浙江杭州第二中学2025-2026学年高三下学期5月阶段测试数学试题

**基本信息** 杭州二中高三数学月考卷，以古代数学文化（僧一行晷影算法）、现代科技（人工智能市场数据）为情境，融合函数、数列、几何等核心知识，注重数学眼光观察与思维推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|等比数列充要条件（第3题）、椭圆离心率（第5题）、统计回归（第9题）|结合文化与科技情境，考查抽象能力与推理意识| |填空题|3/15|向量投影（第12题）、二项式定理（第13题）、立体几何外接球（第14题）|注重空间观念与运算能力| |解答题|5/77|三角面积计算（15题）、双曲线定值证明（18题）、导数单调性与不等式证明（19题）|梯度设计合理，综合考查创新意识与逻辑推理，呼应高考命题趋势|

杭州二中2025学年第二学期高三数学测试（四） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．（   ） A．2 B．4 C． D．6 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．为等比数列的前项和，，对，甲：；乙：；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 8．已知函数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（    ） A．人工智能的市场规模与年份正相关 B．人工智能的市场规模的分位数为110 C．关于的回归方程为 D．人工智能的市场规模的年增长率约为 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 11．已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 13．的展开式中含的项为____. 14．如图为四棱锥的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为的中点，，则四棱锥的外接球表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，内角，，满足． (1)求； (2)若为边上一点，，，，求的面积． 16．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，. (1)求证：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 18．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 19．已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《杭州二中2025学年第二学期高三数学测试（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B D C A B AD ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由题意：. 故选：C 2．C 【详解】∵在单调递增， ∴，则. 故选：C. 3．B 【详解】充分性：由 可得； 因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比， 当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立； 必要性：因为，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数， 所以，因此，即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件. 4．B 【详解】由题可得，又， 所以. 即第二次的“晷影长”是“表高”的. 5．D 【详解】因为直线，的斜率之积为，所以，， 由直线的斜率为3，可知，所以， 因为，所以，， 因为，所以，即， 所以，所以. 6．C 【详解】由，，，知，， 又，所以，故， 又，故，所以， 因此可得. 故选：C. 7．A 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 8．B 【详解】函数的定义域为， 可得函数在上单调递增， 又， 由，得， 因为函数在上单调递增，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 9．AD 【详解】对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A正确； 对于B，分位数是从小到大第9个和第10个数据的平均数，即，故B错误； 对于C，因为，即，故C错误； 对于D，设，则，故的年增长率约为，故D正确. 故选：AD. 10．ABC 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 11．ABD 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 12． 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 13． 14． 【详解】是边长为1的等边三角形，故侧棱，，底边； 是中点，，是平行四边形，故底边，，，. 可知底面为等腰梯形， 因为为等边三角形，且为平行四边形， 可得：，在底面中连接， 则， 即，， 在底面以分别为轴，过作平面的垂线为轴，如图： 可得： ，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由、、​​， 可得， 解得 即 由四棱锥外接球的性质， 外接球的球心在过​垂直于底面的直线上，故设球心， 由得： ，解得​， 因此外接球半径平方： ， 外接球表面积： . 15．【详解】（1）由， 所以, 所以，又为三角形内角，所以， 所以． （2）因为，所以， 所以， 又，所以，， 所以面积． 16．【详解】（1）方法一：如图，连接，在矩形中，，，， 所以，， 又，，所以. 因为，所以，即. 因为平面，平面，所以. 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以. 方法二：由题意可知，，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，，，则，，. 设，则，. 由可得，即. （2）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为四边形是矩形，所以为的中点，所以为的中点. 由题意可知，，，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 故，，，. 所以，，. 设为平面的一个法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．【详解】（1），则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． （2）， ， ， ， ， ， ，故． 18．【详解】（1）由题意知的渐近线方程为， 设，则. 因为，所以， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1），得，，设，，， 直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为，所以， 所以，即为定值. （ii）解：若直线的斜率为0，根据对称性，直线与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，又，不重合，故可设直线的方程为. 联立得， 由题意得且，即， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线的方程为，因此直线恒过点， 所以当时，坐标原点到直线的距离取得最大值4. 19．【详解】（1）由题设且，则，所以切线方程为； （2）设，令，则， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以，即， 故的增区间为，无减区间； （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 则， 所以单调递增，， 在上，，单调递减，， ，， 所以，， 所以，，即，原不等式成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $