13.3 数据的离散程度第3课时数据的分组 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第13章 数据的分析 青岛版 八年级下册 内容提要 数据的集中趋势 数据的离散程度 随机现象的变化趋势 在一组数据中，一个数据与这组数据的平均数的差叫作这个数据的离差。 提示：（1）离差可能是正数或负数,也可能是0；（2）离差的符号及其绝对值分别反映了该数据偏离平均数的方向与大小；（3）任意一组数据的离差之和都是0。 1.离差的概念：: 温故而知新 设n个数据 x1,x2, …,xn 的平均数是 ,各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和,即 （x1- ）2 +（x2 - ）2+ …+（xn- ）2 2.离差平方和的概念: 3.方差的概念：: 各数据离差的平方的平均数,叫作这组数据的方差, 即S2=［ (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2］。 温故而知新 温故而知新 现实中,我们经常需要对数据进行分组。 用什么方法分组更合理呢? 离差平方和、方差都是刻画一组数据的离散程度的统计量。 离差平方和、方差越大，数据波动越大，越不稳定。 青岛版数学 八年级下册 第13章 数据得分析 13.3 数据的离散程度 第3课时 数据分组 在“激活沉默用户”的测试中，公司每天安排不同的客服人员解答用户提出的问题。负责A方案的7位客服人员一天接待的用户人数，如下表所示： 为提高客服接待工作的有效性，公司计划将7位客服人员分为两组，使得每组的客服人员接待的用户人数尽量接近。该如何分组呢? 观察与发现 以客服人员编号为横坐标，接待用户数量为纵坐标，在平面直角坐标系中描点。 观察与发现 (1)你建议怎么分组? 应该将接待用户人数较少的客服作为一组，接待用户人数较多的作为另一组。 思考与交流 我认为编号1,2,3的客服应在一组，其余的在另一组。不过编号为4的客服好像也可以和编号为1,2,3的在一组。 (2)哪种分组方法能使得组内数据更为接近呢? 把7位客服接待的用户人数从小到大排列，得到： 143 148 157 165 178 192 204 思考与交流 将这些数据分为两组，有6种情况，计算每种分组方式下两个组的离差平方和之和，计算结果如下表所示(保留1位小数): 两个离差平方和之和最小的分组方式可以认为是最符合要求的。 按照“前4个数为第一组，后3个数为第二组”进行分组，即将编号为4,5,6,7的客服分为一组，编号为1,2,3的客服分为另一组时，两组数据的离差平方和之和最小。 将按从小到大顺序排列的n个数据x1,x2, …,xn 分为两组，x1,x2, …,xm为第一组，xm+1,xm+2, …,xn 为第二组，两组数据的离差平方和之和叫作这n个数据的组内离差平方和,记作 S12 ， 即S12=［ (x1- )2+(x2- )2+…+(xm- )2］ +(xm+1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2］。 = (x1+x2+ …+xm) = (xm+1+xm+2+ …+xn) 组内离差平方和的概念: 概括与表达 组内离差平方和表达了两个组内数据的离散程度。 在统计中，分组的方法有很多，通常认为 “使得组内离差平方和S12 的值最小”是一种合理的方法。 1.数据组内的方法： 2.数据分组的步骤： (1)将所给的一组数据按从小到大排列。 第一组第1个数据，第二组后(n-1)个数据，计算组内离差平方和得到S12； (2)将排序后的一组数据(可记为x1,x2, …,xn)依次分成两组，有下面(n-1)种情况，并计算每种情况下的组内离差平方和，如下： 第一组前(n-1)个数据，第二组后1个数据，计算组内 离差平方和得到 Sn-12 第一组前2个数据，第二组后(n-2)个数据，计算组内离差平方和得到S22； ...... (3)比较各种分组情况下的组内离差平方和的大小，最小的一组即分组的形式。 例1、下表是某市2022年每个月的平均气温。按照使组内离差平方和最小的方法,将数据分为两组。 例题讲析 解:将每个月的平均气温按从小到大的顺序排列,如下表: 月份 1 2 12 11 3 4 10 5 9 8 7 6 平均气温 0.8 2.3 3.1 9.9 11.8 15.4 16.1 23.2 23.2 25.6 28.7 28.9 计算各种分组情况下的组内离差平方和,列表如下: 按照使组内离差平方和最小的方法,将这些数据分为两组有两种方案。 方案一: 1月,2月,12月,11月,3月为一组; 4月,10月,5月,9月,8月,7月,6月为一组。 方案二:1月,2月,12月,11月,3月,4月,10月为一组; 5月,9月, 8月,7月,6月为一组。 例2、物理兴趣小组的两位同学练习用游标卡尺测量同一个 零件。他们五次测得的尺寸分别为(单位:mm): 甲 20.02 20.01 19.98 20.03 19.99 乙 19.97 20.02 20.00 19.99 20.01 (1)若以两组数据方差的大小,作为评价两位同学的测量水平 的指标,哪位同学的水平更高? 例题讲析 解：(1) =（20.02+20.01+19.98+20.03+19.99）÷5 =20.006, S甲2=×［(20.02-20.006)2 +(20.01-20.006)2 +(19.98-20.006)2 +(20.03-20.006)2 +(19.99-20.006)2 ］= ×0.00172=0.00034 解： =（19.97+20.02+20.00+20.01+19.99）÷5 =19.998, S乙2=×［(19.97-19.998)2 +(20.02-19.998)2 +(20.00-19.998)2 +(20.01-19.998)2 +(19.99-19.998)2 ］= ×0.00148=0.000296 因为S甲2＞S乙2，所以乙同学的测量水平更高。 (2)小亮的想法是正确的。 (2)小亮提议按照20±n的方式整理数据,得到两组新数据: 甲 +0.02 +0.01 -0.02 +0.03 -0.01 乙 -0.03 +0.02 0.00 -0.01 +0.01 他认为新数据的方差就是原数据的方差。 他的这种想法正确吗? 由此,你受到什么启发? 例题讲析 (2)小亮的想法是正确的。 ∵若x1,x2, …,xn 的平均数为 ，方差为S2则： x1+b,x2+b …,xn+b的平均数为 ;方差 ； +b S2 ∴所以新数据的方差=原数据的方差。 由此得到的启发：一组数据中的每个数据同时加上或减去同一个常数，所得到的新数据的方差不变。故在计算一组数据的方差时，可通过适当的变换简化数据的计算。 所以小亮的想法是正确的。 1.将一组数据:1,2,3,4,8,9,按照使组内离差平方和最小的方法分为两组。 2. 质检部门在甲、乙两种饮料中各抽取10瓶250mL的果汁饮料,检测其中维生素C的含量。检测数据如下(单位:mg): 甲 90 93 89 91 92 92 89 92 91 91 乙 91 89 94 89 93 94 93 92 93 92 哪种饮料维生素C的含量高? 哪种饮料维生素C的含量比较稳定? 跟踪练习 课堂小结 这节课你有什么收获？ $