第三章 数据分析初步【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 数据分析初步【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知平均数求未知数据的值 题型二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型三 求加权平均数 题型四 利用加权平均数求未知数据的值 题型五 运用加权平均数做决策 题型六 出错情况下的平均数问题 题型七 利用中位数求未知数据的值 题型八 求众数 题型九 利用众数求未知数据的值 题型十 求离差平方和 题型十一 离差平方和的应用 题型十二 求方差 题型十三 利用方差求未知数据的值 题型十四 根据方差判断稳定性 题型十五 标准差 题型十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 题型十七 求四分位数 题型十八 画箱线图 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 算术平均数 算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．记作：“”，读作：“x 拔”． 知识点二 加权平均数 (1)加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. (2)权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． (3)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点三 中位数 （1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点四 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识点五 方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点六 用样本估计总体 当所要考察的对象较多，或者对考察的对象带有破坏性时，统计中常常通过抽取样本，用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. （1）统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征． （2）统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发 现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知平均数求未知数据的值 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数，1，2，3，……后来擦掉了其中的一个，剩下的数的平均数是，擦掉的自然数是( )． 【变式】（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 题型讲练二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知样本数据的平均值为4，则样本数据的平均值为__________． 【变式】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知数据 x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为（    ） A．2 B．0 C．6 D．4 题型讲练三 求加权平均数 【例3】（24-25八年级下·天津和平·期末）甲、乙二人两次同时在一家粮店购买大米，两次的价格分别为每千克元和元．甲每次买100 千克大米，乙每次买100元大米．若甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元，则：___________，___________．（用含、的式子表示）综合考虑，甲、乙二人谁买的更合算___________． 【变式】（23-24八年级下·湖北·自主招生）郧阳中学有甲、乙、丙三个班，甲班有人，乙班有人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分.则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（   ） A． B． C． D． 题型讲练四 利用加权平均数求未知数据的值 【例4】（24-25八年级下·北京密云·期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则_____． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【变式】（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是________元．    题型讲练五 运用加权平均数做决策 【例5】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示： 候选人 艺术水平 组织能力 甲 88分 90分 乙 82分 95分 (1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ (2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把艺术水平、组织能力的成绩分别按照的比例计入综合成绩，应该录取谁？ 【变式】（23-24八年级下·全国·期末）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的两名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙两人的考试成绩统计如下（单位：分）： 候选人 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 86 92 乙 93 83 校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权，并规定平均成绩高者将被录取，试说明甲、乙两人谁将被录取？ 题型讲练六 出错情况下的平均数问题 【例6】（2023八年级下·湖南邵阳·竞赛）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【变式】（23-24八年级下·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 题型讲练七 利用中位数求未知数据的值 【例7】（24-25八年级下·江苏南通·期末）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）五名学生投篮球，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的平均数是5，中位数是6，唯一众数是7，则五个学生投中的次数可能是________________（写出一组情况即可，并按从小到大的顺序排列）． 题型讲练八 求众数 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据，6，4，4，3，4，5，1的平均数和众数相等，则这组数据的中位数为__． 【变式】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 题型讲练九 利用众数求未知数据的值 【例9】（25-26八年级下·全国·单元复习）已知七名学生投篮，每人投了10个，其中小陈同学投中了4个，统计他们每人投中的个数，并进行整理和分析，得出下表．现给出下列说法；①有学生可能投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m可能等于5．其中正确的是______．（填序号） 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一的众数是5，则这五个正整数之和的最小值是____________． 题型讲练十 求离差平方和 【例10】（25-26八年级下·浙江台州·期中）某校生物小组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：，，，，，则下列说法中不正确的是（    ） A．种子发芽数的平均数是 B．种子发芽数的中位数是 C．种子发芽数的众数是 D．种子发芽数的离差平方和为 【变式】（25-26八年级下·浙江金华·月考）若一组数据，，…，的方差为16，则这组数据的离差平方和为______． 题型讲练十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）某班级5名学生的成绩为60，70，78，90，100．若将其分为两组，如何分组可使组内离差平方和最小？请写出分法并计算最小值（除不尽的结果保留小数点后两位）． 题型讲练十二 求方差 【例12】（25-26八年级下·全国·周测）如果数据3，5，，9，10的平均数是，那么这组数据的中位数与方差分别是____________． 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·期末）将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 题型讲练十三 利用方差求未知数据的值 【例13】（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字，根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（   ） A．平均数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2 C．中位数是3，众数是2 D．平均数是3，方差是2 【变式】（24-25八年级下·北京·期末）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 题型讲练十四 根据方差判断稳定性 【例14】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【变式】（24-25八年级下·浙江温州·假期作业）A、B两家商店销售儿童玩具规模相当，今年上半年的月销量折线统计图如图所示． (1)求这两家商店1~6月的月销量的平均数． (2)已知A、B两家商店1～6月的月销量的方差分别为（平方百件），（平方百件）．根据方差和平均数，结合折线统计图，你认为今年上半年哪家商店销售情况较好？请简述理由． 题型讲练十五 标准差 【例15】（2024八年级下·浙江杭州·竞赛）测试6位同学的“一分钟跳绳”成绩，得到6个各不相同的数据，统计时出现了一些错误，将最高成绩202个写成了212个，则其中不受影响的统计量是（   ） A．平均数 B．方差 C．标准差 D．中位数 【变式】（24-25八年级下·山东东营·期中）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 题型讲练十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 【例16】（2026八年级下·江苏·专题练习）某小区冬季用家庭燃气炉取暖，为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从月日起，小强连续八天每晚记录了天然气表显示的读数，如表： 日   期 日 日 日 日 日 日 日 日 天然气表显示的读数 小强的妈妈月日买了一张面值元的天然气使用卡．已知每立方米天然气元，你认为这张卡够小强家用一个月（按天计算）吗？为什么． 【变式】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）樱桃是落叶果树中成熟最早的树种，素有“春果第一枝”之美称，其色艳，味美有芳香，被誉为水果珍品．某果园共收获2000箱樱桃，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重有以下几种数据（单位：）：，，，，，根据数据，绘制了如图所示的统计图． 根据以上信息解答问题： (1)所抽取的n箱樱桃单箱净重的中位数为________、众数为________； (2)计算所抽取的n箱樱桃单箱的平均净重； (3)试估计这个果园2000箱樱桃的总净重． 题型讲练十七 求四分位数 【例17】（25-26八年级下·全国·周测）小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组将小伟这12场比赛的得分做了如下统计图．下列说法正确的是（    ） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是50分 C．比赛得分数据集中在44.25分～50分 D．比赛得分的第三四分位数是44.25分 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）按从小到大排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则________． 题型讲练十八 画箱线图 【例18】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【变式】（25-26八年级下·全国·单元测试）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 3．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 5．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 6．（25-26八年级下·四川达州·期末）在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）两组数据3，5，，与，6，的平均数都是6．若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是____________． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 9．（25-26八年级下·全国·周测）在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 数据分析初步【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知平均数求未知数据的值 题型二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型三 求加权平均数 题型四 利用加权平均数求未知数据的值 题型五 运用加权平均数做决策 题型六 出错情况下的平均数问题 题型七 利用中位数求未知数据的值 题型八 求众数 题型九 利用众数求未知数据的值 题型十 求离差平方和 题型十一 离差平方和的应用 题型十二 求方差 题型十三 利用方差求未知数据的值 题型十四 根据方差判断稳定性 题型十五 标准差 题型十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 题型十七 求四分位数 题型十八 画箱线图 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 算术平均数 算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．记作：“”，读作：“x 拔”． 知识点二 加权平均数 (1)加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. (2)权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． (3)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点三 中位数 （1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点四 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识点五 方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点六 用样本估计总体 当所要考察的对象较多，或者对考察的对象带有破坏性时，统计中常常通过抽取样本，用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. （1）统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征． （2）统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发 现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知平均数求未知数据的值 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数，1，2，3，……后来擦掉了其中的一个，剩下的数的平均数是，擦掉的自然数是( )． 【答案】22 【分析】本题考查根据平均数求未知数据的值，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，这些数是连续自然数，无论剩多少数，他们的和显然是整数，再结合剩下的数的平均数是，可知剩下数的个数应是13的倍数才能保证剩下数的和为整数，从而分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当剩下13个数时，剩下数的总和为，而原来14个数的和为，，显然不满足； 当剩下26个数时，剩下数的总和为，而原来27个数的和为，，满足题意； 当剩下39个数时，剩下的数总和为，而原来40个数的和为，，显然不满足； 当剩下52个数时，剩下的数总和为，而原来53个数的和为，，显然不满足； 同理，其情况都不满足题意； 故答案为：22． 【变式】（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设李老师一定写了（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x，则可求出这个数的和为，再根据平均数的定义得到，可证明一定是正整数，则可证明是正整数，则n一定要是10的倍数，据此讨论n的值，进而解方程求出x的值看是否符合题意即可得到答案． 【详解】解：设李老师一定写了（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x， 所以这个数的和为， 因为擦掉x后，剩下的数的平均数是， 所以，即， 因为n为自然数， 所以当n为奇数时，为偶数，为奇数，当n为偶数时，为奇数，为偶数， 所以不管n取何值，和为一奇一偶数， 所以一定是正整数， 又因为x也是正整数， 所以是正整数， 所以n一定要是10的倍数， 当时，，解得，此时不成立； 当时，，解得，此时成立； 当时，，解得，此时不成立； 同理可验证当，x的值都不符合题意； 综上所述，擦掉的数为13， 故答案为：13． 题型讲练二 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知样本数据的平均值为4，则样本数据的平均值为__________． 【答案】9 【分析】根据算术平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：∵数据的平均值为4， ∴， ∴ ， 即样本数据的平均值为9； 故答案为：9． 【变式】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知数据 x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为（    ） A．2 B．0 C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据数据：x1，x2，…，xn的平均数是2，得出数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6，再根据每个数据都减2，即可得出数据：3x1-2，3x2-2，…3xn-2的平均数． 【详解】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是2， ∴数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6， ∴数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的平均数是6-2＝4． 故选：D． 题型讲练三 求加权平均数 【例3】（24-25八年级下·天津和平·期末）甲、乙二人两次同时在一家粮店购买大米，两次的价格分别为每千克元和元．甲每次买100 千克大米，乙每次买100元大米．若甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元，则：___________，___________．（用含、的式子表示）综合考虑，甲、乙二人谁买的更合算___________． 【答案】 乙 【分析】根据单价乘以数量等于总价即可列出式子，根据式子可比较出谁买的更合算． 【详解】∵甲、乙二人两次同时在一家粮店购买大米，两次的价格分别为每千克元和元．甲每次买100 千克大米，乙每次买100元大米． ∴甲两次购买大米共需付款元，乙两次共购买千克大米 ∵甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元， ∴ ，， ∵，且，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 给不等式两端同除以得：， ∴， 故乙买的更合算． 故答案为：，，乙． 【变式】（23-24八年级下·湖北·自主招生）郧阳中学有甲、乙、丙三个班，甲班有人，乙班有人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分.则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别计算每个班的总分，再求出三个班的总分和总人数，最后用总分除以总人数得到总平均分． 【详解】解：∵甲班有人，平均分是分，乙班有人，平均分是分，丙班有人，平均分是分， ∴甲班的总分数为分，乙班的总分数为分，丙班的总分数为分； ∴三个班的总分数为分，三个班的总人数为人； ∴总平均分是， 题型讲练四 利用加权平均数求未知数据的值 【例4】（24-25八年级下·北京密云·期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则_____． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力． 根据加权平均数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意和图表可得， 解得： 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是________元．    【答案】69 【分析】利用加权平均数的定义即可得. 【详解】解：这20名同学购买课外书的平均花费是元， 故答案为：69. 题型讲练五 运用加权平均数做决策 【例5】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示： 候选人 艺术水平 组织能力 甲 88分 90分 乙 82分 95分 (1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ (2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把艺术水平、组织能力的成绩分别按照的比例计入综合成绩，应该录取谁？ 【答案】(1)应该录取甲 (2)应该录取乙 【分析】本题主要考查了求平均数和加权平均数，正确求出甲、乙两人对应的综合成绩是解题的关键． （1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两人对应的综合成绩，比较即可得到答案； （2）用对应项的得分乘以其权重分别求出甲、乙两人对应的综合成绩，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：甲的综合成绩为分， 乙的综合成绩为分， ∵， ∴应该录取甲； （2）解：甲的综合成绩为分， 乙的综合成绩为分， ∵， ∴应该录取乙． 【变式】（23-24八年级下·全国·期末）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的两名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙两人的考试成绩统计如下（单位：分）： 候选人 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 86 92 乙 93 83 校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权，并规定平均成绩高者将被录取，试说明甲、乙两人谁将被录取？ 【答案】乙将被录取，见解析 【分析】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．根据题意先算出甲、乙两位应试者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解∶甲的平均成绩为∶(分)， 乙的平均成绩为∶(分)， ∵， ∴乙将被录取． 题型讲练六 出错情况下的平均数问题 【例6】（2023八年级下·湖南邵阳·竞赛）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 【变式】（23-24八年级下·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 题型讲练七 利用中位数求未知数据的值 【例7】（24-25八年级下·江苏南通·期末）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据定义设出五个数据，结合条件推出最大数的取值范围，即可判断． 【详解】解：设五位同学测得的个数从小到大依次为， ∵共有个数据，中位数为， ∴第三个数， ∵众数是， ∴至少出现次， ∴， ∵平均数是， ∴五个数据的和为， ∴，整理得，即， ∵数据从小到大排列，且， ∴，且， 当和时，则数据中有两个4，两个5和两个，与众数是4不符合， ∴，且，即， 且， ∵， ∴，即， ∴， ∵是正整数， ∴可取， 则对应为， ∴成绩最好的同学测得的个数不可能是． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）五名学生投篮球，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的平均数是5，中位数是6，唯一众数是7，则五个学生投中的次数可能是________________（写出一组情况即可，并按从小到大的顺序排列）． 【答案】2，3，6，7，7（答案不唯一） 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数的概念，解题关键是结合各统计量的定义，通过总和约束推导符合条件的数据． 根据平均数、中位数、众数的定义，先确定数据的个数、中间数及出现次数最多的数，再结合平均数计算总和，推导符合条件的数据． 【详解】解：已知五个数据的平均数是，因此五个数据的总和为． 中位数是，说明将数据从小到大排列后，第三个数是； 唯一众数是，说明出现的次数至少为，且没有其他数出现次数与它相同． 设五个数据从小到大排列为，则，即． 由于，可取，． 因此一组可能的数据为：． 故答案为：（答案不唯一）． 题型讲练八 求众数 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据，6，4，4，3，4，5，1的平均数和众数相等，则这组数据的中位数为__． 【答案】4 【分析】此题考查了中位数、众数、平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．解题的关键是理解平均数/中位数的求法． 由众数为，根据平均数与众数相等，列方程求解，再求中位数． 【详解】解：数据中出现三次，众数为． 平均数等于众数，即， 解得． 将数据从小到大排序为，，，，，，，，则第四和第五个数均为， 中位数为． 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【详解】（1）解：乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： （2）解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； （3）解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 题型讲练九 利用众数求未知数据的值 【例9】（25-26八年级下·全国·单元复习）已知七名学生投篮，每人投了10个，其中小陈同学投中了4个，统计他们每人投中的个数，并进行整理和分析，得出下表．现给出下列说法；①有学生可能投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m可能等于5．其中正确的是______．（填序号） 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 【答案】①④ 【分析】本题考查了统计量（最小值、中位数、众数、平均数）的概念与应用，解题的关键是根据已知统计量推断数据的分布特征，再逐一验证各说法的合理性． 【详解】解：已知7名学生投篮，每人投个，小陈投中4个，统计数据的最小值为2，中位数为6，众数为7． 将7个数据按从小到大排列为：， ∵中位数为6， ∴ ∵众数为7， ∴7出现的次数最多，至少出现2次． ∵最小值为2， ∴ 又∵小陈投中4个， ∴数据中包含4． ①有学生可能投中9个数据排列可为2，4，x，6，7，7，y，其中y可为9，符合所有条件，故①正确． ②投中6个的学生只有1人：中位数为6，数据中可能有多个6（如2，4，6，6，7，7，7），无法确定只有1人，故②错误． ③这七个数据之和可能为，若数据之和为，其中一种可能的数据组合为， ， ， ， ， ， ，但此时众数为6和7，与已知众数为7矛盾，故③错误． ④可能等于5当数据为2，2，4，6，7，7，7时，， 符合众数为7的条件，故④正确． 故答案为：①④． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一的众数是5，则这五个正整数之和的最小值是____________． 【答案】17 【分析】此题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．解此题的关键是理解唯一众数的含义与中位数的意义． 据题意，个正整数从小到大排列，中位数为，即第个数为。唯一的众数是，说明的个数最多，至少有个，则第、个数均为；再讨论前面的两个数，即可求出最小的和． 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是中位数即是； 众数是一组数据中出现次数最多的数，据题意得这组数据有两个为， 另两个为小于的整数，且不相等，所以最小的两个为，． 则可得这组数据最小和是． 故答案为：17． 题型讲练十 求离差平方和 【例10】（25-26八年级下·浙江台州·期中）某校生物小组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：，，，，，则下列说法中不正确的是（    ） A．种子发芽数的平均数是 B．种子发芽数的中位数是 C．种子发芽数的众数是 D．种子发芽数的离差平方和为 【答案】B 【分析】计算这组数据的平均数，判断A；将数据从小到大排序确定中位数，判断B；找出出现次数最多的数得到众数，判断C；计算各数据与平均数差的平方和得到离差平方和，判断D． 【详解】解：A、平均数，故A选项正确，该选项不符合题意； B、先将数据从小到大排序：，，，，， 个数据的中位数是第个数据，即，不是，故B选项错误，该选项符合题意； C、众数是一组数据中出现次数最多的数，出现了次，其余数各出现次，故众数是，C选项正确，该选项不符合题意； D、离差平方和= ， 故D选项正确，该选项不符合题意． 【变式】（25-26八年级下·浙江金华·月考）若一组数据，，…，的方差为16，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】160 【分析】用方差乘以数据的个数计算即可. 【详解】解：. 题型讲练十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【答案】75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组 最小值为62.5 【分析】本题考查组内离差平方和，熟练掌握离差平方和公式是解题的关键． 根据题意将各数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可． 【详解】解：将数据75，80，85，90，95分成两组，共有4种情况， ①，； ②，； ③，； ④，； 分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① 0 125 125 ② 12.5 50 62.5 ③ 50 12.5 62.5 ④ 125 0 125 由表可知，当75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组时，组内离差平方和最小，最小值为62.5． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）某班级5名学生的成绩为60，70，78，90，100．若将其分为两组，如何分组可使组内离差平方和最小？请写出分法并计算最小值（除不尽的结果保留小数点后两位）． 【答案】分法为和，最小值为212.67． 【分析】先将数据按从小到大排序，最优分组是按顺序将数据分成连续的两段。因此，只需列出所有连续划分的情况，分别计算组内离差平方和，比较后即可找到最小值及其对应的分组。 【详解】解：将数据分成两组，为使组内离差平方和最小，只需考虑将数据按从小到大排序后，划分成连续两组的情况，共有4种，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {60}和{70，78，90，100} 0 523 523 {60，70}和{78，90，100} 50 242.67 292.67 {60，70，78}和{90，100} 162.67 50 212.67 {60，70，78，90}和{100} 483 0 483 由表可知，当按第种分组时，组内离差平方和最小，最小值为．分法为和． 题型讲练十二 求方差 【例12】（25-26八年级下·全国·周测）如果数据3，5，，9，10的平均数是，那么这组数据的中位数与方差分别是____________． 【答案】5，8.8 【分析】根据平均数的定义列出方程求解的值，再计算中位数和方差． 【详解】解：由题意，数据的平均数为， 则， 即， 解得， 数据组为，排序后中位数为5，平均数为6，方差为． 故答案为5，8.8． 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·期末）将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方差、平均数和中位数，理解题意是解决本题的关键． 方差不变要求满足线性变换为且或；同时平均数和中位数均需发生变化，即或时b任意，据此判断即可． 【详解】解：由题意得，将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变 ∴该组数据需要满足线性变换，即且或； A：，，方差变化，不符合题意； B：，，方差变化，不符合题意； C：，，，方差不变；且平均数新旧平均数，中位数新旧中位数，均发生变化，符合题意； D：，，方差变化，不符合题意； 故选C． 题型讲练十三 利用方差求未知数据的值 【例13】（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字，根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（   ） A．平均数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2 C．中位数是3，众数是2 D．平均数是3，方差是2 【答案】D 【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字． 根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．通过计算各选项下数字6出现的可能性，平均数为3且方差为2时，数字6一定不会出现. 【详解】解：A: 可能出现数字6，例如：1，2，2，4，6（平均数为3，众数2）； B: 可能出现数字6，例如：1，1，2，5，6（平均数为3，中位数2）； C: 可能出现数字6，例如：2，2，3，5，6（中位数3，众数2，）； D：∵ 平均数， ∴ 5个数字之和为：. ∵方差， ∴. 假设出现数字6，则，且其余4个数字之和为9. 为最小化， 其余数字应尽量接近3，应为2，2，2，3，（其和为9）， ∴ 最小为， 与已知矛盾. ∴ 一定没有出现数字6. ∴ 故选：D. 【变式】（24-25八年级下·北京·期末）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 题型讲练十四 根据方差判断稳定性 【例14】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 【变式】（24-25八年级下·浙江温州·假期作业）A、B两家商店销售儿童玩具规模相当，今年上半年的月销量折线统计图如图所示． (1)求这两家商店1~6月的月销量的平均数． (2)已知A、B两家商店1～6月的月销量的方差分别为（平方百件），（平方百件）．根据方差和平均数，结合折线统计图，你认为今年上半年哪家商店销售情况较好？请简述理由． 【答案】(1)A平均数为百件；B平均数为百件 (2)见解析 【分析】本题主要考查折线统计图，从折线统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据求平均数的方法进行计算即可； （2）结合平均数，方差以及折线统计图进行分析即可． 【详解】（1）解：（百件）， （百件）； （2）解：商店月销量平均数比商店月销量的平均数大，且从图上看，商店的月销量额持续稳定增长，潜力大，说明商店经营状况较好． 题型讲练十五 标准差 【例15】（2024八年级下·浙江杭州·竞赛）测试6位同学的“一分钟跳绳”成绩，得到6个各不相同的数据，统计时出现了一些错误，将最高成绩202个写成了212个，则其中不受影响的统计量是（   ） A．平均数 B．方差 C．标准差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题主要考查了方差、标准差、中位数、平均数等知识点，掌握各统计量的定义和计算方法是解题的关键． 根据方差、平均数、标准差和中位数的定义和计算方法即可解答． 【详解】解：在方差和标准差的计算过程中都需要用到数据的平均数，C选项又是平均数，也就是说四个选项有三个跟平均数有关，而平均数的大小和每个数据都有关系，一旦某个数据改变了，平均数肯定会随之改变，而中位数是整组数据从小到大排列后取其中间的数（偶数个数据时取最中间2数的平均数）作为中位数，该事件中虽然最大数202变为212．但并不影响中间数的大小和位置，综上，不受影响的应该是中位数． 故选D． 【变式】（24-25八年级下·山东东营·期中）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 ， 所以方差不变，标准差为2． 故答案为：2． 题型讲练十六 用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 【例16】（2026八年级下·江苏·专题练习）某小区冬季用家庭燃气炉取暖，为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从月日起，小强连续八天每晚记录了天然气表显示的读数，如表： 日   期 日 日 日 日 日 日 日 日 天然气表显示的读数 小强的妈妈月日买了一张面值元的天然气使用卡．已知每立方米天然气元，你认为这张卡够小强家用一个月（按天计算）吗？为什么． 【答案】这张卡够小强家用一个月，理由见解析． 【分析】此题主要考查了利用样本估计总体，首先计算出日到日这天的平均用气量，然后计算出一个月的总用气量和气费，再与元相比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：8次读数记录的是（天）的总用气量 ， ， ∵， ∴这张卡够小强家用一个月． 【变式】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）樱桃是落叶果树中成熟最早的树种，素有“春果第一枝”之美称，其色艳，味美有芳香，被誉为水果珍品．某果园共收获2000箱樱桃，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重有以下几种数据（单位：）：，，，，，根据数据，绘制了如图所示的统计图． 根据以上信息解答问题： (1)所抽取的n箱樱桃单箱净重的中位数为________、众数为________； (2)计算所抽取的n箱樱桃单箱的平均净重； (3)试估计这个果园2000箱樱桃的总净重． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由图中数据求出n的值，再根据中位数和众数的确定方法，求出中位数和众数即可； （2）利用加权平均数的计算方法，进行计算即可； （3）用样本平均数估计总体的平均数计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：，且第10个数据和第11个数据均为，故中位数为（）； 出现次数最多的是，故众数为：（）． 故答案为：，． （2）解：（）， 所抽取的20箱樱桃单箱的平均净重为； （3）解：（）， 估计这个果园2000箱樱桃的总净重为． 题型讲练十七 求四分位数 【例17】（25-26八年级下·全国·周测）小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组将小伟这12场比赛的得分做了如下统计图．下列说法正确的是（    ） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是50分 C．比赛得分数据集中在44.25分～50分 D．比赛得分的第三四分位数是44.25分 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，理解四分位数的定义是解题的关键． 根据箱线图信息解答即可． 【详解】解：由箱线图可知， A、比赛最高得分是分，故选项A说法错误，不符合题意； B、比赛得分的中位数是分，故选项B说法错误，不符合题意； C、比赛得分数据集中在分之间，说法正确，故选项C符合题意； D、比赛得分的下四分位数是分，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）按从小到大排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则________． 【答案】48 【分析】本题主要考查四分位数的求法，掌握四分位数的求法是解题的关键． 根据四分位数定义，第一四分位数和第三四分位数分别对应数据序列中的第个和第个数据，其和为，列方程求解． 【详解】数据按从小到大排列，共个数据． 第一四分位数的位置为，故取第个数据，即． 第三四分位数的位置为，故取第个数据，即． 由题意，，解得． 故答案为：． 题型讲练十八 画箱线图 【例18】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A．观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故原说法错误； C．观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知：一班和二班成绩的中位数相同， 故原说法正确． 故选：D． 【变式】（25-26八年级下·全国·单元测试）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】根据箱线图，第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，解答即可． 本题考查了箱线图，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，故最高的是丙班． 故答案为：丙． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 【答案】A 【分析】本题主要考查了箱线图，解题的关键是掌握箱线图的定义． 根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 【答案】12 【分析】利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案． 【详解】由题图数据可知，年龄小于14岁的有4人，大于14岁的有4人， ∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等， ∴其众数也是14岁， 岁的队员最少有4人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 5．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 【答案】或5或19 【分析】设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为，考查学生的运算能力和思维的严密性;分情况讨论是求解本题的关键． 本题主要考查样本的数字特征中平均数、众数和中位数的计算． 【详解】解：设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为， 若时，中位数是4，众数为4，根据题意，得， 解得； 若是中位数时，根据题意，得， 解得； 若时，中位数是6，根据题意，得， 解得； 综上所述，丢失的数据可能是或5或19； 故答案为：或5或19． 6．（25-26八年级下·四川达州·期末）在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 【答案】 前半 大于 【分析】本题考查箱线图（箱形图）的统计意义，涉及知识点：四分位数、中位数、平均数与数据分布的关系．解题技巧是理解箱线图中 “上四分位数 - 下四分位数” 代表中间 50% 数据的范围，中位数靠近下四分位数说明前半部分数据更集中；解题关键是结合数据偏态判断平均数与中位数的大小，易错点是混淆数据偏态对平均数和中位数的影响． 【详解】箱线图的中间 50% 数据是下四分位数（Q1）到上四分位数（Q3）之间的数据．中位数（Median）靠近下四分位数，说明从 Q1 到 Median 的距离小于 Median 到 Q3 的距离，即中间 50% 数据的前半部分（Q1 到 Median）更集中．中位数靠近下四分位数，说明数据呈右偏分布（大部分数据集中在左侧，右侧有长尾）．在右偏分布中，平均数会被右侧的长尾拉高，因此平均数大于中位数． 故答案为：前半；大于． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）两组数据3，5，，与，6，的平均数都是6．若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是____________． 【答案】6 【分析】根据平均数的定义列出关于a和b的方程组，解出a和b的值，再合并数据并排序，求中位数． 【详解】由题意，第一组数据3，5，，的平均数为6，得，即；第二组数据，6，的平均数为6，得，即． 解方程组，得，． 合并数据得， 排序后为，共7个数，中位数为第4个数6． 故答案为：6． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 【答案】(1)乙班 (2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班 (3)乙班同学表现最出色（答案不唯一），理由见解析 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定， 因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； （2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班； （3）解：乙班同学表现最出色，理由如下： 因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等． 9．（25-26八年级下·全国·周测）在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 【答案】把10个苹果按直径大小分成两组是，． 【分析】先对数据排序，再尝试不同的连续分段划分方式，计算每种划分的总离差平方和，选出最小的那个划分． 【详解】解：将个数据由小到大排序为，，，，，，，，，． 计算不同分组的组内离差平方和，结果如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第三种情况的组内离差平方和最小． 因此把个苹果按直径大小分成两组是，． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 【答案】(1)和 (2)将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性 【分析】将数据从小到大排序后，为使组内离差平方和最小，分组在排序后数据上必然是连续的。故只需考虑将排序后的数据分成两个连续组的5种情况，分别计算其组内离差平方和． 【详解】（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115． 分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {75}和{78，90，105，110，115} 0 933.2 933.2 {75，78}和{90，105，110，115} 4.5 350 354.5 {75，78，90}和{105，110，115} 126 50 176 {75，78，90，105}和{110，115} 558 12.5 570.5 {75，78，90，105，110}和{115} 981.2 0 981.2 由表可知，当分组为和时，组内离差平方和最小． （2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $