4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、等比中项及通项公式，以《孙子算经》“出门望九堤”等实例导入，类比等差数列，通过问题链引导学生从除法运算发现规律，搭建知识探究支架。 其亮点在于情境融合生活与文化，类比迁移培养逻辑推理，例题训练分层设计强化数学运算。小结梳理知识清单、强调方程思想、规避易错点，助力学生构建知识体系提升核心素养，教师可直接用丰富资源高效教学。

第一课时　等比数列的概念及通项公式 1 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念（数学抽象）. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算（数学运算）. 课标要求 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”其构成一个数列：9，92，93，…，98.这就是今天我们要探讨的等比数列. 情境导入 知识点一　等比数列的概念 01 知识点二　等比中项 02 知识点三　等比数列的通项公式 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 等比数列的概念 01 PART 目 录 问题1　观察下面三个问题中的数列，回答后面的问题： ①你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、 再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条，其面条根数依次是1， 2，4，8，16，32，64，128，…； ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭，”这句话 中隐藏着一列数： ， ， ， ， ，…； ③－ 的n次幂按1次幂，2次幂，3次幂，…，依次排成一列数：－ ， ， － ， ，…. 数学·选择性必修第二册 目 录 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规 律？你发现了什么规律？ 提示：通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于① ＝2，…；对于② ＝ ，…；对于③ ＝－ ，….其规律为从第2项开始，后一项与它的前 一项的比都等于同一个常数. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 概念：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 ⁠一 项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 2. 符号表示： ＝q（n∈N*且n≥2）或 ＝q（n∈N*）. 提醒：公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数. 2　 前　 比　 同一个　 公比　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P31练习1题）判断下列数列是不是等比数列，如果 是，写出它的公比. （1）1， ， ， ， ，…； 解：不是等比数列. （2）10，10，10，10，10，…； 解：是等比数列，公比为1. （3） ，（ ）2，（ ）3，（ ）4，…； 解：是等比数列，公比为 . 数学·选择性必修第二册 目 录 （4）1，0，1，0，1，0，…； 解：不是等比数列. （5）1，－4，16，－64，256，…. 解：是等比数列，公比为－4. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一 个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中 任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　〔多选〕以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　） A. 数列1，2，6，18，… B. 数列{an}满足 ＝2， ＝2 C. 常数列a，a，…，a，… D. 数列{an}中， ＝q（q≠0），其中n∈N* 解析：　A中， ≠ ，不符合等比数列的定义，故不是等比数 列；B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等 比数列；C中，当a＝0时，不是等比数列；D中，符合等比数列的定 义，是等比数列. ABC 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 等比中项 02 PART 目 录 问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项 吗？ 提示：不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次， 假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有 ＝ ，即x2＝－ 1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a 与b的等比中项.此时，G2＝ ⁠. 　　提醒：（1）若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；（2）只有 同号的两个实数才有等比中项；（3）若两个实数有等比中项，则一定有 两个，它们互为相反数. ab　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（1） －2和 ＋2的等差中项与等比中项分别为（　C　） A. ，±2 B. 2，± C. ，±1 D. 1，± 解析： －2和 ＋2的等差中项为 ＝ ， －2 和 ＋2的等比中项为± ＝±1. C 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b＝ ⁠. 解析：因为数列1，a，b，c，9是等比数列，所以b2＝1×9，解得b＝3 或b＝－3，当b＝－3时，不满足1×b＝a2，故舍去；当b＝3时，经检验 符合题意，所以b＝3. 3　 【规律方法】 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它 的前一项和后一项的等比中项. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　（1）已知等比数列{an}中的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则实 数a＝ ⁠； 解析：由题意知（2a＋2）2＝a（3a＋3），解得a＝－1或a＝－4.当a＝ －1时，第二、三项均为零，故a＝－1应舍去，综上，a＝－4. （2）在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与 的等比中项，那么k ＝ ⁠. 解析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由题意得a3＝a1＋2d＝0， ∴a1＝－2d.又∵ak是a6与 的等比中项，∴ ＝a6 ，即[a1＋ （k－1）d]2＝（a1＋5d）·[a1＋（k＋5）d]，[（k－3）d]2＝ 3d·（k＋3）d，解得k＝9或k＝0（舍去）. －4 9 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 等比数列的通项公式 03 PART 目 录 问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由等比数列的定义可知 ＝q（n∈N*且n≥2）. 法一　an＝ × ×…× × ×a1＝q×q×…×q×q×a1＝ a1 ，当n＝1时，上式也成立. 法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，a4＝a3q＝（a1q2）q＝ a1q3，…… 由此可得an＝a1 （n≥2），当n＝1时，上式也成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝ ⁠. a1qn－1　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例3】　（链接教材P29例1）在等比数列{an}中. （1）a5＝8，a7＝2，an＞0，求an； （1）因为 所以 由 得q2＝ ，因为an＞0，所以q＝ ，a1＝128，所以an＝a1· ＝ 128×（ ＝（ . 解：设数列{an}的公比为q. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 解： a1＝ ＝ ＝5， 解得a1＝5. （3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：因为 由 得q＝ ，所以a1＝32.又an＝1，所以32×（ ＝1，即26－n＝ 20，解得n＝6. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就 能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出 这两个基本量，问题便迎刃而解. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　（1）在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝ （　A　） A. B. C. D. 4 解析：由题得 解得q2＝3，∴q＝ 或q＝－ .当q ＝ 时，a1＝ ；当q＝－ 时，a1＝－ .∴a2＝a1q＝ . A 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数 列{an}的通项公式为 ⁠. 解析：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a3＝8，a4＋a5＝48，所以 则q2＋q－6＝0，所以（q－2）（q＋3）＝0，解得 q＝2或q＝－3（舍去），所以a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n. an＝2n 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 下列数列为等比数列的是（　　） A. 2，22，3×22，… B. ， ， ，… C. s－1，（s－1）2，（s－1）3，… D. 0，0，0，… 解析：　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝（　　） A. 8 B. ±8 C. －8 D. 1 解析：　a5＝a1q4＝4，a9＝a1q8＝16，两式相比得q4＝4，q2＝2，a7＝ a1q6＝a1q4·q2＝a5q2＝4×2＝8. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 在等比数列{an}中，a1＝ ，q＝2，则a4与a8的等比中项为 ⁠. 解析：a4＝a1q3＝ ×23＝1，a8＝a1q7＝ ×27＝16，∴a4与a8的等比中项 为± ＝±4. 4. 在等比数列{an}中. （1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； 解：∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n－1＝128， ∴2n－1＝32， ∴n－1＝5，n＝6. ±4 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解：∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4， ∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·（－2）n－1＝（－1）n－12n. 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）等比数列的概念； （2）等比中项； （3）等比数列的通项公式. 2. 应体会 在进行等比数列的基本运算时，要注意方程思想的应用. 3. 避易错 x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇒/ x，G，y成等比数列. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 在数列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，则a4＝（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 解析：　因为an＋1＝2an，a1＝1，所以{an}为公比为2的等比数列，所以 a4＝a1·23＝8，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝ （　　） A. 6 B. －6 C. ±6 D. ±12 解析：　∵a＝ ＝ ，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，∴ab ＝±6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是（　　） A. 1 B. 1或－2 C. －1或2 D. －1或－2 解析：　法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以 q＝－1或q＝2.故选C. √ 法二　因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－ a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝ （　　） A. 2n＋1 B. 2n＋2 C. n＋1 D. n＋2 解析：　因为a2，a4，a7成等比数列，故 ＝a2a7，又因为等差数列 {an}的公差为1，即（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋6），解得a1＝3，所以 an＝a1＋（n－1）d＝n＋2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之 和，则公比q＝（　　） A. B. －1 C. D. 解析：　由题意得an＝an＋1＋an＋2，所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0， 解得q＝ 或q＝ （舍去）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比 为q，则（　　） A. q＝2 B. an＝2n C. 18是数列中的项 D. an＋an＋1＜an＋2 解析： 由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负 值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋ 1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数 列{an}的前三项，则数列{an}的第4项可能是（　　） A. B. 2 C. 4 D. 8 解析： 不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比 数列的三个整数为1，2，4，若数列前三项为1，2，4，则第4项为8，若数 列前三项为4，2，1，则第4项为 . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝ ⁠. 解析：由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以 ＝ ， 解得a＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an＝ ⁠ ⁠. 解析：设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3＜1，∴9a1＜1， ∴a1＜ ，故a1可取 ，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝ ×3n－1. ×3n －1（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. （1）若等比数列{an}的首项a1＝ ，末项an＝ ，公比q＝ ，求项 数n； 解： 由an＝a1·qn－1，得 ＝ ×（ ）n－1， 即（ ）n－1＝（ ）3，解得n＝4. （2）若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. 解： ∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 设数列{an}的每一项都不为零，且 ＝an·a2对任意n∈N*都成 立，若a3＝3，则a7＝（　　） A. 12 B. 20 C. 27 D. 30 解析：　令n＝1，则a2＝a1a2，∵a2≠0，∴a1＝1.由 ＝an·a2得 ＝a2，故{an}是首项为1，公比为a2的等比数列，故 ＝a1a3＝3，解 得a2＝± .则a7＝a3（a2）4＝3×（± ）4＝27. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 〔多选〕在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有 ＝k（k为常 数），则称{an}为等差比数列，k称为公差比.下列说法正确的是（　　） A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为0 C. 若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　对于等差数列{an}，考虑an＝1，an＋1＝1，an＋2＝1， 无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0， ＝0， 则an＋2－an＋1＝0，则an＋1－an＝0与题目矛盾，故B正确；若an＝－3n＋ 2，则 ＝ ＝ ＝3，数列{an}是等差比数列，故 C正确；若等比数列是等差比数列，则an＝a1qn－1，q≠1， ＝ ＝ ＝q，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三 行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的 数为aij（i，j∈N*），则a53＝ ⁠. … ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：第一列数构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以a51＝ ＋（5－ 1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都 相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等比数列，所以a53＝ × （ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1， －（2an＋1－1）an－2an ＋1＝0. （1）求a2，a3； 解： 由题意得a2＝ ，a3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求{an}的通项公式. 解： 由 －（2an＋1－1）an－2an＋1＝0， 得2an＋1（an＋1）＝an（an＋1）. 因为{an}的各项都为正数， 所以an＋1≠0，所以 ＝ . 故{an}是首项为1，公比为 的等比数列， 因此an＝ （n∈N*）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 已知无穷数列1 ，1 ，…，1 ，…，求证： （1）这个数列是等比数列； 证明： 任取数列中的相邻两项an＝1 ，an＋1＝1 ， 则 ＝ ＝1 ，且a1＝1 ＝1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）这个数列中的任一项是其后第5项的 ； 证明： 任取数列中的一项am＝1 ， 则其后第5项应为am＋5＝1 . 则 ＝ ＝1 ＝10－1＝ ，得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）数列中任两项之积仍为数列中的项. 证明：任取数列中两项 ＝1 ， ＝1 ， 则 ＝1 ·1 ＝1 . ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N*，n1≠n2， ∴n1＋n2－2＞0，且n1＋n2－2∈N*， ∴ 符合已知数列中的项的特征， 即 为数列中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $