21.3.2 菱形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.2菱形 前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性质得出相应的判定,那么我们学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 我们大家一起来尝试一下吧! 类比导入 类比导入 图形 性质定理 判定定理 平行四边形 对边平行 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 知识精讲 知识点一 菱形的性质 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形. 有一个角是直角 思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形 邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 归纳： 命题1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC， ∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB， ∠ABD=∠CBD. A B C O D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO．∵BD⊥AC,∴AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). ∴▱ABCD是菱形. 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 下面我们来进行验证： 新知探究 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且BD⊥AC. 求证：▱ABCD是菱形. B A C D O 归纳总结：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形, 且BD⊥AC. ∴▱ABCD是菱形． 归纳总结 解：（2）∵AB = AD, A B C O D ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 知识归纳 对边相等 四个角都是直角 对角线互相 平分且相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 矩形的性质 菱形的性质 对角相等 对角线互相平分 对边相等 平行四边形的性质 对应训练 2. 如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC 的延长线上.若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为 　 °. 64 A B C D E 3. 四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，且AB=5,AO=4,求AC和BD的长. 对应训练 【选自教材P57，练习第1题】 解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO,BO=DO且AC⊥BD. ∴△ABO是直角三角形. ∴BO= =3. ∴AC=2AO=8, BD=2BO=6. A B C D O 1.如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O， ① AB∥CD ；②AB＝CD；③AD＝BC； ④∠ADB＝∠CDB ；⑤∠BAC＝∠DCA ；⑥∠DAB＝∠DCB ； 要判定四边形ABCD是平行四边形， 则添加的条件可以是（ ） A. ① ② ③ ⑤ B. ① ③ ⑤ ⑥ C. ① ② ⑤ ⑥ D. ① ② ④ ⑥ A D B C O B 【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆ 四、巩固新知，灵活运用 2.如图，E是□ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是（ ）. A.∠ABD＝∠DCE C.∠AEB＝∠BCD D.∠AEC＝∠CBD B. DF＝CF 【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆ A B D C E F C 问题3　(1)如图，菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢？ 提示　能，过点A作AE⊥BC于点E，如图， 则S菱形ABCD=底×高=BC·AE. (2)前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？ 提示　∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC =AC·BO+AC·DO =AC·(BO+DO) =AC·BD. 5.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形. A D B C E F 证明：∵四边形AEFD和EBFC都是平行四边形， ∴EF∥AD，EF＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴EF∥BC，EF＝BC， 【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆ 3.如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形． A D B E C F 由平行易知：∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB 【思路】 易得：BC＝EF，可证△ABC≌△DEF 得AB＝DE，又AB∥DE，得证ABED是□ 显示规范解答 【题型】平行四边形的判定方法的运用. 难度：☆☆ 练 习 1. 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB = 5， AO = 4. 求 AC，BD 的长以及菱形 ABCD 的面积. 解：如图. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥ BD，AO = CO，BO = DO. 在 Rt△AOB 中，AB = 5，AO = 4， ∴BO = = = 3. ∴AC = 2AO = 8，BD = 2BO = 6. ∴S菱形ABCD = AC·BD = ×8×6 = 24. D A B C O 【选自教材第73页 练习 第1题】 2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E， F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF. 求证：△DEF 是等边三角形. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = AD = CD = BC，∠C = ∠A = 60°， ∴△ABD，△CBD 是等边三角形， ∴∠ADB =∠CDB = 60°. ∵E，F 分别是边 AB，BC 的中点， ∴∠BDE = ∠ADB = 30°，∠BDF = ∠CDB = 30°， AE = AB，CF = BC . 【选自教材第74页 练习 第3题】 知识结构 四边形 两条边都相等 平行四边形 对角线相等互相垂直 有一组邻边相等 菱形 菱形 菱形 1. 如图，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形. 角相等 边相等 菱形ABCD 平行线 +角平分线 点击查看解题过程 课后作业 【选自教材P60，习题18.2第6题】 F D C B A O E 当堂检测 当堂检测 解析：如图，取AB的中点G，连接PG. ∵四边形ABCD是菱形， . ，G分别为AD，AB的中点， ∴点E，G关于直线AC对称， ，， 即当G，P，F三点共线时，的值最小，最小值为FG的长. 6.如图，菱形ABCD的边长为2，P是对角线AC上的一个动点，E，F分别为边AD，DC的中点，求的最小值. 解析：是DC的中点，G为AB的中点， ， 又， ∴四边形AGFD是平行四边形，. 6.如图，菱形ABCD的边长为2，P是对角线AC上的一个动点，E，F分别为边AD，DC的中点，求的最小值. $