第三章 数据分析初步【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 数据分析初步【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知平均数求未知数据的值 题型二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型三 求加权平均数 题型四 利用加权平均数求未知数据的值 题型五 运用加权平均数做决策 题型六 出错情况下的平均数问题 题型七 利用中位数求未知数据的值 题型八 求众数 题型九 利用众数求未知数据的值 题型十 求离差平方和 题型十一 离差平方和的应用 题型十二 求方差 题型十三 利用方差求未知数据的值 题型十四 根据方差判断稳定性 题型十五 标准差 题型十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 题型十七 求四分位数 题型十八 画箱线图 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 算术平均数 算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．记作：“”，读作：“x 拔”． 知识点二 加权平均数 (1)加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. (2)权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． (3)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点三 中位数 （1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点四 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识点五 方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点六 用样本估计总体 当所要考察的对象较多，或者对考察的对象带有破坏性时，统计中常常通过抽取样本，用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. （1）统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征． （2）统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发 现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知平均数求未知数据的值 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）A、B、C、D、E五名射击运动员在一次射击比赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的平均成绩是78环，则下列说法中一定正确的是（　　） A．D、E的成绩比其他三人好 B．D、E两人的平均成绩是83环 C．成绩最好的不是A、B、C D．D、E两人的成绩都不少于83环 【答案】B 【分析】借助平均数计算公式，先求出D、E两人的平均成绩，进而判断各选项的正确性． 【详解】∵A、B、C、D、E五名射击运动员在一次射击比赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的平均成绩是78环， ∴D、E两人的平均成绩是环，故选项B正确； ∴D、E两人的平均成绩比A、B、C三人的平均成绩好，但无法确定D、E的成绩比其他三人好，也无法确定成绩最好的不是A、B、C，故选项A、C不一定正确； ∵D、E两人的平均成绩是环， ∴D、E中至少有一个成绩不少于83环，但不一定都不少于83环，故选项D不一定正确． 【变式】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一组数据，的平均数是4，则的值为______. 【答案】3 【分析】根据平均数的概念，先将各数加起来，再除以个数即可求得的值． 【详解】解：∵数据的平均数为4， ， ． 故答案为：3． 题型讲练二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】（25-26八年级下·全国·期末）如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了平均数．结合一组数据的平均数是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵一组数据的平均数是2， ∴， 即， 则 ， 故选：C 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是_________． 【答案】2019 【分析】本题考查了平均数的定义，利用平均数的定义，计算新数据总和与原数据总和的关系，再求新平均数． 【详解】解：设原数据，，，的总和为S，则，即， 新数据，，，的总和为， ∴新平均数为． 故答案为：2019． 题型讲练三 求加权平均数 【例3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）有7位评委为某同学的科学实验操作检测打分，采用10分制，完成实验后，根据评委所打分数计算该同学的平均分．已知打8分的有1人，打9分的有2人，打分的有a人，其余的打10分，该同学最后的平均分为9分．则打分的人数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据总人数得到各分数段人数，再利用加权平均数公式列方程求解即可，用到加权平均数的计算方法． 【详解】解：总共有7位评委， 打10分的人数为， 平均分为9分，根据加权平均数计算公式可得：， 化简左边分子得： ， ， 解得 ， 即 . 打分的人数是2． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校八（2）班若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，由这个直方图可知：这若干名学生平均每分钟跳绳的次数（结果精确到个位）大约是（   ） A．数据不全无法计算 B．93 C．100 D．105 【答案】B 【分析】首先根据直方图可知这些数据可分为四组，并确定各组的组中值和频数，然后利用加权平均数公式求出平均数即可． 【详解】解：观察直方图可知，根据学生每分钟跳绳次数分为4组，组距为20， 其中第一组组中值为，频数为2， 第二组组中值为，频数为4， 第三组组中值为，频数为6， 第四组组中值为，频数为3， ∵， ∴这若干名学生平均每分钟跳绳的次数大约是93. 题型讲练四 利用加权平均数求未知数据的值 【例4】（25-26八年级下·北京·开学考试）学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 【变式】（24-25八年级下·浙江·期中）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 【答案】（1）80分；（2）①82分；②小王在期末应该最少考85分才能达到优秀 【分析】（1）根据平均数的定义，将三个成绩之和除以3即可求解； （2）①根据加权平均数的定义即可求解；②根据加权平均数的定义列出不等式，求解即可． 【详解】解：（1）小张的期末评价成绩为（分）； （2）①小张的期末评价成绩为（分）； ②设小王期末考试x分，根据题意可得： ， 解得， ∴小王在期末应该最少考85分才能达到优秀． 题型讲练五 运用加权平均数做决策 【例5】（25-26八年级下·广东广州·月考）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【答案】(1)83，85，84 (2)八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名 (3)加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础 【分析】（1）按算术平均数的计算方法计算即可； （2）按加权平均数的计算方法计算再比较大小即可； （3）根据各数据给出合理建议即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：八（1）班的平均分为：83（分）， 八（2）班的平均分为：85（分）， 八（3）班的平均分为：84（分）， 故答案为：83，85，84； （2）解：八（1）班的加权成绩（分）， 八（2）班的加权成绩（分）， 八（3）班的加权成绩（分）， ， ∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名； （3）解：加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础． 【变式】（24-25八年级下·河北唐山·月考）某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 题型讲练六 出错情况下的平均数问题 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【答案】 【分析】先通过输入的数据得到总数比正确的总数多加了81，然后得到平均数多加了，进而可得到实际平均数． 【详解】解：由题意知，错将其中一个数据15输入为105，则多加了， 错将另一个数据65输入56，则少加了9， 故总的多加了， ∴平均数多了， 此时求得的平均数为61， ∴实际平均数为． 【变式】（23-24八年级下·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 题型讲练七 利用中位数求未知数据的值 【例7】（2024·山东青岛·模拟预测）有一组数据6，1，，x，8，2的中位数为2.5，则这组数据的平均数是__________． 【答案】 【分析】将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数的定义求出的值，再依据平均数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：数据6，1，，8，2按从小到大重新排列后为，1，2，6，8，此时中位数为， ∵数据6，1，，x，8，2的中位数为2.5， ∴数据6，1，，x，8，2按从小到大重新排列后为，1，2，x，6，8，且， 解得， ∴这组数据的平均数是． 【变式】（2026·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先求出甲成绩的中位数，根据两人中位数相同得到乙的中位数，再列方程计算未知成绩即可． 【详解】解：∵甲的成绩从小到大排序为6，7，8，8，9，9，共6个数据，数据个数为偶数， ∴甲成绩的中位数为第3个和第4个成绩的平均数，即， ∵两人测试成绩的中位数相同， ∴乙成绩的中位数也为8， 设？表示的成绩为环， ∵乙已知成绩从小到大排序为5，6，9，9，10， ∴不能小于6也不能大于8， ∴加入从小到大排序为5，6，，9，9，10， ∴， 解得． 题型讲练八 求众数 【例8】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）智能导航技术已广泛应用于出行领域，为市民提供了极大便利．渝北中学某数学兴趣组调查了春假期间家庭自驾出游使用甲、乙两款导航的情况，兴趣组邀请了300名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于80分，分为五组：：；：；：；：；：）．从这300人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息：抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 82 88 90 94 98 100 人数 1 1 2 5 5 6 抽取的使用者对乙款软件评分在等级的数据：93，93，94，96，96，96． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 98 乙 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，__________，__________，__________； (2)根据以上数据分析，你认为哪款更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)估计这300人中，对两款的评分成绩为等的人数分别是多少？ 【答案】(1)100；96；5 (2)甲款更好，理由见解析 (3)估计这300人中，对甲款的评分成绩为等的人数为165人，对乙款的评分成绩为等的人数为120人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，求出乙款软件评分中D等级的人数占比即可得到m的值； （2）根据甲款的中位数和众数都比乙款的大可得结论； （3）用300分别乘以样本中对两款的评分成绩为等的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵使用者对甲款软件评分中，分数为100分的人数最多， ∴； ， 把使用者对乙款软件评分的20个分数按照从低到高的顺序排列，其中位数为第10个数据和第11个数据的平均数，则； 由题意得，，即； （2）解：甲款更好，理由如下： 从众数来看，甲款的众数比乙款的高，且甲款的中位数比乙款的高，故甲款得高分的数量多于乙款， ∴甲款更好； （3）解：人，人， 答：估计这300人中，对甲款的评分成绩为等的人数为165人，对乙款的评分成绩为等的人数为120人． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c (2)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩； ③从B等级以上（包括B等级）的人数方面来比较一班和二班的成绩． 【答案】(1)；； (2)见解析 【分析】（1）分别利用平均数、中位数及众数的计算方法即可求解； （2）①两班的平均数相等，一班的中位数大；②两班的平均数相等，二班的众数大；③一班B级以上 （包括B级）的人数为18人，二班B级以上 （包括B级）的人数为12人． 【详解】（1）解：（1）由一班竞赛成绩统计图可得，一班的平均数； 由一班竞赛成绩统计图可得，按数据从小到大排列， D级，C级的总人数为（人），D级，C级，B级的总人数为（人）， ∴数据从小到大排列后第13个数据是90， ∴一班的中位数； ∵由二班竞赛成绩统计图可得，A级的占比最大为， ∴二班的众数． （2）解：①，从平均数和中位数的角度：一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班成绩好于二班； ②从平均数和众数的角度：一班和二班平均数相等，二班的众数大于一班的众数，故二班成绩好于一班； ③从B等级以上（包括B等级）的人数的角度：一班有（人），二班有（人），故一班成绩好于二班．（任选一个即可） 题型讲练九 利用众数求未知数据的值 【例9】（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值． 根据平均数求得的值，然后根据众数求得的值后再确定新数据的中位数． 【详解】解：∵1，2，的平均数为3， ∴， 解得， ∴数据，，1，2，应为，，1，2，， ∵唯一众数为， 故， 则数据，，，1，2，4应为数据，，，1，2，4， 按从小到大排列为，，1，2，4，6， ∴中位数为． 【变式】（2024·河北邯郸·二模）如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（    ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 【答案】B 【分析】根据众数推出第六次的测试成绩，再求出中位数即可． 【详解】解：由条形统计图可知，前五次的测试成绩为7、7、8、8、10， 若六次测试成绩的众数为7分，则第六次的测试成绩为7分， 所以，六次测试成绩的中位数是分． 题型讲练十 求离差平方和 【例10】（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 【变式】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．离差平方和为40 【答案】C 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据的样本容量为10，平均数为4，无法计算出方差、中位数与离差平方和． 题型讲练十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级下·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 题型讲练十二 求方差 【例12】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）求一组数据方差的算式为：，则该组数据的平均数为________． 【答案】13 【分析】根据方差的计算公式，得到这组数据，根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平均数为：． 题型讲练十三 利用方差求未知数据的值 【例13】（25-26八年级下·陕西西安·期末）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义．由题意知这组数据为2、4、5、5，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、4、5、5， 所以这组数据的平均数为，①正确； 中位数为，②错误； 众数为5，③正确； 样本容量为4，④错误； 故选：B． 【变式】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义． 由可知平均数和数据数量，从而得出答案． 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 题型讲练十四 根据方差判断稳定性 【例14】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】平均数反映平均水平，中位数反映数据中间位置，方差衡量数据波动大小，据此逐一判断即可． 【详解】解∶∵甲，乙两班成绩的平均数相等，都是135， ∴甲，乙两班学生成绩的平均水平相同，结论①正确； ∵两班参赛人数均为55人，中位数为排序后第28个数据，甲班中位数为149，小于150，乙班中位数为151，大于150， ∴乙班每分钟输入汉字个的优秀人数多于甲班，结论②正确； ∵甲班方差为191，乙班方差为110，甲班方差大于乙班方差，方差越大，数据波动越大， ∴甲班成绩的波动比乙班大，结论③错误； 综上，正确结论为①②． 【变式】（25-26八年级下·江苏·期中）某射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． (1)计算平均数，________环，环，通过统计图可以看出________（填，或）； (2)请你从运动员A，B中选拔一人参加射击比赛，并任选两种统计量说明理由． 【答案】(1)；＞ (2)选择运动员B，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的公式计算运动员A成绩的平均数，由折线图中数据的波动情况即可比较A，B两人成绩的方差大小； （2）比较两运动员的平均成绩和射击成绩的方差，即可解答． 【详解】（1）解：运动员A的8次成绩为9，9，10，10，9，7，6，8， ∴（环）； 通过统计图可以看出A的成绩波动比B大，所以，， （2）解：选择运动员B，理由如下： 从平均数上看，运动员B成绩高于运动员A； 从方差上看，运动员B低于运动员A，说明运动员B整体好且稳定． 题型讲练十五 标准差 【例15】（24-25八年级下·浙江湖州·月考）已知样本数据1，2，3，4，5，下列说法不正确的是（   ） A．中位数是4 B．平均数是3 C．标准差是 D．方差是2 【答案】A 【分析】根据中位数，平均数，方差，标准差的计算方法，分别判断各选项． 【详解】解：将样本数据从小到大排列得，共个数据， ∵奇数个数据的中位数为排序后中间位置的数，即第个数，为， ∴ A选项说法错误，符合题意； ∵平均数， ∴ B选项说法正确，不符合题意； ∵ 方差， ∴ D选项说法正确，不符合题意； ∵ 标准差是方差的算术平方根，即， ∴ C选项说法正确，不符合题意． 【变式】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是______，标准差是______． 【答案】 2 【分析】本题考查方差，中位数,标准差．由方差的计算公式得出这组数据为0，2，2，4，据此可得中位数．再求出平均数，求出方差，最后求出标准差即可． 【详解】解：由方差的计算公式知，这组数据为0，2，2，4， 所以中位数为．平均数． ∴， ∴标准差是， 故答案为：2，． 题型讲练十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 【例16】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【答案】80775 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）在某校进行的“慈善捐赠”活动中，为了解某班学生的捐款情况，抽样调查了该班部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． (1)本次调查这组数据的中位数为_______________元； (2)求这组数据的平均数； (3)该校共有1000名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 【答案】(1)10 (2)12元 (3)捐款总数为12000元 【分析】此题考查的是条形统计图的综合运用，平均数、中位数的求法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由中位数的定义即可得出结果； （2）由平均数公式即可得出结果； （3）由总人数乘以平均数即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，捐款人数有：（人）， 将这组数据从小到大排列后，第15和第16个数的平均数为这组数据的中位数， ∵第15和第16个数都是10元， ∴这组数据的中位数为10元， 故答案为：10； （2）解：由题意得，这组数据的平均数（元）； 故这组数据的平均数为12元； （3）解：由题意得，（元）， 故估计该校学生的捐款总数为12000元． 题型讲练十七 求四分位数 【例17】（25-26八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据四分位数的计算规则，先计算上下四分位数的位置，再通过累计频数确定对应位置的数字即可得到结果． 【详解】∵总数据量，将所有数字从小到大排列， 下四分位数位置为 ，故下四分位数取第22、23个数据的平均数， 上四分位数位置为 ，故上四分位数取第67、68个数据的平均数， 计算从小到大的累计频数： 数字0累计频数为7，数字1累计频数为，数字2累计频数为，数字3累计频数为34，数字4累计频数为42，数字5累计频数为49，数字6累计频数为58，数字7累计频数为，数字8累计频数为 ， ∴第22、23个数据均为2，故下四分位数为， 第67、68个数据均为8，故上四分位数为， 故选：D． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 题型讲练十八 画箱线图 【例18】（25-26八年级下·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 【变式】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】(1)7；8 (2)乙 (3)A的为7，B的为8，乙的成绩比较好 【分析】（1）根据众数，平均数的定义解答即可； （2）直接根据箱线图解答即可； （3）根据上四分位数，下四分位数的定义，平均数的意义解答即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩中7环出现的次数最多， ∴甲的众数为7环， 由题意得，乙的平均数为环； （2）解：根据题意得：在图1中乙的成绩波动较小，在图2中，的数据比较集中，故反映乙的成绩； （3）解：根据（2）可知反映乙的成绩，反映甲的成绩， 的； 的， ∵甲的平均数为， ∴甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩比较好． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【答案】A 【分析】首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，分析新增2名选手时长的可能取值． 【详解】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在分钟以下，编号2的选手演讲时长为分钟，编号为1、5的选手演讲时长在分钟以上， ∴原来5名选手演讲时长的中位数为， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为，则一个应小于，一个应大于， A、，，故选项符合题意； B、，中位数变小，故选项不符合题意； C、、，中位数变大，故选项不符合题意； D、、，中位数变大，故选项不符合题意； 2．（2026·甘肃兰州·一模）某店铺展开了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（    ） A．调查总人数为1000人 B．评分为2分的人数最少 C．评分的众数为4分 D．大多数顾客对店铺的服务不满意 【答案】A 【详解】解：人， A、调查总人数为1000人，说法正确，该选项符合题意； B、评分为1分的人数最少，原说法错误，该选项不符合题意； C、评分的众数为5分，原说法错误，该选项不符合题意； D、大多数顾客对店铺的服务比较满意，原说法错误，该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（    ） A．乙组的中位数是80分 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组成绩比甲组成绩集中 【答案】D 【分析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意． 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 【答案】6 【分析】根据中位数的定义，这组数据共个，为奇数个，中位数是从小到大排列后的第个数，结合中位数为，确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：将一组数据从小到大排列后，数据个数为奇数时，中位数是最中间的数，本题共有个数据，因此中位数是排列后的第个数． 已知中位数为，则排列后第个数为． 原数据中小于的数有和共个，若，则小于的数共个，排列后第个数小于，不符合要求． 因此，则的最小值为． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 【答案】 【分析】根据四分位数的定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大排序为：，，，，，，，，计算得，因此上四分位数为第个数与第个数的平均数，即． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：；；，根据中位数的定义求解即可. 【详解】把这组数据按从小到大排列得：，0，2，4，6， 插入一个数x后，数据变为6个，中位数为排序后第3、4位数的平均数． 设排序后的新数据为，，，，，， 若，则，，，， 此时中位数为，符合题意； 若，此时， ∴，解得，即； 若，则中位数，不符合题意，舍去， 综上，x的取值范围是． 8．（25-26八年级下·山东东营·期中）东营市实验中学为了解学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________；这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________； (2)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数． (3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【答案】(1)，，， (2) (3)该校每天在校体育活动时间大于的学生人数为人． 【分析】（1）一般地，一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数；一般地，将一组数据按大小顺序排列后，如果数据的个数为奇数，那么处于中间位置的一个数据是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么处于中间位置的两个数据的平均数是这组数据的中位数； （2）在个数据中，如果，，…，分别出现了，，…，次，其中，则称为这个数据的加权平均数； （3）该校每天在校体育活动时间大于的学生比例． 【详解】（1）解：本次接受调查的初中学生人数（人）． ，则． 这组每天在校体育活动时间数据的众数是． 将这个数按照从小到大的顺序排列后，第个数和第个数均为，所以这组数据的中位数为． 故答案为：，，， （2）解：统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数． （3）解：样本中每天在校体育活动时间大于的学生比例． 该校每天在校体育活动时间大于的学生人数（人）． 所以，该校每天在校体育活动时间大于的学生人数为人． 9．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）八年级（1）班数学活动选出甲、乙两组各10名学生，进行趣味数学抢答比赛，共10道题，答对题数统计如下： 答对题数 甲组 乙组 (1)分别求甲、乙两组的平均数； (2)在趣味数学抢答比赛中，甲、乙两组中哪组发挥更稳定，请说明理由． 【答案】(1)甲组平均数，乙组平均数 (2)乙组的成绩更稳定，理由见解析 【分析】（1）分别根据平均数的定义求出即可； （2）根据平均数以及方差的意义分析得出即可． 【详解】（1）解：甲组平均数， 乙组平均数 （2）解：甲组方差， 乙组方差； ，两组的平均数相同，乙组的方差小，说明乙组的成绩更稳定． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 【答案】(1)甲班中位数个，众数为个；乙班中位数个，众数为个 (2)乙班跳绳水平更高．理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义确定即可； （2）根据平均数、方差的意义做出正确的决策； （3）用总人数乘以样本中“跳绳成绩达到170个及以上”的人数占比即可． 【详解】（1）解：将甲班10名学生成绩按从小到大排列：152，158，165，172，175，175，175，178，188，192， 位于第5位和第6位的数据为175，175， 甲班中位数为（个）； 175出现3次，次数最多， 甲班众数为175个； 将乙班10名学生成绩按从小到大排列：155，158，162，170，174，176，176，180，188，192， 位于第5位和第6位的数据为174，176， 乙班中位数为（个）； 176出现2次，次数最多， 乙班众数为176个； （2）解：乙班跳绳水平更高． 理由：乙班平均数略高于甲班，说明乙班整体平均成绩更好； 乙班方差小于甲班，方差越小代表成绩越稳定、波动更小； 综上，乙班平均成绩更高且发挥更稳定，跳绳水平更高． （3）解：样本中成绩达到170个及以上的学生： 甲班有：172，175，175，175，178，188，192，共7人； 乙班有：170，174，176，176，180，188，192，共7人； 估计该校八年级达到“优秀”等级的人数为：（人）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 数据分析初步【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知平均数求未知数据的值 题型二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型三 求加权平均数 题型四 利用加权平均数求未知数据的值 题型五 运用加权平均数做决策 题型六 出错情况下的平均数问题 题型七 利用中位数求未知数据的值 题型八 求众数 题型九 利用众数求未知数据的值 题型十 求离差平方和 题型十一 离差平方和的应用 题型十二 求方差 题型十三 利用方差求未知数据的值 题型十四 根据方差判断稳定性 题型十五 标准差 题型十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 题型十七 求四分位数 题型十八 画箱线图 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 算术平均数 算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．记作：“”，读作：“x 拔”． 知识点二 加权平均数 (1)加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. (2)权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． (3)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点三 中位数 （1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点四 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识点五 方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点六 用样本估计总体 当所要考察的对象较多，或者对考察的对象带有破坏性时，统计中常常通过抽取样本，用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. （1）统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征． （2）统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发 现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知平均数求未知数据的值 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）A、B、C、D、E五名射击运动员在一次射击比赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的平均成绩是78环，则下列说法中一定正确的是（　　） A．D、E的成绩比其他三人好 B．D、E两人的平均成绩是83环 C．成绩最好的不是A、B、C D．D、E两人的成绩都不少于83环 【变式】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一组数据，的平均数是4，则的值为______. 题型讲练二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】（25-26八年级下·全国·期末）如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是_________． 题型讲练三 求加权平均数 【例3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）有7位评委为某同学的科学实验操作检测打分，采用10分制，完成实验后，根据评委所打分数计算该同学的平均分．已知打8分的有1人，打9分的有2人，打分的有a人，其余的打10分，该同学最后的平均分为9分．则打分的人数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校八（2）班若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，由这个直方图可知：这若干名学生平均每分钟跳绳的次数（结果精确到个位）大约是（   ） A．数据不全无法计算 B．93 C．100 D．105 题型讲练四 利用加权平均数求未知数据的值 【例4】（25-26八年级下·北京·开学考试）学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【变式】（24-25八年级下·浙江·期中）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 题型讲练五 运用加权平均数做决策 【例5】（25-26八年级下·广东广州·月考）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【变式】（24-25八年级下·河北唐山·月考）某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 题型讲练六 出错情况下的平均数问题 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【变式】（23-24八年级下·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 题型讲练七 利用中位数求未知数据的值 【例7】（2024·山东青岛·模拟预测）有一组数据6，1，，x，8，2的中位数为2.5，则这组数据的平均数是__________． 【变式】（2026·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A．6 B．7 C．8 D．9 题型讲练八 求众数 【例8】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）智能导航技术已广泛应用于出行领域，为市民提供了极大便利．渝北中学某数学兴趣组调查了春假期间家庭自驾出游使用甲、乙两款导航的情况，兴趣组邀请了300名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于80分，分为五组：：；：；：；：；：）．从这300人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息：抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 82 88 90 94 98 100 人数 1 1 2 5 5 6 抽取的使用者对乙款软件评分在等级的数据：93，93，94，96，96，96． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 98 乙 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，__________，__________，__________； (2)根据以上数据分析，你认为哪款更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)估计这300人中，对两款的评分成绩为等的人数分别是多少？ 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c (2)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩； ③从B等级以上（包括B等级）的人数方面来比较一班和二班的成绩． 题型讲练九 利用众数求未知数据的值 【例9】（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【变式】（2024·河北邯郸·二模）如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（    ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 题型讲练十 求离差平方和 【例10】（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【变式】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．离差平方和为40 题型讲练十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级下·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 题型讲练十二 求方差 【例12】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）求一组数据方差的算式为：，则该组数据的平均数为________． 题型讲练十三 利用方差求未知数据的值 【例13】（25-26八年级下·陕西西安·期末）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 题型讲练十四 根据方差判断稳定性 【例14】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式】（25-26八年级下·江苏·期中）某射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． (1)计算平均数，________环，环，通过统计图可以看出________（填，或）； (2)请你从运动员A，B中选拔一人参加射击比赛，并任选两种统计量说明理由． 题型讲练十五 标准差 【例15】（24-25八年级下·浙江湖州·月考）已知样本数据1，2，3，4，5，下列说法不正确的是（   ） A．中位数是4 B．平均数是3 C．标准差是 D．方差是2 【变式】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是______，标准差是______． 题型讲练十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 【例16】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）在某校进行的“慈善捐赠”活动中，为了解某班学生的捐款情况，抽样调查了该班部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． (1)本次调查这组数据的中位数为_______________元； (2)求这组数据的平均数； (3)该校共有1000名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 题型讲练十七 求四分位数 【例17】（25-26八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的第三四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 题型讲练十八 画箱线图 【例18】（25-26八年级下·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【变式】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 2．（2026·甘肃兰州·一模）某店铺展开了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（    ） A．调查总人数为1000人 B．评分为2分的人数最少 C．评分的众数为4分 D．大多数顾客对店铺的服务不满意 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（    ） A．乙组的中位数是80分 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组成绩比甲组成绩集中 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 8．（25-26八年级下·山东东营·期中）东营市实验中学为了解学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________；这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________； (2)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数． (3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 9．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）八年级（1）班数学活动选出甲、乙两组各10名学生，进行趣味数学抢答比赛，共10道题，答对题数统计如下： 答对题数 甲组 乙组 (1)分别求甲、乙两组的平均数； (2)在趣味数学抢答比赛中，甲、乙两组中哪组发挥更稳定，请说明理由． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $