第四章 平行四边形【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 平行四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+23个题型讲练+真题实战练 共56题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 多边形截角后的边数问题 题型二 多边形对角线的条数问题 题型三 对角线分成的三角形个数问题 题型四 多边形内角和问题 题型五 多边形截角后的内角和问题 题型六 多边形外角和的实际应用 题型七 多边形内角和与外角和综合 题型八 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 题型十一 线段问题(旋转综合题) 题型十二 面积问题(旋转综合题) 题型十三 角度问题(旋转综合题) 题型十四 中心对称图形规律问题 题型十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十六 已知两点关于原点对称求参数 题型十七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十八 利用平行四边形性质和判定证明 题型十九 平行四边形性质和判定的应用 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题 题型二十一 与三角形中位线有关的证明 题型二十二 反证法证明中的假设 题型二十三 用反证法证明命题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点四 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点五 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 多边形截角后的边数问题 【例1】（25-26八年级下·山东德州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】多边形截去一个角共有三种不同截法，对应截后边数分别比原多边形多1，不变，少1，根据截后得到七边形，反向推导原多边形的可能边数即可得到答案． 【详解】解：多边形截去一个角，存在三种情况： （1）截线不经过原多边形的另外两个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∵ 截后多边形为七边形，边数为7， ∴ 原多边形边数为； （2）截线经过原多边形的1个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数 ∴ 原多边形边数为； （3）截线经过原多边形的2个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∴ 原多边形边数为； 综上，原多边形的边数可能为6，7，8，不可能为5． 【变式】（25-26八年级下·四川绵阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 题型讲练二 多边形对角线的条数问题 【例2】（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【分析】先利用任意多边形外角和为定值的性质求出多边形内角和，再根据内角和公式求出边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：设多边形边数为，根据题意得， ， 解得， 即该多边形为六边形， ∴该多边形对角线条数为（条）． 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 题型讲练三 对角线分成的三角形个数问题 【例3】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 题型讲练四 多边形内角和问题 【例4】（25-26八年级下·福建厦门·期中）一个四边形的内角中，锐角的个数（    ） A．最少有一个 B．最少有两个 C．最多有四个 D．可能没有 【答案】D 【分析】本题利用四边形内角和为和锐角的定义，通过举例和推导即可判断选项． 【详解】任意四边形内角和为，锐角是小于的角， 举反例可得，长方形四个内角均为，不存在锐角，因此四边形内角中可能没有锐角，故A、 B错误，D正确； 分析选项C：若四边形有个锐角，则四个内角和 ，与四边形内角和为矛盾，故C错误； 因此选D． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在五边形中，，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再根据五边形的内角和为可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 题型讲练五 多边形截角后的内角和问题 【例5】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【答案】4或5或6 【分析】本题主要考查多边形的内角和问题，结合题意进行分类讨论是解题的关键． 设新多边形的边数为n，利用多边形内角和公式求得n的值，然后分三种情况分类讨论后即可解答． 【详解】解：设新多边形的边数为n 则，解得：， ①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时， 此时原多边形的边数为； ②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时， 此时原多边形的边数为5； ③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时， 此时原多边形的边数为； 综上，原多边形边数为4或5或6． 故答案为：4或5或6． 【变式】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 题型讲练六 多边形外角和的实际应用 【例6】（25-26八年级下·山西朔州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 【答案】80 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴． 【变式】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和等于360度，，，可求得的度数． 【详解】解：由多边形的外角和等于， 可得， ∵，， ∴， ∴， 即． 题型讲练七 多边形内角和与外角和综合 【例7】（25-26八年级下·河南许昌·期中）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【分析】设这个正多边形的一个外角为，根据内角与相邻外角互补列出方程，求出外角的度数，结合多边形外角和为求出边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 题型讲练八 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例8】（25-26八年级下·甘肃酒泉·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为． 【详解】解：由图可得，初始点的坐标为， 绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标： 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：，回到初始坐标， ∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为， ∴，余数为， 说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为． 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)请在网格中画出向左平移3个单位长度后所得的； (2)请在网格中画出绕原点逆时针旋转后所得的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，的坐标为 【分析】（1）根据平移变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出，再写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 由作图可得，的坐标为． 题型讲练九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【例9】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称后得到的； (2)请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； (3)在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3) 【分析】（1）分别作出点关于轴对称后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后得到的点，即可得到的坐标，再顺次连接即可作图； （3）作点关于轴对称的点，则连接，与轴交点即为点，则，由两点之间线段最短可得此时最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，即为所求，的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴对称的点，则，连接，与轴交点即为点， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即为． 【变式】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)先将沿y轴正方向向上平移5个单位长度，再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到，画出，点坐标是________； (2)将绕点逆时针旋转，得到，画出，并求出点的坐标是________； (3)我们发现点C、关于某点中心对称，对称中心的坐标是________________． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】（1）分别将三点沿y轴正方向向上平移5个单位长度，再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到，然后依次连接即可得出答案； （2）利用旋转的性质，借助网格，画出，即可得出答案； （3）连接、，借助网格，找到、的中点即可． 【详解】（1）解：下图即为所求，； （2）解：下图即为所求，； （3）解：连接、，对称中心坐标为：； 题型讲练十 坐标与旋转规律问题 【例10】（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，据此可得答案． 【详解】解：旋转前，∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴， ∵将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且， ∴每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置， ∵， ∴第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同， ∴第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置， ∴此时点B的坐标为． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，，则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得到旋转后的点的坐标，然后总结规律，每旋转四次，点的横坐标增加，纵坐标按，，，循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：如图，记图位置的点为，连接和，过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和， ，，， ， ． 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点的坐标为． 同理可得： 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， ， 每旋转四次，点的横坐标增加，纵坐标按，，，循环出现， 点的坐标为， ， 点的坐标为，即， 连续旋转次后，点的坐标为． 题型讲练十一 线段问题(旋转综合题) 【例11】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： (1)的度数； (2)的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质先证明是等边三角形，由相似三角形的性质可得； （2）由旋转可得，、、在一条直线上，即可得到． 【详解】（1）解：由题知：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴、、在一条直线上， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：∵、、在一条直线上， ∴， ∵绕着点按顺时针方向旋转后得到， ∴， ∴． 【变式】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 题型讲练十二 面积问题(旋转综合题) 【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在网格中有一个四边形图案． (1)请你分别画出绕点顺时针旋转得到的、关于点成中心对称的以及绕点逆时针旋转得到的，并将它们涂黑； (2)若网格中每个小正方形的边长均为1，旋转后点的对应点依次为，，，求四边形的面积； (3)这个美丽的图案能够说明一个著名的结论的正确性，请写出这个结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的三角形即可； （2）观察画出的图形，可发现依次代入求值； （3）这个图案就是我们几何中的著名的勾股定理． 【详解】（1）解：如答图所示． （2）如答图，． （3）设，所对的边分别为， 由图可知：， 整理得：， 即：， 这个图案说明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式】（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 题型讲练十三 角度问题(旋转综合题) 【例13】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角，即；最后用减去，算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等，旋转角相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点O顺时针方向旋转得到线段（其中A与对应）． (1)在图中画出线段； (2)与所在直线的夹角为 ___________； (3)若是线段上的一点，则点P旋转后对应点的坐标为 ___________（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)90 (3) 【分析】本题考查作图的旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）取格点D，连接，使，连接，由勾股定理可得，则∠BAD=90°，进而可得答案． （3）由旋转的性质可得答案． 【详解】（1）如图，线段即为所求． （2）取格点D，连接，则，连接BD， ，，， ， 与所在直线的夹角为． 故答案为：90． （3）由旋转可知，点P旋转后对应点的坐标为． 故答案为：． 题型讲练十四 中心对称图形规律问题 【例14】（2024·湖南长沙·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ，，，，， 的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 【变式】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 题型讲练十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例15】（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【答案】8 【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知平分三角形，进而求出的面积． 【详解】解：∵和成中心对称，的面积为4， ∴，， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【答案】见解析，15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：如图所示，点即为所求；   和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 题型讲练十六 已知两点关于原点对称求参数 【例16】（25-26八年级下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解二元一次方程组． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，列出方程并求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 即， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，坐标与图形变化平移，一元一次不等式组的应用知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征和平移的坐标变化规律是解题的关键． 根据原点对称和平移的坐标变化规律，求出点的坐标，再根据第四象限点的坐标特征列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为 将点向右平移个单位，向下平移2个单位，得到点的坐标为，即， 由于点在第四象限，故有 解不等式 得； 解不等式 得 所以的取值范围是 故答案为：． 题型讲练十七 利用平行四边形的判定与性质求解 【例17】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形上，，对角线，且． (1)求该梯形上下底的和； (2)求该梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作的平行线交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，故，，再把数值代入计算，即可作答． （2）根据结合平行线之间距离处处相等，得出，又因为计算，即可作答． 【详解】（1）解：过点D作的平行线交的延长线于点E， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ， 在中， ∴（负值已舍去） 即该梯形上下底的和为． （2）解：由（1）得出， 结合平行线之间距离处处相等，得出（等底等高）， 【变式】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，已知的对角线，相交于点， ，．若，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 题型讲练十八 利用平行四边形性质和判定证明 【例18】（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在平行四边形中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想四边形的形状，并给予证明. 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，证明见解析 【分析】本题考查角平分线的尺规作图方法，平行四边形的判定和性质等知识点． （1）根据判定两个三角形全等作的角平分线，以点为圆心，在上截取，连接即可． （2）通过平行线以及角平分线的性质得到，根据，继而证明，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形得证结论． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点和，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接． ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 【变式】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点F，E，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的边和角，证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型讲练十九 平行四边形性质和判定的应用 【例19】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①      图②        图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 【变式】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出点A，B的对应点，，连接即可解答； （2）在直线上取格点，连接，并在的延长线上取格点C，使得，连接，并在的延长线上取格点D，使得，连接，，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段为所求． （2）解：如图，为所求． 由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， 设直线交于点E，交于点F， ∵在中，，， 又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴直线平分的面积． 题型讲练二十 与三角形中位线有关的求解问题 【例20】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【分析】延长交于F，证，得，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 【变式】（25-26八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：在中，点，分别是，的中点，， 是的中位线， ， ，，点是的中点， 在中，， 点在线段的延长线上， ． 题型讲练二十一 与三角形中位线有关的证明 【例21】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）先求出，，，然后根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积． 【变式】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点M，点E、F是对角线、的中点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】取的中点N，连接，，利用三角形中位线的性质得到，，，，得到，利用三角形内角和定理求出，证明为等边三角形，即可得到． 【详解】证明：取的中点N，连接，， ∵点E、N是、的中点， ，， 同理可得，，， ∵， ， ， ． ∵，， ， ∴， ， 为等边三角形， ∴． 题型讲练二十二 反证法证明中的假设 【例22】（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列命题是假命题的有（   ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据平方性质、平行线判定、反证法、角平分线性质和等腰三角形性质相关知识点进行判断即可． 【详解】解：①：可得或，故①是假命题； ② 只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，命题未给出同一平面的前提，故②是假命题； ③用反证法证明时，应假设结论的反面成立，结论的反面是，命题的假设为，是结论本身，故③是假命题； ④ 角平分线上的点到角两边的距离相等，是角平分线的性质定理，故④是真命题； ⑤ 等腰三角形只有底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线重合，不是所有高线、中线、角平分线都重合，故⑤是假命题． 综上，假命题共个． 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 【答案】C 【分析】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 【详解】解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 题型讲练二十三 用反证法证明命题 【例23】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析． 【分析】假设，通过三角形内角和定理可得，所以，与相矛盾，从而求证． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D．选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据作图可知，结合平行四边形的性质可得， ，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 作图可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， 在中，， ∴ 解得：． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（    ） A． B．10 C．8 D．14 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， 即． 在中，由勾股定理得： ． ． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在四边形中，，点，分别是，的中点，连接，若，，则线段的长是______． 【答案】/ 【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ，，， ， 点，分别是，的中点， ． 5．（25-26八年级下·河南商丘·期中）已知，且与之间的距离为与之间的距离为2，那么与之间的距离为_____． 【答案】2或6 【分析】利用平行线之间的距离的定义作答，分类讨论：当b在a、c之间时，当c在a、b之间时． 【详解】解：分两种情况讨论： 当b在a、c之间时，a与c之间的距离为； 当c在a、b之间时，a与c之间的距离为； 6．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点D在的延长线上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴是三角形的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 8．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转得到，，得到，得到，即得的度数． （2）由 ，得，在中，由勾股定理得，即得． 【详解】（1）证明：将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D， ， ，且点D恰好落在线段上， ， ， ； （2）解：由旋转的性质可知 ∵， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得， 即． 的长为． 9．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形中，，，和的角平分线交于点P，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵和的角平分线交于点P， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)平移，得到，若点的对应点的坐标为，请画出； (2)以点为对称中心，请画出与成中心对称的； (3)绕点______旋转可以得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的性质进行画图； （2）根据中心对称的性质画图； （3）根据中心对称的性质求出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：由的对应点的坐标为，可得， 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的中点坐标为，即， ∴绕点旋转可以得到． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 平行四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+23个题型讲练+真题实战练 共56题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 多边形截角后的边数问题 题型二 多边形对角线的条数问题 题型三 对角线分成的三角形个数问题 题型四 多边形内角和问题 题型五 多边形截角后的内角和问题 题型六 多边形外角和的实际应用 题型七 多边形内角和与外角和综合 题型八 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 题型十一 线段问题(旋转综合题) 题型十二 面积问题(旋转综合题) 题型十三 角度问题(旋转综合题) 题型十四 中心对称图形规律问题 题型十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十六 已知两点关于原点对称求参数 题型十七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十八 利用平行四边形性质和判定证明 题型十九 平行四边形性质和判定的应用 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题 题型二十一 与三角形中位线有关的证明 题型二十二 反证法证明中的假设 题型二十三 用反证法证明命题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点四 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点五 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 多边形截角后的边数问题 【例1】（25-26八年级下·山东德州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式】（25-26八年级下·四川绵阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 题型讲练二 多边形对角线的条数问题 【例2】（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 题型讲练三 对角线分成的三角形个数问题 【例3】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 题型讲练四 多边形内角和问题 【例4】（25-26八年级下·福建厦门·期中）一个四边形的内角中，锐角的个数（    ） A．最少有一个 B．最少有两个 C．最多有四个 D．可能没有 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在五边形中，，，则的度数为_________． 题型讲练五 多边形截角后的内角和问题 【例5】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【变式】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型讲练六 多边形外角和的实际应用 【例6】（25-26八年级下·山西朔州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 【变式】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型讲练七 多边形内角和与外角和综合 【例7】（25-26八年级下·河南许昌·期中）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 题型讲练八 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例8】（25-26八年级下·甘肃酒泉·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)请在网格中画出向左平移3个单位长度后所得的； (2)请在网格中画出绕原点逆时针旋转后所得的，并写出点的坐标． 题型讲练九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【例9】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称后得到的； (2)请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； (3)在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 【变式】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)先将沿y轴正方向向上平移5个单位长度，再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到，画出，点坐标是________； (2)将绕点逆时针旋转，得到，画出，并求出点的坐标是________； (3)我们发现点C、关于某点中心对称，对称中心的坐标是________________． 题型讲练十 坐标与旋转规律问题 【例10】（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，，则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型讲练十一 线段问题(旋转综合题) 【例11】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： (1)的度数； (2)的长． 【变式】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 题型讲练十二 面积问题(旋转综合题) 【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在网格中有一个四边形图案． (1)请你分别画出绕点顺时针旋转得到的、关于点成中心对称的以及绕点逆时针旋转得到的，并将它们涂黑； (2)若网格中每个小正方形的边长均为1，旋转后点的对应点依次为，，，求四边形的面积； (3)这个美丽的图案能够说明一个著名的结论的正确性，请写出这个结论． 【变式】（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 题型讲练十三 角度问题(旋转综合题) 【例13】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【变式】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点O顺时针方向旋转得到线段（其中A与对应）． (1)在图中画出线段； (2)与所在直线的夹角为 ___________； (3)若是线段上的一点，则点P旋转后对应点的坐标为 ___________（用含a，b的式子表示）． 题型讲练十四 中心对称图形规律问题 【例14】（2024·湖南长沙·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【变式】（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 题型讲练十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例15】（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【变式】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    题型讲练十六 已知两点关于原点对称求参数 【例16】（25-26八年级下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 题型讲练十七 利用平行四边形的判定与性质求解 【例17】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形上，，对角线，且． (1)求该梯形上下底的和； (2)求该梯形的面积． 【变式】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，已知的对角线，相交于点， ，．若，，则四边形的周长为________． 题型讲练十八 利用平行四边形性质和判定证明 【例18】（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在平行四边形中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想四边形的形状，并给予证明. 【变式】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点F，E，连接．求证：四边形是平行四边形． 题型讲练十九 平行四边形性质和判定的应用 【例19】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①      图②         图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【变式】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 题型讲练二十 与三角形中位线有关的求解问题 【例20】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 【变式】（25-26八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型讲练二十一 与三角形中位线有关的证明 【例21】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【变式】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点M，点E、F是对角线、的中点，若，求证：． 题型讲练二十二 反证法证明中的假设 【例22】（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列命题是假命题的有（   ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 题型讲练二十三 用反证法证明命题 【例23】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，求证：．（用反证法证明） 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（    ） A．5 B． C．6 D． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（    ） A． B．10 C．8 D．14 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在四边形中，，点，分别是，的中点，连接，若，，则线段的长是______． 5．（25-26八年级下·河南商丘·期中）已知，且与之间的距离为与之间的距离为2，那么与之间的距离为_____． 6．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点D在的延长线上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为______． 8．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 9．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形中，，，和的角平分线交于点P，求的度数． 10．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)平移，得到，若点的对应点的坐标为，请画出； (2)以点为对称中心，请画出与成中心对称的； (3)绕点______旋转可以得到． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $