期末单元复习(3) 平行四边形和矩形、菱形与正方形-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

(-2)=6.A(2,4,San=2CD·(gx-c)=×6X(4-2)=6. 16.解：(1)2025(2)①购进B种饰品的数量是(400一x)件.根据题意，得 150≤x≤300.当150≤x≤250时，y=(30-20)x+(30-25)(400-x)=5.x +2000;当250<x≤300时，y=(30-20)×250+(30-20-3)(x-250)十 (30-25)(400-x)=2x+2750.y=/5r十？000150≤x≤250)， ②当 12x+2750(250x300). 150≤x≤250时，y=5x+2000,.5>0,y随x的增大而增大..当x=250 时，y值最大，y最大=5×250十2000=3250；当250<x≤300时，y=2x+2 750.,2>0,∴.y随x的增大而增大.∴.当x=300时，y值最大，y最大=2× 300+2750=3350.,3350>3250,∴.当购进A种饰品300件、B种饰品 100件时获利最大，最大利润是3350元. 期未单元复习（三）平行四边形和矩形、菱形与正方形 考点突破 【例1】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD. ./ABD=/CDB..AE|BD于E,CFI BD于F,../AEB=/CFD 90°.∴.△ABE≌△CDF(AAS)..BE=DF;(2)解：四边形MENF是平行 四边形.理由如下：由(1)可知，BE=DF.四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC.∴.∠MDB=∠NBD..DM=BN,∴.△DMF≌△BNE(SAS) ∴.MF=NE,∠MFD=∠NEB.∴.∠MFE=∠NEF..MF∥NE.∴.四边形 MEVF是平行四边形.【例2】解：(1)如图，线段BO即为 所求；(2)，由作图可得AO=CO,由旋转可得BO=DO.∴ 四边形ABCD为平行四边形.：∠ABC=90°，四边形 ABCD为矩形.【例3】证明：(1)：AB∥CD,∴.∠B+∠C =180°.∠B=∠D,∴∠D+∠C=180°.∴.AD∥BC.∴.四 边形ABCD是平行四边形.，AB=AD,.四边形ABCD 是菱形；(2)连结AC,∵AB=BC,∠B=60°，∴△ABC是 等边三角形，∴.AC=AB,∠BCA=∠ACD=∠B=60°， ∠BAC=60°.，'∠BAC=∠EAF,.∴.∠BAE=∠CAF.又 AB=AC,∠B=∠ACF,.△ABE≌△ACF(ASA). AE=AF.【例4】(1)解：猜想：BG=DE.证明：，四边形ABCD与四边形 CEFG都是正方形，∴.BC=DC,∠BCG=∠DCE=90°，CG=CE.∴.△BCG ≌△DCE(SAS).,∴.BG=DE.(2)证明：由(1)知，△BCG≌△DCE,,.∠CBG ∠CDE.又∠CGB=∠HGD,∴.∠BCG=∠DHG=90°，即BH⊥DE. 对点训练 1.C2.C3.504.解：(1)答案不唯一，如选取①②.证明：.在△BEO和 ∠1=∠2， △DFO中，BO=DO ∴.△BEO≌△DFO;(2)由(1)得△BEO≌ ∠EOB=∠FOD, △DFO,∴.EO=FO..AE=CF,∴.AO=CO.又BO=DO,∴.四边形ABCD 是平行四边形.5.D6.37.(1)证明：在矩形ABCD中，AB=CD,∠B =∠C=90°.∠BAE=∠CDF,.△ABE≌△DCF(ASA);(2)解：由(1) 知：△ABE≌△DCF,∴.AE=DF=13.AB=12,.BE=√AE-AB= 5.8.24cm9.解：①或②(2)选择条件①.证明：，AD为BC边上的中 线，∴.BD=CD.在□ABDE中，AE=BD,AE∥BD,∴.AE∥CD,AE=CD. ∴.四边形ADCE是平行四边形.又EC=DC,.四边形ADCE是菱形.选择 条件②.证明：AD为BC边上的中线，.BD=CD.在□ABDE中，AE= BD,AE∥BD,∴.AE∥CD,AE=CD.∴.四边形ADCE是平行四边形.又AC ⊥DE,.四边形ADCE是菱形.10.D 备考集训 1.D2.C3.B4.B5.C6.D7.D8.(4,2)9.910.③11.① ③④12.证明：：四边形ABCD是平行四边形，.∠B=∠D,AB=CD, ∠BAD=∠DCB..'AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,∴.∠BAE=∠DAE B=∠D, =∠BCF=∠DCF.在△BAE和△DCF中，AB=CD, ,.△BAE≌ ∠BAE=∠DCF, △DCF(ASA).∴.AE=CF.13.解：(1)证明：.四边形ABDE是平行四边 形，.AB=DE,AE∥BD,AE=BD.D为BC的中点，.CD=BD..CD ∥AE,CD=AE..四边形ADCE是平行四边形.又AB=AC,∴.AC=DE. ∴.平行四边形ADCE是矩形；(2)，四边形ADCE是矩形，.∴.AO=EO. ∠AOE=60°，..△AOE为等边三角形..∴.AO=AE=4..AC=2AO=8. 14.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC.∴.∠MDO=∠NBO, ∠DMO=∠BNO..MN是BD的垂直平分线，∴.OD=OB,MN⊥BD.在 ∠MDO=∠NBO, △DMO和△BNO中，∠DMO=∠BNO,∴.△DMO≌△BNO(AAS) OD=OB. ,∴.OM=ON.,OB=OD,,.四边形BMDN是平行四边形.MN⊥BD, ∴.四边形BMDV是菱形.(2)解：，AB=4,AD=8,四边形BMDN是菱形， ∴.设MD=MB=x,则AM=8-x.在Rt△AMB中，x2=(8-x)2+42.解得 x=5.即MD=5.∴.菱形BMDV的面积为5×4=20.15.证明：(1).四边 形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AD∥BC,BO=DO..∠ADF= ∠CBE.:E.F分别是OB,OD的中点∴DF=OF=OD,BE=E0= OB,.DF=BE.又AD=CB,∠ADF=∠CBE,..△ADF≌△CBE. .∠AFD=∠CEB,AF=CE..180°-∠AFD=180°-∠BEC,即∠AFO =∠CEO.∴.AF∥CE;(2),AC=2AB,AC=2AO,.AB=AO..E是OB 的中点，∴AE⊥OB.AF∥CE,AF=CE.∴.四边形AECF是平行四边形， ∴.AE∥FC,AE=FC.EG=AE,.EG=FC,EG∥FC..平行四边形 EGCF是平行四边形.：AE⊥OB,∴.∠GEF=90°.∴.平行四边形EGCF是 矩形.16.(1)解：猜想：PE=PB.:四边形ABCD是正方形，AC为对角 线，.CD=CB,∠ACD=∠ACB.又PC=PC,∴.△PDC≌△PBC(SAS) ∴.PD=PB.PE=PD,∴PE=PB;(2)解：(I)中的结论成立.证明：四 边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴.CD=CB,∠ACD=∠ACB.又PC =PC,.△PDC≌△PBC(SAS)..∴.PD=PB.PE= PD,∴.PE=PB;(3)解：如图3所示：结论：①PE=PB, ②PE⊥PB.理由：，四边形ABCD是正方形，AC为对 角线，..CD=CB,/ACD=/ACB,/BCD=/BCE= 90°.∴∠DCP=∠BCP.又PC=PC,∴.△PDC≌△PBC 图3 (SAS).∴.PD=PB,∠1=∠2.PE=PD,∴.PE=PB, ∠E=∠2..∠1=∠E.,'∠CJB=∠PJE,∴.∠BCJ=∠JPE=90°. ∴.PBPE. 期末单元复习（四）数据的分析 考点突破 【例1】B【例2】解：(1)a=7,b=1.2,c=7,d=7.5,e=1,f=3;(2)①从平 均数和方差相结合看：因为两人的平均数相同，但甲的方差小于乙的方差，故 甲的成绩更稳定；②从平均但甲的方差小于乙的方差，数和命中9环以上（包 括9环)次数相结合看：因为两人的平均数相同，命中9环以上（包括9环）甲为 1次，乙为3次，则乙的潜能更大.【例3】解：把数据从小到大排列：56788 9991010.下四分位数是7，中位数是8.5，上四分位数是9.画图略. 对点训练 1.A2.乙3.48 备考集训 1.B2.B3.B4.D5.B6.C7.D8.B9.8810.小李11.10 12.=13.解：(1)9.19.1(2)甲(3)应该推荐甲选手，理由如下：甲的 中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的 大，∴.应该推荐甲选手.14.解：(1)2.42.0(2)①小2(3)这片树叶 更可能来自玫现叶，理由如下：，树叶的长11cm,宽5.6cm,∴.长宽比为： 6≈2.∴这片树叶更可能来自玫瑰叶. 11 第二部分质量评价步步高 第15章学业质量评价 1.B2.A3.A4.C5.C6.A7.D8.A9.A10.C11.x≠-3 12.2ac13.a-114.-215.-116.1解：原式=1+号-(-1) =2 (2)解：原式=-3ab2÷ab1=-3b3.17.①一分式的性质 ②二去括号没有变号解：任务二：x十218.解：原式=(x十1)(x一D 1+x2-1 x+1 +而产有行+-D· x-7,当x=2 23跨单元整合 期末单元复习（三） 平行四边形和矩形、菱形与正方形 01考点突破 的周长是 A.26 B.28 突破点一平行四边形的性质与判定 C.26或28 D.无法确定 【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形， 3.如图，在□ABCD中，BD=CD, AE⊥BD于E,CF⊥BD于F. AE⊥BD于点E,若∠C=70°，则 (1)求证：BE=DF; ∠BAE= (2)若M、N分别为边AD、BC上的点，且 4.【新中考·条件开放】如图，四边 DM=BN,试判断四边形MENF的形状，并说 形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点 明理由 E,F分别在OA,OC上. (1)给出以下条件：①OB=OD,②∠1=∠2， ③OE=OF,请你从中选取两个条件证明 △BEO≌△DFO; (2)在(1)中你所选条件的前提下，添加AE= CF,求证：四边形ABCD是平行四边形. 【反思归纳】要证一个四边形是平行四边形，通常 结合已知条件选择判定方法，平行四边形的判定有四 种方法，从中选出最佳的证明方法， 突破点二矩形的性质与判定 对点训练 【例2】如图，Rt△ABC中，∠B=90°. 1.下列说法正确的是 (1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留 A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形 作图痕迹，不写作法)： 是平行四边形 (2)在(1)所作的图中，将中线BO绕点O B.平行四边形的对角互补 逆时针旋转180°得到DO,连结AD,CD.求证： C.有两组对角相等的四边形是平行四边形 四边形ABCD是矩形， D.平行四边形的对角线平分每一组对角 2.平行四边形ABCD一内角的平分线与一边相 交，并把这边分成4和5两部分，则□ABCD 助学助教优质高数116 对点训练 5.如图，矩形ABCD,将△BCD 沿对角线BD折叠，记点C的 40>.D 对应点C,若∠ADC=40°，则 B ∠BDC的度数为 () A.25 B.40° C.50° D.65° 6.如图，测量三角形纸片的尺寸，点B,C分别 对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中 【反思总结】根据题目条件选取合适的方法判定某 点，若∠BAC=90°，则AD的长为 cm. 四边形是菱形，本题选用“一组邻边相等的平行四边形 是菱形” 对点训练 B D 8.如图，在菱形ABCD 7.(2025·吉林)如图，在矩形ABCD中，点E, 中，对角线AC与BD F在边BC上，连结AE,DF,∠BAE= 相交于点O,若AB= ∠CDF 13cm,AC=10cm,则 (1)求证：△ABE≌△DCF; BD的长为 (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 9.【新课标·条件开放】如图，在△ABC中，已知 AD为BC边上的中线，以AB,BD为邻边作 □ABDE,连结EC,请你从下面方框中选择一 个补充条件，使得四边形ADCE是菱形 可选条件： ①EC=DC②AC⊥DE③∠ECD=909 (1)你选择的补充条件是 ； (2)在(1)的条件下，求证：四边形ADCE是 菱形. 突破点三菱形的性质与判定 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB= AD,∠B=∠D=60°，AB∥CD (1)求证：四边形ABCD为菱形； (2)点E,F分别在线段BC,CD上，连结 AE,AF,若∠EAF=60°，求证：AE=AF. 117八年级数学·下册·HS 突破点四正方形的性质与判定 DE的长为 ( 【例4】如图，B,C,E是同一直线上的三个 A.2 B.3 C.4 D.6 点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方 3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(） 形，连结BG,DE. A.对角线相等 (1)观察图形，猜想BG与DE之间的大小 B.对角线互相平分 关系，并证明你的结论； C.对角线互相垂直 (2)若延长BG交DE于点H,求证：BH⊥DE. D.每条对角线平分一组对角 4.如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与 DC,BC与AD分别重合，展开后得到四边形 EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH 的面积为 A.2 B.4 C.5 D.6 M B 第4题图 第5题图 5.如图，在∠MON的两边上分别截取OA,OB, 【反思归纳】正方形具有矩形与菱形的一切性质， 使OA=OB.分别以点A,B为圆心，OA长为 解决问题时一定要注意这些性质的综合应用. 半径作弧，两弧交于点C,连结AC,BC,AB, 对点训练 OC.若AB=2cm,四边形OACB的面积为 10.在下列说法中不正确的是 ( 4cm2,则OC的长为 () A.两条对角线互相垂直的矩形是正方形 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm B.两条对角线相等的菱形是正方形 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,∠BAD C.两条对角线垂直且相等的平行四边形是 =∠CAD,DE是△ACD的中线，若BC= 正方形 18,AD=12,则DE的长为 () D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 A.4 B.5.5 C.6 D.7.5 02备考集训(60分钟10分) 一、选择题（每小题4分，共28分） 1.如图，平行四边形ABCD中，AE平分 ∠DAB,若∠B=100°，则∠DEA等于() A.100°B.80% 第6题图 第7题图 C.60 D.40° 7.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E 是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连 结AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点M. 若BE=DF=1,则DM的长度为 () 第1题图 第2题图 2.如图，DE是△ABC的中位线，若AC=8,则 A.2 B.√5 C.√6 n.号 助学助教优质高数118 二、填空题（每小题4分，共16分）》 8.如图，□ABCO的顶点O,y C(1,2) A,C的坐标分别是(0,0)， B (3,0),(1,2),则顶点B的 0 A(3,0)￥ 坐标是 9.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,∠AOB=2∠BOC.若AC=18cm,则 13.(10分)(2025·南阳校级期末)如图，在 AD= cm. △ABC中，AB=AC,D为BC的中点，四边 10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E,F 形ABDE是平行四边形，AC,DE相交于 分别在线段AD及其延长线上，且DE= 点O. DF,给出下列条件：①BE⊥EC;②BF∥ (1)求证：四边形ADCE是矩形； CE;③AB=AC,从中选择一个条件，使四边 (2)若∠AOE=60°，AE=4,求AC的长， 形BECF是菱形，则这个条件是 (填 序号) E\M 第10题图 第11题图 11.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O,过点O作射线OM、ON分别交 边BC、CD于点E、F,且∠EOF=90°，连结 EF.给出下面四个结论：①△OEC≌ △OFD;②CF=OC;③四边形CEOF的面 积为正方形ABCD面积的是：④∠OEF 14.(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD 的垂直平分线MN与AD相交于点M,与 45°；⑤BE+CE=OE.上述结论中，所有 BC相交于点N,连结BM,DN. 正确的序号是 (1)求证：四边形BMDN是菱形； 三、解答题（共56分） (2)若AB=4,AD=8,求菱形BMDN的面积. 12.(10分)如图，在□ABCD中，AE平分 M ∠BAD,交BC于点E;CF平分∠BCD,交AD 于点F求证：AE=CF 119八年极数学·下册·HS 16.(14分)正方形ABCD,点P是对 角线AC所在直线上的动点，点E 在DC边所在的直线上，且随着 点P的运动而运动，PE=PD总成立 图1 图2 图3 (1)如图1，当点P在对角线AC上时，请你 15.(12分)如图1，在□ABCD中，对角线AC与 猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加 BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中 以证明； 点，连结AE,AF,CE,CF. (2)如图2，当点P运动到CA的延长线上 时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成 立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图3，当点P运动到CA的反向延长 图1 图2 线上时，判断此时PE与PB有怎样的关 (1)求证：AF∥CE 系？（直接写出结论不必证明） (2)如图2，延长AE至点G,使得EG=AE, 连结GC,若AC=2AB,求证：四边形 EGCF是矩形. 助学助教优质高数120