精品解析：浙江杭州高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

2025学年第一学期杭高期末考试高三 （数学）试题卷 1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2. 答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方. 3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4. 考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解指数不等式求出集合，然后根据集合的交运算即可求解. 【详解】由得，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 已知复数，，则复数的模等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出，再求出其模作答. 【详解】复数，，则， 所以. 故选：B 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的公式得，再求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，， 所以，. 又， 所以. 故选：C 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点及函数在时函数值的符号，利用排除法求解. 【详解】令， 解得或，即函数有2个大于0的零点，排除BD选项； 又当时，，故可排除A选项. 故选：C 5. 记为数列的前n项积，已知，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】当时，有，当时，有，结合题目条件，即可求得本题答案. 【详解】1.当时，，，； 2.当时，有，代入，得， 化简得：，则，. 故选：D 6. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ） A. 54 B. 81 C. 135 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】先选出选择菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可. 【详解】菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了菜， ①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有 ②丙选用了B菜，丙再从中任意选用1种，有种，甲、乙再从中各任 意选用1种，有种，故共有 由①②可知所有情形是. 故选：C 7. 过作直线交圆于另一点，连接和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，然后利用点F在椭圆上结合两点斜率公式求得，进而可得结论. 【详解】设的斜率为，因为，， 所以为圆的直径，所以， 设的坐标为，所以， 所以，故. 故选：A. 8. 若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性和对称性求解. 【详解】由，，知函数关于，点对称， 结合当时，，作出函数图象如图， 为向上攀爬的类周期函数，由图象可得， 由可得， ， 由可得， ， 所以，则有， 因为，所以， 所以， 故选:A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于统计的知识，说法正确的是（ ） A. 若数据的方差为0，则所有的都相等 B. 已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C. 数据的第70百分位数是8.5 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 【答案】AD 【解析】 【分析】由方差、中位数、百分位数和相关系数的概念逐项判断即可. 【详解】A项：由方差知识得，A项正确； B项：去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，B项错误； C项：，则70百分位数为第6个数9，C项错误； D项：样本点都在直线，则完全负相关，所以相关系数为，D项正确. 故选：AD 10. 已知函数的图像关于对称，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上有两个极值点 C. 直线是的对称轴 D. 直线是的切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用图像关于对称，求得，进而求得解析式，利用余弦函数的单调性判断A；结合极值点的概念利用余弦函数性质判断B；利用余弦函数的对称性判断C；利用导数的几何意义求解切线方程判断D. 【详解】因为函数的图像关于对称， 所以即，又，所以， 所以， 令，又，所以，所以不单调，故A错误； 因为，所以，所以有两个极值点，故B正确； 因为，所以直线是的对称轴，故C正确； 因为，令，即， 所以或， 解得或，又 所以时的切线方程为，即， 所以直线是的切线，故D正确. 故选：BCD. 11. 在平面上，抛物线的焦点为，准线为，点在曲线上且位于第一象限，设的角平分线交于点，交于点.已知，点关于轴的对称点为，则以下说法正确的有（     ） A. B. C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由焦点坐标求出抛物线的方程为，过点作的垂线交抛物线于点，可证与重合，故，A正确；设点，由三点共线，且，用表示点的坐标，根据点在抛物线上求出，即可求得，判断B；由，判断C；由直线斜率相等，判断D. 【详解】由题意知，. 过点作的垂线交抛物线于点，可知，所以. 又平行于轴，所以，所以. 因为是的角平分线，所以. 因此与重合，故，A正确； 设点，则. 设，由三点共线，且，得，即，解得. 故，于是，所以，. 所以，所以，B错误； 因为，所以是正三角形，所以， 因为，所以三点共线，C正确； 易得所以. 又，因此三点共线，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】把二项展开，只有与相乘得到项，由此即可得到本题答案. 【详解】因为 所以展开式中项的系数为. 故答案为： 13. 在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥的外接球半径，计算出的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果. 【详解】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中， 设长方体的长、宽、高分别为、、，如下图所示： 则，，，解得，， 外接球直径，其半径为， 三棱锥的体积， 在中，，，取的中点，连接，如下图所示： 则，且，所以，， 因为三棱锥的每个面的三边分别为、、， 所以，三棱锥的表面积为， 设三棱锥的内切球半径为，则，可得， 所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为. 故答案为：；. 14. 在四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题意可得，即，整理即可得到的顶点C的轨迹方程，由，设，求出的轨迹方程，再将D的轨迹方程沿y轴翻折得到，与双曲线求交点坐标，即可得解； 【详解】解：设，，由得， 当点C在x轴上方时，，故有 当点C在x轴下方时，，故有 两者都有，所以 则，化简得 的顶点C的轨迹方程为 由，设，得点D的轨迹方程为 ，把圆沿y轴翻折得到，与联立消元，得到 解得或（舍去），所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角得到，即可得到，从而得证； （2）解法1：由（1）可知，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，则，即可求出的取值范围；解法二： 利用，边化角可求其范围. 【小问1详解】 由余弦定理， 代入得，则， 由正弦定理得 所以， 所以, 得 由知，故， 所以或（舍去） 所以 【小问2详解】 解法1：，由得， 所以， . ， 由，得，， 所以， 所以，即； 解法2：由得， 因为，所以，得， 所以，即， 所以. 16. 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，， 所以，， 所以，又因为，平面， 所以⊥平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知利用勾股定理的逆定理可得，可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为． （1）若，求； （2）若，，． ①求； ②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得； （2）①依题意可得，，再利用裂项相消法求和即可； ②①可知，即，令，判断的单调性，再由特殊值即可求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 ①因为，，， 所以，， 所以 ； ②由①可知，所以， 令，则， 所以单调递减，又，， 所以当时，则的最小值为. 18. 设双曲线的右焦点为，到其中一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点， （i）求的值； （ii）过平行于的直线分别交直线、轴于、，记，求实数的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得双曲线的方程； （2）（i）设AB直线方程为，，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，把逐步化简，即可求得本题答案； （ii）把和的直线方程分别求出，联立可求得，进而计算可得结论. 【小问1详解】 因为到其中一条渐近线的距离为，所以， 又，所以 ， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 设直线方程为，则 代入双曲线方程得：. 设，则， （i）， 而 ， 所以，则， 所以； （ii）过平行于的直线方程为 ， 直线方程为与联立 得， 即， 则， 所以， 由两式相除得 ，则， 所以， 因为，所以， 故为线段的中点，即， 所以． 19. 设，，.已知函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. （3）证明：若正实数满足，，则必有． 【答案】（1） （2）恒成立，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义导数值等于切线的斜率即可求解. （2）时，将不等式恒成立，转化为恒成立，构造函数和分别证明不等式两侧恒成立即可. （3）利用（2）的结论当时，不等式恒成立，则当时，由可证明，再由可证明所以即可求解. 【小问1详解】 设， ， 则函数在处的切线方程为 即 与对照，知且 所以 【小问2详解】 由（1）知 结论：当时，不等式恒成立 证明：由 推得，. 设，则， 令，当时， 所以在上单调递增，又 故， 所以. 所以在上单调递增，又 所以 而 设， 则，令 所以在上递增，又 即， 所以在上递增，又 所以，即 所以， 【小问3详解】 因为上递增， 故当时，必有 由（2）知当时， 所以 当时，有，即 设，对称轴 欲证，只需证 即证， 即证，即证，成立，所以 又由（2）知 所以 当时，有，即 设，在递增 欲证，只需证 即证， 即证 即证，即证 即证，即证 成立，所以. 综上，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期杭高期末考试高三 （数学）试题卷 1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2. 答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方. 3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4. 考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则复数的模等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 记为数列的前n项积，已知，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ） A. 54 B. 81 C. 135 D. 162 7. 过作直线交圆于另一点，连接和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则 ( ) A. B. C. D. 8. 若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于统计的知识，说法正确的是（ ） A. 若数据的方差为0，则所有的都相等 B. 已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C. 数据的第70百分位数是8.5 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 10. 已知函数的图像关于对称，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上有两个极值点 C. 直线是的对称轴 D. 直线是的切线 11. 在平面上，抛物线的焦点为，准线为，点在曲线上且位于第一象限，设的角平分线交于点，交于点.已知，点关于轴的对称点为，则以下说法正确的有（     ） A. B. C. 三点共线 D. 三点共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中项的系数为________. 13. 在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 14. 在四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 16. 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为． （1）若，求； （2）若，，． ①求； ②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值． 18. 设双曲线的右焦点为，到其中一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点， （i）求的值； （ii）过平行于的直线分别交直线、轴于、，记，求实数的值． 19. 设，，.已知函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. （3）证明：若正实数满足，，则必有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $