精品解析：浙江省杭州高级中学2025-2026学年第二学期高三5月月考数学试题卷

2025学年第二学期杭高高三5月月考 数学试题卷 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前务必将自己的班级､姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方. 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 2. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由“”不能得出“”， 如当时，满足，不满足； 因为 所以由“”能得出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，而， 则. 4. 已知是抛物线的焦点，三点在抛物线上，若成等差数列，则三点（ ） A. 横坐标成等差数列 B. 横坐标成等比数列 C. 纵坐标成等差数列 D. 纵坐标成等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义得到的表达式，再根据成等差数列即可求解. 【详解】已知抛物线，根据抛物线的标准方程，得，解得， 因此抛物线的焦点的坐标为，即，准线方程，即， 设抛物线上的三点的坐标分别为，由于这三点都在抛物线上， 由抛物线的定义，得 ，同理， ， ， 已知成等差数列，则，即 ， 化简得，而分别为的纵坐标， 因此的纵坐标成等差数列，故C正确. 5. 已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性分析的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数，，即可求出. 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以 ， ， 解得，，又，所以，因此. 6. 在等比数列，则数列的前5项之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求得首项和公比，再由求和公式即可求解. 【详解】设等比数列公比为，首项为，根据通项公式， 由已知条件得： ​ ②÷①消去公共项得 ​，解得， 将代入①，得 ，解得， 则 . 7. 已知，且，在中随机抽取3个不同点，则这三个点可以构成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用组合数及已知条件得中点的个数、任取3个点取法数，再排除3点共线的情况，从而得到3点能构成三角形的取法数，最后应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，中点的个数为，任取3个有 种， 中的点分布如下图所示，15个点分布在3纵5横的15个位置上， 其中3个点纵向共线有种， 其中3个点横向共线有种， 其中3个点斜线共线，如图有8种， 综上，3个点可以构成三角形有种， 所以中随机抽取3个不同点，则这三个点可以构成三角形的概率为. 8. 已知曲线（为实数），为坐标原点，是曲线上不同于的两个点，曲线在点处的三条切线两两相交，且任意两条切线的夹角均为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线求导得到切线斜率表达式，再用两直线夹角公式结合已知夹角列等式，最后根据函数性质分析其值域，得出关于的不等式并求解范围. 【详解】因为曲线，所以 ， 所以原点处切线斜率为 ， 设，，两点处切线斜率为 ， ， 显然 ，因为三条切线两两夹角为， 由两直线夹角公式可得：​， 将 ， 代入上式可得： ， 化简整理得： ，同理也满足该式， 去掉绝对值得到两个不同的正根： ， 因为，分子，因此两个分母都必须为正， 即： ，因此的取值范围是 . 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数对应点在第一象限 B. C. 可能为纯虚数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数运算法则和性质逐一分析选项. 【详解】因为 ，在A选项中， ， 对应复平面内点为 ，横纵坐标均为正，因此在第一象限，A正确， 在B选项中， ，故， 又因为 ，，所以， 所以，B错误， 在C选项中， ，若为纯虚数，则实部为0、虚部非零， 所以令 ，则，此时虚部为 ，结果为， 因此存在符合条件的，C正确， 在D选项中，根据复数模的性质，对任意非零复数， 都有​，所以 ，即​， 且，等式成立，D正确. 10. 已知棱长为2的正方体中，为所在平面上一动点，下列对点轨迹探究正确的有（ ） A. 若为线段中点，且平面，则点轨迹为一条直线 B. 若与直线所成角为，则点轨迹为一个圆 C. 若的面积为，则点轨迹为一个椭圆 D. 若点到直线与到直线距离相等，则点轨迹为双曲线的一支 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先构造并证明过点的平面平行于平面，找到点所在平面与平面的交线判断A，化为与直线所成角为求轨迹判断B，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，根据已知三角形面积求出点线距离，应用向量法求点线距离列方程得到点轨迹判断C、D. 【详解】若分别是的中点，连接， 在正方体中，即共面， 由平面，平面，则平面， 又，同理可证平面， 由，平面，故平面平面， 由平面平面，易知在直线上，A对， 由正方体的结构特征，易知，故与直线所成角，即为与直线所成角， 所以，即， 则在以为圆心，半径为的圆上，B对， 构建如下图示的空间直角坐标系，则， 设，则，， 令到的距离为，若，， 所以，即 ，可得 ， 所以 ，即为椭圆轨迹，C对， 显然到的距离为，若点到直线与点到直线距离相等， 则，即， 所以，即点轨迹为抛物线，D错. 11. 在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 换号后答对概率增大 D. 换号后答对概率不变 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，乙选择号选项，答案是号选项，主持人选择号选项的概率为，即 ，故A错误； 对于B，， ， 则， 因此，故B正确； 对于CD，若不换号，乙继续选择号选项，获得奖品的概率为，主持人选择了错误的选项， 若换号，选择剩下的那个选项，获得奖品的概率为，乙换号后中奖概率增大，故C正确，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将 变形为 ，利用基本不等式求解范围得到最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号， 所以 的最小值为 13. 过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而可求出 的值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 14. 如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，.则的最大值______. 【答案】2 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设的边长为，，，利用表示出，求出，最后利用三角函数求出最值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为四边形是平行四边形，，则， 设的边长为，显然，，， 设，，则， 故，则， 因为，所以， 设，由，， 所以 ， 因为，所以， 显然当，即时，取得最大值，最大值为4. 所以的最大值为2. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 【答案】（1）证明见下详解；（2） 【解析】 【分析】（1）分别构造两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可对两个不等式作出证明； （2）利用（1）的结论，估计三角函数值并比较大小即可. 【详解】（1）解：设，，则， 又，所以单调递增，即， 所以在单调递增，因此，所以； 再设，，则， ，由，则， 所以， 则单调递减，所以，因此在单调递减， 则，所以，即， 因此，当时，； （2）由（1）知当时，， 取，则， ， 又，所以， 因此. 16. 在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. （1）证明； （2）若，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在、中分别对、应用正弦定理，结合是内角平分线的角度关系推得，同理在、中推得​，即可证；​ （2）结合已知边长及（1）结论求出的长度，进而得到，再利用勾股定理计算得到的长. 【小问1详解】 已知平分，平分的外角， 因此 即， 在中：​，得，​ 在中：​，得，​ 因为，所以 ；又，故 ， 所以；​ 同理，在中：，在中：，​ ， ， 故 ，又 ， 所以；​ 因此​，原等式得证. 【小问2详解】 已知，，因此，由(1)得，解得， 所以 ，又由（1）证明过程知，， 所以，所以 即的长为. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，将沿翻折至. （1）若二面角为直二面角，求四面体外接球的表面积； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过将几何体补成长方体即可求解； （2）建系，设锐二面角的大小为，进而确定坐标，再结合线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 即， 因为二面角 为直二面角， 即平面平面， 又 ，平面，平面平面， 故 平面 ，平面 ， 所以，故 两两互相垂直， 将四面体放入长方体中，长、宽、高分别为 ， 外接球直径等于长方体体对角线： ， 因此外接球表面积： . 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴建系， 设点在平面的投影为，连接， 则平面， 又平面，平面，则， 又，平面， 所以平面，又平面， 则，平面，平面， 则即为锐二面角的平面角，设， 因为， 所以，又 所以， 又，，， 向量 ，， 平面的一个法向量为， 则 令，则， 则 设直线与平面所成角为， 则 ， 即，平方后代入 ， 整理得一元二次方程： ， 因为锐角，，解得. 即锐二面角的余弦值为. 18. 已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程； （3）是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）为定值，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦点到渐近线的距离求解即可. （2）设出直线方程及，，与双曲线方程联立，求出和，求出直线、方程，联立求出，同理求得，即可得到直线的方程. （3）结合（2）求出、及点，分别求出、，结合韦达定理化简求解即可. 【小问1详解】 由双曲线的离心率为2，得，即. 渐近线方程为， 则右焦点到其中一条渐近线的距离为，则. 又，即，解得，. 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，，. 设过的直线方程为，，. 联立，整理得， 则，. 直线方程为，直线方程为， 联立解得 ， 即点的横坐标为. 同理可得，点的横坐标为. 所以直线的方程为. 【小问3详解】 为定值. 证明：由（2）知，，，则. 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即. . ， 所以. 而， 所以 . 故为定值，该定值为2. 19. 某生鲜电商平台销售一款时令水果，其每日市场需求量（单位：千克）为离散型随机变量，所有可能取值为，记.已知该水果成本为每千克3元，平台正常售价为每千克8元，若平台每日备货量为千克，当日未售出的水果将以每千克1元价格全部折价处理.记平台当日正价销售量为千克，每日总利润为元. （1）若，求此时的和与； （2）（i）当时，证明：； （ii）根据历史销售数据，该水果每日需求量满足，其中为常数，为使每日总利润的数学期望最大，平台应将每日备货量定为多少千克？（参考数据：） 【答案】（1）；；； （2）（i）见解析；（ii）56. 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以，所以； 是正价销售量，当，；当，； 所以； 因为总利润， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 所以 ； （ii）因为，且， 所以， 当，，当，， 所以， 所以， 由（1）知，所以, 由（i）的结论知， 所以 令， 则， 递增；同理得，递减； 设，则需要找到使得，此时最大， 当，， 当，， 因为，所以，所以， 所以， 整理得，且， 所以 ， 因为，所以应在56附近. 根据取最大值的条件且， 经检验，，，故时，最大， 所以为使每日总利润的数学期望最大，平台应将每日备货量定为56千克. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期杭高高三5月月考 数学试题卷 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前务必将自己的班级､姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方. 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知是抛物线的焦点，三点在抛物线上，若成等差数列，则三点（ ） A. 横坐标成等差数列 B. 横坐标成等比数列 C. 纵坐标成等差数列 D. 纵坐标成等比数列 5. 已知函数 在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列，则数列的前5项之和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，在中随机抽取3个不同点，则这三个点可以构成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线（为实数），为坐标原点，是曲线上不同于的两个点，曲线在点处的三条切线两两相交，且任意两条切线的夹角均为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数对应点在第一象限 B. C. 可能为纯虚数 D. 10. 已知棱长为2的正方体中，为所在平面上一动点，下列对点轨迹探究正确的有（ ） A. 若为线段中点，且平面，则点轨迹为一条直线 B. 若与直线所成角为，则点轨迹为一个圆 C. 若的面积为，则点轨迹为一个椭圆 D. 若点到直线与到直线距离相等，则点轨迹为双曲线的一支 11. 在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 换号后答对概率增大 D. 换号后答对概率不变 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，则的最小值是__________. 13. 过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 14. 如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，.则的最大值______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 16. 在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. （1）证明； （2）若，求的长. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，将沿翻折至. （1）若二面角为直二面角，求四面体外接球的表面积； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的余弦值. 18. 已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程； （3）是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 19. 某生鲜电商平台销售一款时令水果，其每日市场需求量（单位：千克）为离散型随机变量，所有可能取值为，记.已知该水果成本为每千克3元，平台正常售价为每千克8元，若平台每日备货量为千克，当日未售出的水果将以每千克1元价格全部折价处理.记平台当日正价销售量为千克，每日总利润为元. （1）若，求此时的和与； （2）（i）当时，证明：； （ii）根据历史销售数据，该水果每日需求量满足，其中为常数，为使每日总利润的数学期望最大，平台应将每日备货量定为多少千克？（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $