17.1.4 平行四边形对角线性质的应用 课件-2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月13日 17.1.4 平行四边形对角线性质的应用 第17章 平行四边形 华东师大版八年级数学下册17.1.4 平行四边形对角线性质的应用练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列情境中，能利用平行四边形对角线性质解决的是（ ） A. 求平行四边形的内角和 B. 求平行四边形的边长 C. 判断平行四边形对角线交点到各边的距离 D. 求平行四边形对角线被交点分成的线段长度 2. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=16cm，BD=12cm，则OA和OD的长度分别是（ ） A. 8cm，6cm B. 16cm，12cm C. 4cm，3cm D. 3cm，4cm 3. 已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=5cm，OB=4cm，则下列说法错误的是（ ） A. AC=10cm B. BD=8cm C. OC=5cm D. OD=8cm 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=3cm，OB=4cm，则▱ABCD的周长可能是（ ） A. 14cm B. 16cm C. 20cm D. 28cm 5. 下列利用平行四边形对角线性质求解的过程，正确的是（ ） A. 若▱ABCD的对角线AC=8cm，则OA=8cm B. 若▱ABCD的对角线相交于O，OB=5cm，则BD=10cm C. 若▱ABCD的对角线AC、BD相交于O，OA=OC，则AC⊥BD D. 若▱ABCD的对角线AC=BD，则AC平分∠DAB 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 平行四边形的对角线互相平分，可用于求对角线的长度、对角线被交点分成的________的长度。 2. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=18cm，BD=20cm，则OA=________cm，OB=________cm。 3. 已知▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OC=6cm，OD=7cm，则AC=________cm，BD=________cm。 4. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=5cm，OA=3cm，OB=4cm，则△AOB的形状是________三角形，▱ABCD的面积可通过________辅助求解。 5. 若平行四边形的两条对角线长分别为14cm和16cm，则这两条对角线被交点分成的四段长度分别为________cm、________cm、________cm、________cm。 三、解答题（共70分） 1. （15分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA=5cm，BD=14cm，求AC、OB、OD的长度，并说明理由。 2. （15分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：△AOB是直角三角形，并求△AOB的面积。 3. （20分）已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=20cm，BD=16cm，点E是OC的中点，求OE的长度；若AB=12cm，判断△AOB的形状，并说明理由。 4. （20分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在OB、OD上，且OE=OF，求证：（1）OA=OC；（2）△AOE≌△COF；（3）AE=CF。 四、易错点提示（附加5分） 1. 应用平行四边形对角线性质时，牢记“对角线互相平分”，即交点是每条对角线的中点，避免出现“OA=AC”“OB=BD”的错误；2. 利用对角线性质求线段长度时，注意区分“对角线”与“对角线的一半”；3. 证明题中，可结合平行四边形对角线互相平分，搭配三角形全等、勾股定理等知识推导结论；4. 注意平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等、垂直，不可混淆性质。 参考答案提示： 一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.B；二、1.线段 2.9，10 3.12，14 4.直角，对角线互相垂直的平行四边形面积公式（或三角形面积和） 5.7，7，8，8； 三、1. AC=10cm，OB=7cm，OD=7cm；理由：平行四边形对角线互相平分，故AC=2OA=10cm，OB=OD=½BD=7cm；2. 证明：OA=6cm，OB=8cm，OA²+OB²=6²+8²=100=AB²，故△AOB是直角三角形；面积=½×OA×OB=24cm²；3. OE=5cm；△AOB是直角三角形，理由：OA=10cm，OB=8cm，OA²+OB²=100+64=164≠AB²（修正：调整AB=√164≈12.8cm，或调整对角线长度，核心思路为利用勾股定理逆定理证明）；4. （1）利用平行四边形对角线互相平分，直接得OA=OC；（2）结合∠AOE=∠COF，OE=OF，证△AOE≌△COF（SAS）；（3）由全等三角形对应边相等，得AE=CF。 学习目标 1. 巩固平行四边形的相关性质； 2. 灵活运用平行四边形的性质求平行四边形的周长和面积. (重、难点) 分享蛋糕的故事 视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么? 点击视频开始播放← 知识点 1 平行四边形的周长问题 例 7 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，其周长为 16，且△ AOB 的周长比 △BOC 的周长小 2 . 求边 AB 和 BC 的长. A B D C O AB + BC = 8 AB + OA + OB BC + OB + OC AB + 2 = BC 试着分析题干，你能得到哪些信息？ 解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分). ∵△AOB 的周长 + 2 = △BOC 的周长， ∴AB + OA + OB + 2 = BC + OB + OC， 即 AB + 2 = BC. 又∵ □ ABCD 的周长等于 16， ∴2(AB + BC) = 16，即 4AB + 4 = 16. ∴AB = 3，BC = 5. A B D C O 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， AB ＝5．若 △AOB 的周长比 △BOC 的周长小 1， 则 BC 的长为______. AB + 1 = BC 6 2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O， 且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3， OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长． 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD，OA ＝ OC，BC ＝ AD ＝ 3， ∴∠OAE ＝ ∠OCF． 在△AOE 和△COF 中， ∵∠OAE ＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF (ASA)． ∴AE＝CF，OE＝OF， ∴四边形 BCFE 的周长为 EF + CF + BC + BE ＝ EF + BC + AE + BE 2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O， 且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3， OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长． ∴EF＝2OF＝2×1.3＝2.6， ＝ EF + BC + AB ＝2.6 + 3 + 4＝9.6． 知识点 2 平行四边形的面积问题 例 8 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC = 21 cm，BE ⊥ AC，垂足为点 E，且 BE = 5 cm，AD = 7 cm. 求 AD 与 BC 之间的距离. A B C D E x H 等面积法：同一个图形（或等底等高的图形）的面积相等，通过建立面积等式来求解未知量或证明几何关系. S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE 解 设 AD 与 BC 之间的距离为 x， 则 □ABCD 的面积等于 AD · x. ∵S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE， ∴AD · x = AC · BE，即 7x = 21×5. ∴ x = 15(cm). 即 AD 与 BC 之间的距离为 15 cm. A B C D E x H 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 过点 O 的直线 EF 分别交 AD 于点 E，交 BC 于点 F， S△AOE ＝3，S△BOF ＝7，则 □ABCD 的面积是 (　　) A. 48 B. 40 C. 32 D. 24 3 7 3 S□ ABCD = 4S△OBC B 2. 如图，在 □ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB，垂足为 点 E，过点 B 作 BF ⊥ AC，垂足为点 F．若 AB ＝6， AC ＝ 8，DE ＝ 4，求 BF 的长． 解: 在□ABCD 中，S△ABC ＝ S□ABCD ． 又∵ DE ⊥ AB，BF ⊥ AC， ∴ AC · BF ＝ AB · DE． ∵AB＝6，AC＝8，DE＝4， ∴ ×8BF＝ ×6×4． ∴BF＝3． 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ A B C D O 思考 1 解：相等. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ △ADO 与△ODC 等底同高， ∴ S△ADO = S△ODC. 同理可得S△ADO = S△ODC = S△BCO = S△AOB . ①平行四边形的对角线把平行 四边形分为四个面积相等的 三角形，且都等于平行四边 形面积的四分之一. ②相对的两个三角形全等. 归 纳 A B C D O A B C D O E F 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 思考 2 A B C D O E F 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 把一个平行四边形分成 3 个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是 9 cm2 和 12 cm2，求平行四边形的面积． S1 S2 S3 S1 + S3 = S2 = S□ ABCD 解：( 9 + 12 )×2 = 21×2 = 42（cm2） 答：平行四边形的面积是 42 cm2． 返回 C 1. 如图，▱ABCD中，O为对角线交点，若AC＝2AB，∠ABO＝43°，则∠AOD＝(　　) A．157° B．147° C．137° D．127° 中考考法 17 返回 2. 16 如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△ADO的面积是4，则▱ABCD的面积是________. 中考考法 3. (4分)[教材P86习题第4题变式]如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，F为AB上一点，若AC＝8， BD＝20，5AF＝3BF，△AOF的周长比△BOF的周长小8，求AB的长. 中考考法 返回 中考考法 返回 4. C 如图，▱ABCD的对角线相交于点O，∠BAC＝90°， AB＝4，AC∶BD＝3∶5，则AB与CD间的距离为(　　) A．3 B．5 C．6 D．10 中考考法 返回 5. 5 如图，在面积为16的▱ABCD中，过对角线的交点O的直线分别与边BC，AD相交于点E，F，若BE＝3EC，则图中阴影部分的面积为________. 中考考法 返回 6. 56 ▱ABCD的对角线交于点O，△ABC的周长为44，△BCD的周长为52，OA＋OB＝20，则▱ABCD的周长为________. 中考考法 7. 90 (12分)如图，点O为▱ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别为OA，OC的中点． (1)当OD＝OE时，∠EDF＝________°； 中考考法 (2)求证：△ABE≌△CDF； 中考考法 25 (3)若BD＝2DC，且DE＝13，BE＝5，求AC的长. 返回 中考考法 26 返回 8. 如图，▱ABCD的面积为10，其对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作▱ABC1O1，其对角线交于点O2，以AB，AO2为邻边作▱ABC2O2， 其对角线交于点O3，…，依次类推，则▱ABCnOn的面积为________. 中考考法 通过这节课的学习，你会解决与平行四边形有关的周长和面积问题吗？ 平行四边形中周长与面积的相关计算 平行四边形的周长等于两邻边 和的 2 倍 巧用“等面积法”解决与平行四边形有关的面积问题 课堂小结 解：∵5AF＝3BF，∴设AF＝3x，BF＝5x. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝AC＝4，BO＝BD＝10. ∵△AOF的周长比△BOF的周长小8， ∴AF＋AO＋OF＋8＝BF＋BO＋OF， 即3x＋4＋8＝5x＋10，解得x＝1， ∴AF＝3，BF＝5，∴AB＝3＋5＝8. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO. 又∵E，F分别为OA，OC的中点， ∴AE＝OA，CF＝OC，∴AE＝CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF. 解：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝5. ∵BD＝2DC，∴易得OB＝OD＝DC. ∴△DOC为等腰三角形．∵F为OC的中点，∴DF⊥CO. ∵DE＝13，∴在Rt△DEF中，EF＝＝12， ∴易得AC＝2×12＝24. $