4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念(第1课时) 01 复习导入 等差数列的递推公式 (是常数， 且N*) (是常数， N*) 等差数列的通项公式 等差数列的前n项和 复习导入 探究：将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚? 假定纸的厚度为0.01mm，当折到30次时 纸厚度为 m 这个厚度超过了世界最高峰——珠穆朗玛峰的高度. 情境引入 02 等比数列的概念 情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ，， ，，， 情境2：《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开 始，各天得到的“棰”的长度依次是 思考：观察以上三个数列能发现什么规律? 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 新知讲解 等比数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q表示(). 等比数列的递推公式 新知讲解 等比中项 如果在 a 和 b 中间插入一个数，使 a，，b 成等比数列，那么叫做 a 与 b 的等比中项. 此时有： 注意： (1)是a与b的等比中项，则a、b同号. ，即等比中项有两个，且互为相反数． (2)当时，不一定是a与b的等比中项．例如 ． 新知讲解 问题1：等差数列的项、公差均可以是0吗?等比数列呢? 等差数列的项、公差可以是0，等比数列的项和公比均不可以是0. 问题2：常数列是等差数列吗?是等比数列吗? 常数列一定是等差数列，公差为0； 非零常数列是等比数列，公比为1. 问题3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列? 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. 新知讲解 1.判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)，，，，， (2)，，，， ， (3)，，，，， 2.(1)2与8的等比中项为_____；(2)和的等比中项为_____． 3.如果1，a，b，c，9成等比数列，那么(　 ) A．b3，ac9 B．b3，ac9 C．b3，ac9 D．b3，ac9 新知辨析 03 等比数列的通项公式 思考：类比等差数列，如何推导等比数列的通项公式? (1)归纳法 若等比数列的首项是，公比是，则根据定义可得， ，即 ， ，即 ， ，即 ， 由此归纳等比数列 的通项公式为 . 新知讲解 思考：类比等差数列，如何推导等比数列的通项公式? (2)累乘法 设在等比数列中，( ，，)， 则，， ，， 将以上这个等式相乘，得， 整理得 ， 当时，上面的式子也成立. 等比数列的通项公式为 . 新知讲解 等比数列的通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{}的通项公式为 等比数列的通项公式的一般形式： 新知讲解 【例1】若等比数列{}的第4项和第6项分别为48和12， 求{}的第5项. 例题剖析 【练习】在等比数列{}中，公比为q. (1)若a11，a48，求； (2)若a5a115，a4a26，求a3的值． 举一反三 04 等比数列的证明 【例2】已知数列满足，. 记.证明：数列是等比数列，并求通项公式. 例题剖析 判定等比数列的方法 (1)定义法：数列{}满足或 {}是等比数列． (2)等比中项法：若 {}为等比数列． (3)通项公式法：若数列{}的通项公式为 {}是等比数列． 规律方法 举一反三 【练习】已知数列{}满足，. 求证：数列{}是等比数列，并求{}的通项公式. 【练习】在数列{}中，，，求通项公式. 05 课堂小结 课堂小结 等比数列的概念 $