积关系得，，且，即可得. 【详解】如下图示，由分别为侧棱的中点，则，， 且，所以，， 由，即， 所以，， 又， 所以. 14. 已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】对求导得到切线斜率的表达式，设两条互相垂直切线的斜率分别为、，根据两直线垂直的条件，可得；结合导数的值域，分析满足时的取值. 【详解】，； 曲线上任意一点处切线的斜率为，由于，即斜率的取值范围为. 要使图象上有两条切线互相垂直，即存在，使得. 区间内必须同时包含正数和负数，即，得. 设，则. ，即； ，得； ，； ，解得，得. 当时，斜率的取值范围为，可取，，符合题意. . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据平面，得，根据三角形性质得，进而得到平面，面面垂直的判定即可得出结果； （2）建立空间直角坐标系，设，平面法向量，求出坐标，法一：根据直线与平面所成角的向量求解；法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角，最后根据三角形性质求解. 【小问1详解】 因为平面，在平面内，所以， 在中，，，，所以， 又，为的中点，所以， 又， 在平面内，所以平面， 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，平面法向量. 则，，， 令则， 取平面的法向量， 所以， 解得. 法一：即，，取平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则. 所以，直线与平面所成角的正切值为. 法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角， ，在中，，，， 所以，直线与平面所成角的正切值为. 16. 已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. （1）求轨迹的方程； （2）求值. 【答案】（1）当时，；当时，， （2） 【解析】 【分析】（1）由点到定点与到定直线的距离关系式，平方化简后按、分类，求得动点轨迹为抛物线及轴负半轴； （2）设直线方程与抛物线联立，由韦达定理得纵坐标和与积，再依据向量建立两点纵坐标关系，代入式子求出，最终换算得出直线斜率. 【小问1详解】 设点坐标是，则根据题意可知 ， 化简可得. 当时，；当时，； 【小问2详解】 当时，不符合题意， 当时，设直线，，， 联立，得， 由韦达定理可得， 又因为，所以， ，解得， 所以. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； （3）设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 【答案】（1）表格如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据求出、的方程组，解出这两个参数的值，结合可求出的值，结合五点法可完善表格； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出的取值范围，再结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域； （3）利用正弦型函数的对称性得出，根据已知条件得出，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因为，故， 由可得；由可得；由可得. 完善表格如下： 【小问2详解】由题可得， 当时，，则， 函数的值域为. 【小问3详解】 函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、， 当时，，由可得， 所以直线是的一个对称轴，而区间的区间长度为一个周期. 所以两个交点关于直线对称，且， 所以， 所以 . 18. 高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. （1）若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； （2）当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2）6827 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用二项分布的概率公式计算即可；（ⅱ）利用二项分布的期望和方差公式计算. （2）根据二项分布的期望和方差公式求出和，再结合正态分布性质求解. 【小问1详解】 （ⅰ）. （ⅱ）由（ⅰ）知小球落入3号槽的概率为，由题意知， 所以， . 【小问2详解】 一个小球最终落入的凹槽标号满足， ，， 由题可知小球最终落入的凹槽标号服从正态分布， 所以估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数为6827. 19. 已知函数，其中，. （1）求的单调区间； （2）若的极小值点为1，且， （ⅰ）证明：，； （ⅱ）设函数，若有唯一零点，证明：，. 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）（ⅰ）根据题意，求得，，得到，令，求得为偶函数， 转化为当时，恒成立，结合二项展开式和组合数的性质，即可得证； （ⅱ）根据题意，得到，设，利用导数求得单调性和最小值，得到，进而分别证得和，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 可得其定义域为，且， 当时，可得，所以在和上单调递减； 当时，令，可得或， 令，可得或 因此，当时，无单调递增区间，单调递减区间为和； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 【小问2详解】 解：（ⅰ）因为的极小值点为1，可得，即，解得， 又因为，可得，即，符合题意， 设， 因为函数的定义域关于原点对称， 且 ，所以函数为偶函数， 只需证明时，不等式恒成立， 因为 所以， 又因为， 所以 ， 因为， 所以， 则， 即， （ⅱ）由函数，且函数有唯一零点， 可得，即， 设，可得， 当，，单调递减；当，，单调递增； 所以在取最小值， 即，即，当且仅当时等号成立， 先证， 因为，可得，即， 因为，所以，可得， 当，， 可得， 当时也满足，所以， 再证： 由，可得， 又由，所以，即， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以，所以，则， ， 综上可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年锦州市普通高中高三质量检测（二） 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 2i 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 4. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（ ） A. 40%分位数 B. 60%分位数 C. 75%分位数 D. 85%分位数 5. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 或 B. 或2 C. D. 6. 《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 7. 已知，则等比数列，，的公比为（ ） A. B. C. D. 8. 是定义在上的函数，满足对都成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A. 与有且只有两个公共点 B. C. 若，则 D. 使成立的值不存在 10. 已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数，则（ ） A. B. C. 存在对称轴 D. 存在对称中心 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 13. 在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为________. 14. 已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 16. 已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. （1）求轨迹的方程； （2）求值. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； （3）设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 18. 高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. （1）若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； （2）当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 19. 已知函数，其中，. （1）求的单调区间； （2）若的极小值点为1，且， （ⅰ）证明：，； （ⅱ）设函数，若有唯一零点，证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $