精品解析：河北保定市安新县2025-2026学年八年级下学期期中质量监测数学试题

2025—2026学年度第二学期期中质量监测八年级数学试题 注意：本份试卷共8页，三道大题，24个小题；总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 2. 一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（ ） A. 18米 B. 24米 C. 34米 D. 36米 7. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边AD于点E，∠C＝130°，则∠AEB的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8. 如图，一轮船从港口出发以16海里/时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里/时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，两船相距（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 60海里 9. 四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 10. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 11. 中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线过点且与垂直，分别交于，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E，F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 任意写出一个最简二次根式________． 14. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 15. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是______． 16. 已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，经过A，C两点分别作，，E，F为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 19. 嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球．游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． （1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． （2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为x，淇淇说x的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 20. 根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … （1）【探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【应用】计算：； （3）小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 23. 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，，均与地面平行． （1）若支架与之间的夹角（）为，求两轮轮轴，之间的距离； （2）若的长度为，，求扶手到所在直线的距离． 24. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当四边形为菱形时，求t的值； ②当 s时，四边形为矩形； （3）当为直角三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中质量监测八年级数学试题 注意：本份试卷共8页，三道大题，24个小题；总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出a的取值范围，再判断符合条件的选项即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解得， 四个选项中只有D选项的满足． 2. 一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线定义，从多边形一个顶点出发，不能与自身和相邻顶点连接形成对角线，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵该多边形为六边形，边数， 从多边形一个顶点出发，不能与自身以及相邻的个顶点连接成对角线， ∴可画出的对角线条数为， 将代入得， ∴一个六边形从一个顶点出发能画出条对角线． 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与被开方数相同，故是同类二次根式； D、与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 【点睛】本题考查同类二次根式． 4. 图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的减法运算可判断A，由同类二次根式的含义可判断B，由二次根式的乘法运算可判断C，D，从而可得答案. 【详解】解：A、故A符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、故C不符合题意； D、故D不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，二次根式的加减，二次根式的乘法，掌握“二次根式的加减运算与乘法运算的运算法则”是解本题的关键. 6. 如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（ ） A. 18米 B. 24米 C. 34米 D. 36米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边AD于点E，∠C＝130°，则∠AEB的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求出∠A，再利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C=∠A=130°， ∴∠AEB=∠CBE． ∵∠ABC的角平分线交边AD于点E, ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠AEB=． 故选:B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 如图，一轮船从港口出发以16海里/时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里/时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，两船相距（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 60海里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，海里，海里，，，再利用勾股定理求出海里，即可得到两船的距离． 【详解】解：由题意可知，海里，海里，，， ， 在中，海里， 即两船相距40海里， 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角，熟练掌握勾股定理是解题关键． 9. 四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 10. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用二次根式的性质化简，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．先运用勾股定理求得线段的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴点D表示的数为． 故选：D． 11. 中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线过点且与垂直，分别交于，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得出，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的对角线相等，且垂直平分．以及菱形的面积等于底乘高，或菱形的面积等于对角线乘积的一半． 12. 如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E，F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】先由正方形的性质和角度之间的关系证明，，进而证明，得到，，，由此即可判断①②；进一步证明，根据正方形的性质即可得到，由此即可判断③；由勾股定理得到，，由此即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，，故①②正确；， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，故③正确； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④正确． 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明，是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 任意写出一个最简二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：一个最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再由这个多边形的外角和为以及题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6， 故答案为：6． 15. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是______． 【答案】17 【解析】 【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形D的面积． 【详解】如图， 根据勾股定理可知， ∵，，， ∴， ∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）； 故答案为：17． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积． 16. 已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作P点关于的对称点，连接，可知当的周长取最小值时，在一条直线上，根据垂线的定义及三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图，作P点关于的对称点，然后连接， ∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称， ∴， ∴， ∵的周长 ∴当的周长取最小值时，在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知：， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将括号内的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后与相乘； （2）先分别计算二次根式的除法和乘法运算，将结果化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，经过A，C两点分别作，，E，F为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质以及判定定理，掌握全等三角形的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，再根据，，可得，即可证明． （2）根据全等三角形的性质得，再根据，，可得，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19. 嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球．游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． （1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． （2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为x，淇淇说x的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）淇淇的说法正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）求出x的值，将化为最简二次根式，进而判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴x的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 20. 根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … （1）【探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【应用】计算：； （3）小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1）， （2） （3）22 【解析】 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可． （2）分析所给的等式可知第n个等式为：，利用规律进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：由题意可得第n个等式为：， ∴． 【小问3详解】 解：∵（，均为正整数）符合上述规律， ∴，， 解得：，， ∴． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， 故是直角三角形． （2）1800元 【解析】 【分析】(1) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． (3) 根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵DE∥BC，CF∥AB， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF＝BC， ∵D为边AB的中点，DE∥BC， ∴DE＝BC， ∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB， ∴DE＝EF； （2） 当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形， 证明：∵四边形DBCF为平行四边形， ∴BD＝CF， ∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠DCA＝45°， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是正方形． 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF＝BC，再证明DE＝BC，进而得到EF=CB，即可得证； （2）证出AD=CF，AD∥CF，则四边形ADCF是正方形，由直角三角形的性质可得出AD＝CD，∠ADC＝90°，根据正方形的判定可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线、正方形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 23. 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，，均与地面平行． （1）若支架与之间的夹角（）为，求两轮轮轴，之间的距离； （2）若的长度为，，求扶手到所在直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度即可； （2）分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∴． 答：两轮轮轴，之间的距离为； 【小问2详解】 过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点． 由题意可得，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理可得． 由（1）知是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴扶手到的距离为． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当四边形为菱形时，求t的值； ②当 s时，四边形为矩形； （3）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1） 证明：由题意可知， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，再由含角的直角三角形的性质得，得到，然后证，即可得出结论； （2）①由，得四边形为菱形，得，进而求得t的值；②时，四边形为矩形，得到，再证，得，即可得出结论． （3）分两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴要使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， ∴当时，四边形为菱形， ②要使四边形为矩形，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 即当时，四边形DEBF为矩形， 故答案为：． 【小问3详解】 ①当时， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ②当时， ∵， ∴四边形为矩形． 在中，， ∴， ∴，即， 解得， ③当时，点E与点B重合，点D与点A重合，此种情况不存在△DEF． 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $