解三角形期末章节易错练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

2025年江苏省镇江市丹阳市正则高级中学数学考前解三角形章节易错练习 一、单选题 1．若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 3．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则C=（    ） A． B． C． D． 4．在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（    ）（取，） A．100.8m B．33.6m C．81.6m D．57.12m 6．在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 7．记的内角所对的边分别为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 10．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（    ） A． B． C． D． 13．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 15．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（    ） A．﹣1 B． C． D． 二、多选题 16．在中，下列关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．在中，，，，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 18．中，角、、所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 19．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，一定有 B．若，那么一定是钝角三角形 C．一定有成立 D．若，那么一定是等腰三角形 20．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（    ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 三、填空题 21．如图，在加工一个零件时，需要计算A，C两孔中心的距离，已知mm，mm，，则 mm．（精确到0.01mm）    22．三角形的面积公式为 . 23．在中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若，则A的取值范围是 . 24．2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度 米. 25．在中内角所对边分别是若，则的形状一定是 ． 26．在中，，，则 ． 27．钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 . 28．《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B（点在建筑物的同一侧，且点位于同一个平面内），测得，在点处测得点的仰角分别为，在点处测得点的仰角为，则塔高为 .（参考数据：） 29．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 30．在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 四、解答题 31．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明： 32．在中，若，公式会变成什么？ 33．如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为，前进5km后测得此岛的方位角为．已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？（） 34．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α． 35．甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 36．在中，已知，，，解此三角形． 37．如图，为了测定对岸A、B两点之间的距离，在河的一岸定一条基线CD，测得，，，，．求A、B间的距离．（结果精确到0.01m） 38．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的面积为. (1)求a的值； (2)若D为BC上一点，且______，求的值. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 39．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 40．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)求角C； (2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025年江苏省镇江市丹阳市正则高级中学数学考前解三角形章节易错练习参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D D D C B D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C B C B C BD AB BD ABC ACD 1．B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】令，再利用余弦定理得解. 【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大， 由余弦定理可得，所以角为直角. 故是直角三角形． 故选：B． 2．C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 3．C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据已知三角形的三边长，利用余弦定理可求出角C的值 【详解】因为，，， 所以由余弦定理得，， 因为，所以， 故选：C. 4．A 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】给两边同时乘以，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，两边同时乘以得： ，由余弦定理可得， 则，所以有， 又，所以，又因为， 所以. 故选：A 5．D 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可. 【详解】在中，，，所以，又， 由正弦定理得：. 在中，. 故选：D 6．D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据，利用正弦定理求解. 【详解】解：在中，， 由正弦定理得， 所以， 所以或， 故选：D 7．D 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求出，再根据面积公式列式可求出结果. 【详解】由，得. 设边上的高为， 因为，所以， 即边上的高为. 故选：D 8．C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、求二次函数的值域或最值 【分析】依题意可得到B的取值范围，先求出，，再根据正弦定理得到，再结合二次函数性质即可求得的取值范围． 【详解】，，，， 由正弦定理可得， 令，则， 由二次函数性质知，． 故选：C． 9．B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 10．D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由题意，或，进而可得. 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 11．C 【知识点】几何图形中的计算 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 12．B 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】求得，，设出长度，利用正弦定理可得与的等量关系，再用余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可. 【详解】在中，， 因为，所以， 设（），则， 由正弦定理可知，，即，则， 在中，， ， 又，则，故， 所以． 故选：B． 13．C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 14．B 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据三角恒等变换公式得到，确定，根据面积范围得到，得到，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】， 则，即， 故， ， 即，， 整理得到. 设外接圆的半径为，由正弦定理可得：， ，故，即， ，故，即， ，则， 对选项A：，即，但不一定正确； 对选项B：，即，正确； 对选项C： ，不一定正确； 对选项D： ，不一定正确； 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，三角形面积公式，正弦定理，以此考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角恒等变换公式将条件转化为是解题的关键. 15．C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理可得sinB，进而求得cosB，设，由余弦定理可得CM，进而求出的面积，根据定义可得P为三角形的正等角中心，再由等面积法可得，再由平面向量的数量积公式得解． 【详解】因为在中，，， 所以由余弦定理可得， 由正弦定理可得，即， 又B为锐角，所以， 设，则， 即，解得，即， 所以，则， 又， 则为锐角，由于，故， 所以的三个内角均小于， 则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角； 所以 ， 所以， 所以 ， 故选：C． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，解答的关键在于确定的费马点位置，进而利用面积关系求出，即可解决问题. 16．BD 【知识点】正弦定理及辨析、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理分析判断即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以AC错误，BD正确， 故选：BD 17．AB 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求出，即可求出，再根据面积公式计算可得. 【详解】∵中，，，, ∴，即， ∴，因为， ∴或，∴或， ∴的面积为 或． 故选：AB 18．BD 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、利用三角恒等变换判断三角形的形状、诱导公式五、六、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用正弦函数的单调性可判断A选项；利用两角和与差的正弦公式可判断B选项；利用余弦定理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为且、，则， 若为锐角，则，且， 此时，即； 若为钝角，则，且， 此时，即. 综上所述，为直角三角形或钝角三角形，A不满足条件； 对于B选项，因为， 即 ， 即，因为，则， 所以，， 即，所以，， 所以，或， 因为、，则或为直角，故为直角三角形，B满足条件； 对于C选项，因为，即， 整理可得，所以，或， 故为等腰三角形或直角三角形，C不满足条件； 对于D选项，因为，整理可得， 所以，为直角三角形，D满足条件. 故选：BD. 19．ABC 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对于、根据正、余弦定理对边角进行合理转化，就可以判断. 对于、除了根据正、余弦定理对边角进行合理转化，还要结合两角和差以及二倍角公式进行验证. 【详解】对于A项：因为在三角形中，所以， 根据正弦定理：，所以，所以正确； 对于B项：因为，所以，， 故是钝角三角形，所以正确； 对于C项：，根据正弦定理， ，，所以正确； 对于D项：，即，， 解得或，所以错误. 故选：. 20．ACD 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D. 【详解】由正弦边角关系有， 所以，又且， 所以，A对； 由上，可得，B错； 对于C，如下图示，设，则，， 由，则，且，则， 所以， 而，且，则，所以，C对； 由， 而，且在上单调递增，则值域为，D对. 故选：ACD 21． 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理进行求解. 【详解】由余弦定理得 ， 其中， 故， 故mm. 故答案为： 22． 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】略 【详解】略 23． 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理及辨析 【分析】利用余弦定理即可判断角的范围，从而集合a为最长边，即可得出答案. 【详解】∵，∴， 则，∴， 又∵a为最长边，∴. 所以A的取值范围是. 故答案为： 24． 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】由得出，再由正弦定理求解即可. 【详解】由题可得，所以米，由正弦定理可得米. 故答案为： 25．直角三角形 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理翻译条件，勾股定理判断直角即可. 【详解】∵， ∴整理可得：， ∴的形状一定是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 26． 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用正、余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系可推出各边之间的关系，最后利用余弦定理即可求得答案. 【详解】设的内角的对边分别为，根据以及正弦定理， 得，即． 根据以及正弦定理，得， 所以，． 又，所以，化简得， 所以，于是． 由余弦定理，得． 故答案为： 27． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】根据题意，得到，结合是钝角三角形矛盾，得到，化简，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则或. 当时，可得，与是钝角三角形矛盾，所以， 由，则，可得， 所以 ， 所以当时，的最大值为. 故答案为：. 28．24 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】 在中，求出，，利用正弦定理求解即可. 【详解】如图，延长与的延长线交于点， 则， 所以， 所以. 在中，， 由正弦定理，得.    故答案为：24. 29． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围. 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 30． 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】结合正余弦定理将化为，再利用两角和差的正弦公式得，进而得，根据化切为弦及两角差的正弦公式得，最后根据正弦函数性质求解范围即可. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形，所以，则，， 由，得，， 所以 ， 因为，所以． 故答案为：． 31．证明见解析 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】利用余弦定理和勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得. 【详解】证明：在四边形中，因为，，，， 由余弦定理得，， 解得， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以． 32．答案见解析 【知识点】余弦定理及辨析 【详解】，即勾股定理． 33．无触礁危险 【知识点】距离测量问题 【分析】解直角三角形，求出MC的长度，即可得出答案. 【详解】由题意得在中，， 在中，， 因为，所以， 即， 故该船继续东行，无触礁危险. 34．(1)7 n mile/h (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】(1)根据余弦定理求解； (2)利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）依题意，知 在中，由余弦定理， 得 解得甲船的速度为＝7， 所以渔船甲的速度为7 n mile/h． （2）在中， 由正弦定理，得＝， 即. 35．小时 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可. 【详解】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s， 则在中，，，， 由余弦定理得， 即. 当时，最小，此时. 即经过小时，甲、乙两船相距最近. 36．，， 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求出，再由余弦定理求出，由内角和求，或由正弦定理求出再由内角和求. 【详解】由余弦定理， 得：， ∴． （方法一）由余弦定理得 ． ∵，∴． 故， （方法二）由正弦定理， 得，． ，∴a最小，即A为锐角， ∴， 故． 37． 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】在中，中，由正弦定理可求得，，最后在中，利用余弦定理即可求得． 【详解】中，已知m，，，所以由正弦定理可得．① 在中，由正弦定理可得．② 在中，已经求得和，又因为， 所以利用余弦定理可以求得、两点之间的距离为 . 38．(1) (2)答案见解析 【知识点】诱导公式五、六、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先利用题给条件求得的值，再利用余弦定理即可求得的值； （2）选①时先利用正弦定理求得的值，再利用题给条件推得，进而得到的值；选②时先利用余弦定理求得的值，再利用题给条件推得，进而求得的值. 【详解】（1）因为，，，所以， 由余弦定理得， 解得. （2）①当时，在中，由正弦定理，， 即，所以. 因为，所以， 所以，所以. ②当时，在中，由余弦定理知，. 因为，所以， 所以，所以， 所以. 39．(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范围，再结合正弦型函数的性质即可求解． 【详解】（1）根据题意，由正弦定理得， 又在中，有，所以， 所以，所以． （2）结合（1）可得，， 由，则根据正弦定理有，得，， 根据余弦定理有，得， 所以 ， 又为锐角三角形，则有，，得， 所以，所以， 故． 【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求的范围转化为求正弦型函数的值域，结合题意得到的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问（2）的关键． 40．(1)； (2) 【知识点】用向量解决线段的长度问题、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解； （2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值. 【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得， 化简得，由余弦定理得，又，则； （2） 由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则， 即，则， 所以，即， 整理得，又，解得，则， 由（1）知，则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$