18.1 矩形 分层练习 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，分层覆盖基础理解、性质应用及综合拓展，通过梯度题型培养几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|矩形定义、性质辨析|选择填空结合，如性质对比题，强化概念认知| |性质应用|角度、线段、面积计算|解答题为主，如利用对角线求角度，培养运算能力| |综合拓展|折叠、动点、判定综合|探究题与证明题，如折叠问题结合方程思想，发展空间观念与创新意识|

华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 分层练习 矩形性质的理解 1如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A. B. C. D. 2矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 3矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是         ．（填代号） ①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形． 4如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，，若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的点A1处，则点A1的坐标为      ． 利用矩形的性质求角度 1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则(　　)    A. B. C. D. 2如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 3如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点E，若，则        ． 4如图，在矩形中，延长至点，使，连接，若，求的度数． 5如图，在矩形中，，于点F. (1)求证：； (2)连接，若，求的度数. 利用矩形的性质求线段的长度 1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作交于点，若的周长为，，则的长为(　　) A. B. C. D. 2如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（　　） A. B. C.1 D. 3已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 =           ．    4如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E． (1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明； (2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长． 利用矩形的性质求面积 1如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　） A. B. C.5 D.10 2如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 3矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为               ． 4如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为   ． 5如图，为矩形对角线的交点，，；，，求四边形的面积． 利用矩形的性质证明 1证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．    证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是(　　) A. B. C. D. 2如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 3如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有           （填序号）． 4在矩形中，，是对角线的交点，过作于点，的延长线与的平分线相交于点，与交于点．下列四个结论中正确的是       ． ①；②；③；④；⑤是等边三角形． 5如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 6如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，．求证：平分． 矩形中的折叠问题 1如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　) A. B. C.5 D. 3如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上F处，已知，，则的长为      . 4如图，在矩形中，点是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，如果，，那么的长为      ． 矩形中的动点问题 1如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为(　　) A. B. C. D. 2如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　) A.当点P与点A重合时，最小 B.当点P与点D重合时，最小 C.当最小时，A、E、C三点共线 D.当最小时， 3在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为      ． 4如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 用定义判定矩形 1在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 3如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 4如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DEAB交AE于E，则四边形ADCE的形状是           . 5如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 6如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC． （1）求证：∠ADO＝∠BCO； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 用角判定矩形 1下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 2如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 4课本在线我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流． 定理  有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．    已知：如图，四边形中，． 求证：__________________． 证明：， _______________° （______________）， 又， ______________． ． 四边形是平行四边形（______________）． 又， 是矩形（______________）． 5工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 6如图所示，点是线段上的一点，，平分交于点，平分，于点，求证：四边形是矩形． 用对角线判定矩形 1如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 2如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 3下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 4如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 5在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 6如图，在中，，延长至点D，使，过点D作交的延长线于点E，连接、，求证：四边形为矩形．    矩形判定定理的理解 1依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)    A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③ 2有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是(　　) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 3在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有    ．（把你认为正确说法的序号全部填上） 4用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有        ．（只要填序号即可） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有． ④量出两条对角线长，看是否相等． 添一条件使四边形是矩形 1下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 2如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(　　) A. B. C. D. 3如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是(　　)    A. B. C. D. 4如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件        ，使四边形是矩形． 5如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是      （填一个即可）． 6已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． (1)求证：； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 综合利用矩形的判定与性质进行求解 1如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　) A.240 B.192 C.120 D.96 2如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是(　　)cm2 ． A.16 B.4 C.8 D.16 3如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是    ．      4如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 5如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若，求的度数． 6如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，是平行四边形的对角线，交的延长线于点G． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的度数． 综合利用矩形的判定与性质进行证明 1平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 2已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 3已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 4如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 5如图'，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 分层练习（参考答案） 1矩形性质的理解 1如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴不一定成立，一定成立，，不一定成立， 故选：B． 2矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 【答案】D 【解析】A.矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意； B.矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意； C.矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意； D.矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故符合题意． 故选D． 3矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是         ．（填代号） ①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形． 【答案】④⑤⑥ 【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是： ④对角线相等； ⑤4个角都是90°； ⑥轴对称图形． 故答案为：④⑤⑥． 4如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，，若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的点A1处，则点A1的坐标为      ． 【答案】 【解析】由旋转的性质得：OA1= OA=4， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCB= 90°， ∴A1C =， ∴A1的坐标为， 故答案为：. 2利用矩形的性质求角度 1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则(　　)    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】四边形是矩形， ，，， =， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 2如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故选：D． 3如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点E，若，则        ． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴（矩形的对角线平分且相等）， 又∵， ∴， ∴（三角形内角和定理）， 又∵（三角形外角性质）， ． 故答案为：． 4如图，在矩形中，延长至点，使，连接，若，求的度数． 【答案】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 5如图，在矩形中，，于点F. (1)求证：； (2)连接，若，求的度数. 【答案】解：（1）在矩形中，， ∴. 在和中， , ∴. ∴. （2）在矩形中， ∴. 又∵， ∴. 在和中， ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 3利用矩形的性质求线段的长度 1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作交于点，若的周长为，，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∵的周长为，， ∴，即， ∵在中， ， ∴， 解得：， ∴的长为． 故选：B. 2如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（　　） A. B. C.1 D. 【答案】A 【解析】如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴线段是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：A. 3已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 =           ．    【答案】 【解析】如图，    延长交于点，连接， ∵是矩形的对角线的中点， ∴， ∵， ∴, ∴（）， ∴，． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，, ∴， ∴． 故答案为． 4如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E． (1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明； (2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长． 【答案】解：（1）BP=CP，理由如下： ∵CG为∠DCF的平分线， ∴∠DCG=∠FCG=45°， ∴∠PCE=45°， ∵CG⊥AP， ∴∠E=∠B=90°， ∴∠CPE=45°=∠APB， ∴∠BAP=∠APB=45°， ∴AB=BP， ∵AB=BC， ∴BC=2AB， ∴BP=PC； （2）∵△ABP≌△CEP， ∴AP=CP， ∵AB=3， ∵BC=2AB=6， ∵， ∴， ∴BP=． 4利用矩形的性质求面积 1如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　） A. B. C.5 D.10 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴OB＝OA＝OC， ∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝OC， ∴， 在中， ∵AB2+BC2＝AC2，BC＝5， ∴AB2+＝（2AB）2， 解得：AB＝5， ∴△ABC的面积是， 故选：A． 2如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 【答案】C 【解析】为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 3矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为               ． 【答案】 【解析】如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝，∠BAD＝90°， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴BO＝AB＝4， ∴BD＝2BO＝8， ∴AD＝, ∴矩形ABCD的面积＝, 故答案为：． 4如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为   ． 【答案】 【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G， ∴HF＝AD，AF＝HD， ∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为， ∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝， ∴OA＝＝， ∵四边形AOBC是矩形， ∴OB＝AC，AC∥OB， ∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE， ∵∠AFC＝∠OEB＝90°， ∴△AFC≌△OEB （AAS）， ∴CF＝BE，AF＝OE＝， ∵HF＝AD＝1，HC＝4， ∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3， ∴AC＝＝， ∴矩形AOBC的面积＝AO•AC＝＝ ． 故答案为：． 5如图，为矩形对角线的交点，，；，，求四边形的面积． 【答案】解：∵，， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∴DE=OC，OD=CE， ∵CD=CD， ∴△EDC≌△OCD(SSS)， ∴， ∵四边形ABCD是矩形，为矩形对角线的交点， ∴OB=OD，CD=AB=6， ∴， ∴ ∴. 5利用矩形的性质证明 1证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．    证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 则在“______”处应该补充的证明过程是， 故选：C． 2如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 【答案】C 【解析】过点C作，交的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积是定值，故A正确； ∵， ∴的值不变，故B正确； ∵， ∴，故D正确； ∴的值不变不成立， 故选：C． 3如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有           （填序号）． 【答案】①②④ 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵矩形中，与平行，且， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 4在矩形中，，是对角线的交点，过作于点，的延长线与的平分线相交于点，与交于点．下列四个结论中正确的是       ． ①；②；③；④；⑤是等边三角形． 【答案】②③④⑤ 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠FAB=45°， ∴∠AFB=45°， ∴∠AFC=135°，CF与AH不垂直， ∴点F不是AH的中点，即AF≠FH， ∴①错误； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC=OD=OB，BD=AC， ∵∠ADB=30°， ∴∠ABO=60°， ∴△ABO是等边三角形，故⑤正确； ∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠AFB， ∴∠BAF=∠AFB， ∴AB=BF， ∵AB=BO， ∴BF=BO， ∴②正确； ∵∠BAO=60°，∠BAF=45°， ∴∠CAH=15°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEO=90°， ∵∠EOC=60°， ∴∠ECO=30°， ∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH， ∴AC=CH， ∴③正确； ∵△AOB是等边三角形， ∴AO=OB=AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AB=CD， ∴DC=OC=OD， ∵CE⊥BD， ∴DE=EO=DO=BD， 即BE=3ED， ∴④正确； 所以其中正确结论有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 5如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 6如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，．求证：平分． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 6矩形中的折叠问题 1如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】∵折叠, ∴, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, ∵, ∴, 在中，, 即, 解得, ∴, 故选：B. 2如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　) A. B. C.5 D. 【答案】A 【解析】四边形为矩形，，， ，， 设，则， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 解得， ， 故选：A． 3如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上F处，已知，，则的长为      . 【答案】 【解析】∵是沿折叠得到的， ∴, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, 在中，， 根据勾股定理可知， ∴, ∴, 设，则， 在中，， 即, ∴，即， 故答案为：． 4如图，在矩形中，点是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，如果，，那么的长为      ． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7矩形中的动点问题 1如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在Rt△ABE中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 2如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　) A.当点P与点A重合时，最小 B.当点P与点D重合时，最小 C.当最小时，A、E、C三点共线 D.当最小时， 【答案】D 【解析】如图，以为边向右作等边，连接．    是等边三角形， ，，， ， ， ，， 点在射线上运动，且，设交于点， 则， 当时，的长最小，此时，则， ，， ， ，即：点为中点， ， ， ． 综上，当点为中点时，的长最小，此时， 故选：D． 3在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为      ． 【答案】1或9 【解析】当点线段上时，如图，    与关于直线对称， ，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， ； 当点在的延长线时，如图，    与关于直线对称， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为1或9， 故答案为：1或9． 4如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD，∠A＝∠C＝90°， ∵BF＝DH， ∴BC﹣BF＝AD﹣DH，即CF＝AH， 又AE＝CG， ∴△HAE≌△FCG， ∴HE＝FG， 同理可证：HG＝FE， ∴四边形EFGH是平行四边形． （2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点． 理由如下： 如图，连接AC、AG、CE，设AC、EG的交点为M． ∵AE∥CG，AE＝CG， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴MA＝MC，MG＝ME， 即点M为AC的中点， 又矩形ABCD的对角线互相平分 ∴点M为矩形对角线ACBD的交点， ∴直线GE总过AC、BD的交点M． 8用定义判定矩形 1在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形, 故选：B. 2下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C.有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意； D.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 3如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 【答案】B 【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误； B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确； C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误； D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误． 故选：B． 4如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DEAB交AE于E，则四边形ADCE的形状是           . 【答案】矩形 【解析】∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE=∠EAC， ∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC， ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC， ∴， 又∵， ∴四边形EABD是平行四边形， ∴AE平行且等于BD， ∵AB=AC，点D为BC的中点, ∴BD=DC=AE， ∴四边形EADC是平行四边形, 又∠ADC=90°, ∴平行四边形EADC是矩形． 故答案为：矩形． 5如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． 6如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC． （1）求证：∠ADO＝∠BCO； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵点O是边AB的中点， ∴AO＝BO， 在△ADO与△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（SSS）， ∴∠ADO＝∠BCO； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠A+∠B＝180°， ∵△AOD≌△BOC， ∴∠A＝∠B， ∵∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝∠B＝90°， 即平行四边形ABCD是矩形． 9用角判定矩形 1下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； C.不是四边形，即不是矩形，不符合题意； D.该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 2如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以，, 则，，, 因为、、、分别是、、、的角平分线， 所以，， 所以，, 在中，， 即； 在中，， 即； 在中，， 即； 所以四边形是矩形, 故选：B. 3求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 【答案】A 【解析】∵， ③∴，． ②∴，． ①∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 所以，顺序为③②①． 故选：A． 4课本在线我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流． 定理  有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．    已知：如图，四边形中，． 求证：__________________． 证明：， _______________° （______________）， 又， ______________． ． 四边形是平行四边形（______________）． 又， 是矩形（______________）． 【答案】四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 又， ． ． 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 又， 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形. 5工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 【答案】三个角是直角的四边形为矩形 【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形． 故答案为：三个角是直角的四边形为矩形. 6如图所示，点是线段上的一点，，平分交于点，平分，于点，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：平分，平分已知， ，， ， ， ， ， ，平分已知， ，等腰三角形的“三合一”的性质， ， ， ， 四边形是矩形． 10用对角线判定矩形 1如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 2如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴， 当时， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A． 3下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 【答案】D 【解析】.两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意； 故选：． 4如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 【答案】矩 【解析】∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 5在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 【答案】矩 【解析】四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 6如图，在中，，延长至点D，使，过点D作交的延长线于点E，连接、，求证：四边形为矩形．    【答案】证明：∵， ∴， 在和中，． ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 11矩形判定定理的理解 1依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)    A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③ 【答案】C 【解析】图②可根据有三个角是直角的四边形是平行四边形证明该四边形是矩形，符合题意； 图③可由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明该四边形是矩形，符合题意； 根据现有条件无法证明图①中的四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 2有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是(　　) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【答案】B 【解析】①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意； ②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意； ③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件合题意； ④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件合题意； 故选：B． 3在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有    ．（把你认为正确说法的序号全部填上） 【答案】①② 【解析】①对角线AC、BD互相平分的四边形是平行四边形，又∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形，正确； ②∠A=90°，∠B=∠C=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，正确； ③只有对角线相等，不能判定其为平行四边形，也就不能判定四边形ABCD是矩形，所以不正确． 故应填：①②. 4用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有        ．（只要填序号即可） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有． ④量出两条对角线长，看是否相等． 【答案】①② 【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确； ②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确； ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有a2+b2=c2.可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误； ④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误； 综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②. 故答案为①②. 12添一条件使四边形是矩形 1下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，即对角线相等，    ∴平行四边形是矩形， ∴A选项符合题意； ∵，即一组邻边相等， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴B选项不符合题意； ∵，即对角线垂直 ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴C选项不符合题意； ∵，即一组边和对角线垂直， ∴平行四边形不能判定是矩形； ∴D选项不符合题意； 故选：A． 2如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.四边形是平行四边形， ，故选项A不符合题意； B.四边形是平行四边形， ，故选项B不符合题意； C.四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故选项C符合题意； D.四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 观察各选项只有添加B选项时可以， ∵， ∴四边形是矩形， 故选B． 4如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件        ，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即. 故答案为：（答案不唯一）． 5如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是      （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】添加的条件是（答案不唯一）， 理由是：，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 6已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． (1)求证：； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ∴. （2）解：，四边形是矩形．理由如下： ， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ，平分， ， 平行四边形是矩形． 13综合利用矩形的判定与性质进行求解 1如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　) A.240 B.192 C.120 D.96 【答案】B 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为， 故选：B． 2如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是(　　)cm2 ． A.16 B.4 C.8 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8 cm， ∴AO=OB=AB=4 cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 3如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是    ．      【答案】 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是由翻折得到的，， ∴，点、、在同一条直线上， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 【答案】 【解析】由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，连接， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 5如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵于点E，于点F， ∴， 又∵  ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是矩形； （2）由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，是平行四边形的对角线，交的延长线于点G． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的度数． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ， 分别为边的中点， ， ． ∵BE∥DF， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BG， ∵AG∥BD， ∴四边形AGBD是平行四边形， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝AB， ∵AE＝DE， ∴AE＝DE＝BE， ∴∠DAE＝∠ADE，∠EDB＝∠EBD， ∵∠DAE＋∠ADE＋∠EDB＋∠EBD＝180°， ∴2∠ADE＋2∠EDB＝180°， ∴∠ADE＋∠EDB＝90°，即∠ADB＝90°， ∴平行四边形AGBD是矩形． ∴∠G=90°． 14综合利用矩形的判定与性质进行证明 1平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，但对角线不一定垂直， 故选项C不一定正确； 故选：C． 2已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； ②∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ③连接， ∵四边形是矩形， ∴过点E，． 若，则，显然与不一定相等，故③不正确； ④∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选D． 3已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 4如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 【答案】①②④ 【解析】平移恰好到， 四边形为平行四边形， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 平分，故正确； 平分，平分， ，， 但， ，故错误； 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，故正确． 故选①②④． 5如图'，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形, ∴， 又∵, ∴四边形是平行四边形. ∵, ∴, ∴四边形是矩形. （2）由知四边形是矩形, ∴. 在 中,, ， ∵,, ∴, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴平分. 学科网（北京）股份有限公司 $