21.3.3 第二课时：正方形的判定课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3.3 第二课时：正方形的判定 学习目标 1.理解并掌握正方形的判定和推导过程. 2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明. 重点：掌握正方形的判定和推导 难点：运用正方形的判定进行计算和证明. 复习导入 正方形的性质有哪些？ 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. 轴对称图形，有四条对称轴. 对边平行，四条边都相等 A B C D O 完善体系 你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考:怎样判定一个四边形是正方形呢？ 正方形 一组邻边相等 对角线垂直 有一角为直角 对角线相等 如何证明？ ？ 四个判定定理 探究新知 知识点1 正方形的判定 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 菱形条件(二选一) + 矩形条件(二选一) 针对训练 1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD是正方形. 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 ∴AC=BD或∠BAD=90〫或∠ABC=90〫或∠BCD=90〫或∠ADC=90〫均满足题意 A B C D O 针对训练 2.满足下列条件的四边形是不是正方形？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形. （2）对角线互相垂直的矩形. （3）对角线相等的菱形. （4）对角线互相垂直平分且相等的菱形. 4个都是正方形，满足正方形的判定条件. A B C D O 针对训练 3. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形。下列推理过程正确的是( ) A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② A 探究新知 知识点2 中点四边形 思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 典例解析 题型1 正方形的简单判定 例1.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 典例解析 题型2 正方形的判定 例2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 证明：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD． 又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD（SAS）． ∴∠ADB=∠CDB． 典例解析 题型2 正方形的判定 例2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°． 又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形． ∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN．∴四边形MPND是正方形． 典例解析 题型3 辅助线 例3.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形. A B C D E F G 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形ADFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF， ∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形. 解：(1) 四边形 AFHE 是正方形，理由如下： 由旋转的性质可知，△AEB≅△AFD， ∴∠AEB=∠AFD=90 ∘ ，AE=AF，∠DAF=∠EAB。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠DAB=90 ∘ 。∴∠FAE=∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠DAB=90∘。 ∴∠AEB=∠AFH=∠FAE=90 ∘ 。 ∴ 四边形 AFHE 是矩形。又∵AE=AF，∴ 矩形 AFHE 是正方形。 针对训练 4. 如图，E 为正方形 ABCD 外一点，∠AEB=90°，将 Rt△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转 90° 得到△ADF，DF 的延长线交 BE 于点 H。 (1) 试判定四边形 AFHE 的形状，并说明理由； (2) 已知 BH=7，BC=13，求 DH 的长。 针对训练 4. 如图，E 为正方形 ABCD 外一点，∠AEB=90°，将 Rt△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转 90° 得到△ADF，DF 的延长线交 BE 于点 H。 (1) 试判定四边形 AFHE 的形状，并说明理由； (2) 已知 BH=7，BC=13，求 DH 的长。 解：(2) 如图，连接BD，∵BC=CD=13， ∴BD=​=13​。∵ 四边形AFHE是正方形， ∴∠BHD=∠EHD=90∘。 ∵BH=7，∴ 在Rt△BHD中，由勾股定理得： BH2+DH2=BD2 ∵DH>0∴DH=17 典例解析 题型4 对称特性 例4.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. B A C D O E H G F 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. 针对训练 5.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． （1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中，… ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴BF=DE； 针对训练 5.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． （2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE= AC， ∵AF=AE，∴BE=AF=AE. 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF，∵BE=AF， ∴得平行四边形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴四边形AFBE是正方形． 归纳总结 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 菱形条件(二选一) + 矩形条件(二选一) 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 作业布置 课堂作业:P78习题21.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $