精品解析：2026年天津市红桥区九年级二模数学试题

九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 7 C. D. 1 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 据2026年4月14日《天津日报》报道，2006年7月1日，青藏铁路全线通车运营，彻底结束了西藏没有铁路的历史．到2025年末，进出藏货运量已攀升至8313000吨，年均增长率达18%．将数据8313000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 估计2的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 计算的结果等于（ ）． A. B. C. D. 8. 已知，若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 9. 九章算术是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有漆三得油四，油四和漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆．问出漆、得油、和漆各几何？”题目译文是：若有三份漆可换得份油，用份油可调份漆．今有漆斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆．问拿出换油的漆、换得的油、留下用于调和用的漆各是多少？若设拿出换油的漆为，换得的油为，根据题意可列方程组为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点，；④连接与相交于点，与相交于点，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，且点在的延长线上，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 12. 在中，，，于点．点从点出发，沿线段、线段运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为．当时，所作出的四边形如图所示，此时．有下列结论： ①当时，； ②当时，四边形是正方形，且； ③当时，的取值范围是． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 九年级数学 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、2个白球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是_____． 14. 计算的结果是______． 15. 计算的结果为________． 16. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 17. 如图，在正方形中，，点在其外角的平分线上，以为边作矩形，点恰好落在边上，连接，． （I）的大小为________（度）； （II）若，则线段的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上． （I）线段的长为________； （II）点在的延长线上，点，在以为直径的半圆上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 20. 某景区管理处为了解景区的服务质量，从该景区四月份的游客中随机调查了名游客对景区的服务质量进行评分（满分10分），根据统计的结果，绘制成统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组游客对景区服务质量的评分数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组游客对景区服务质量的评分数据的平均数； （3）根据样本数据，若该景区四月份的游客人数为5000人，估计该景区四月份的游客对景区服务质量的评分不低于9分的人数约是多少? 21. 已知点，在以为直径的上，，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）如图①，连接，若，求的大小； （2）如图②，连接与相交于点，若四边形是平行四边形，，求线段的长． 22. 在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一座古塔的高度（如图所示）． 某学习小组设计了一个方案：点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得古塔顶部的仰角为，在处测得古塔顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算古塔的高度（结果保留整数）． 参考数据：，． 23. 已知学生宿舍、凉亭、体育场依次在同一条直线上，凉亭离宿舍，体育场离宿舍．张强从宿舍出发，先匀速骑行到达体育场，在体育场锻炼了，之后匀速骑行到达凉亭，在凉亭休息了后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间 2 10 40 50 张强离宿舍的距离 2 ②填空：张强从宿舍到体育场的骑行速度为________； （2）当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式； （3）同宿舍的李明比张强提前离开体育场，匀速步行直接回宿舍，如果李明和张强同时到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在第一象限，顶点．点在边上（点不与点，重合），且．沿着折叠该矩形，得顶点的对应点为． （1）填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）经过点再次折叠该矩形，使点的对应点落在线段的延长线上，折痕与边相交于点．设． ①如图②，当点落在的上方时，试用含有的式子表示点的坐标，并直接写出的取值范围； ②设折叠后与矩形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，为常数，）经过点，其顶点为． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线与轴的另一个交点，点是抛物线与轴的交点． ①若，求的值； ②过点作，与抛物线相交于点，以为边的的顶点在直线上，当取得最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：． 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边有一个小正方形，则主视图为： 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，据此逐一判断选项． 【详解】解：选项A、“夙”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、 “兴”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“昧”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项D、“旦”：存在竖直中线，沿这条直线折叠后左右两部分可完全重合，是轴对称图形． 4. 据2026年4月14日《天津日报》报道，2006年7月1日，青藏铁路全线通车运营，彻底结束了西藏没有铁路的历史．到2025年末，进出藏货运量已攀升至8313000吨，年均增长率达18%．将数据8313000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：科学记数法表示为． 5. 的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入 特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 6. 估计2的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的范围＜＜3，即可得出答案 【详解】∵<7<9， ∴＜＜3， ∴5<2<6， 故选C. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，确定的范围是解题关键. 7. 计算的结果等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，解题思路为统一分母，将异分母分式转化为同分母分式计算，再对分子因式分解约分得到结果． 【详解】 ， ， ． 8. 已知，若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，推出，再根据反比例函数的性质，推出反比例函数在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，最后进行比较即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵在第三象限， ∴， ∵，在第一象限，， ∴， ∴． 9. 九章算术是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有漆三得油四，油四和漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆．问出漆、得油、和漆各几何？”题目译文是：若有三份漆可换得份油，用份油可调份漆．今有漆斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆．问拿出换油的漆、换得的油、留下用于调和用的漆各是多少？若设拿出换油的漆为，换得的油为，根据题意可列方程组为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程组解决问题的能力，根据题目中的兑换比例和调和关系建立方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点，；④连接与相交于点，与相交于点，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得是的平分线，是的垂直平分线，依据它们的性质可解决问题． 【详解】解：由作图可得是的平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，故选项C正确； 由于不是等边三角形，故不存在，，故选项A，B不正确； 由于，故不垂直于，故选项D不正确． 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，且点在的延长线上，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，根据旋转得出，，结合，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点D作， 在中，，，， ∴，                  ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 12. 在中，，，于点．点从点出发，沿线段、线段运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为．当时，所作出的四边形如图所示，此时．有下列结论： ①当时，； ②当时，四边形是正方形，且； ③当时，的取值范围是． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质，可得，，，四边形为矩形，当点在上时，，由“当时，”，可得，当时，，点在上，可得，，可得，可判断，当时，点在上，，，可判断，按照点在上，点在上，进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，可判断． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴当点在上时，， 当时，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 当时，，点在上， ∴， ∴， ∴， ∴不正确， 当时，，，点在上， ∴，， ∴四边形为正方形，， ∴正确， 当时，点在上，，，， ∴， 当时，随着增大而增大， 当时，，当时，， ∴当点在上，时，的取值范围是， 当时，点在上，，， ∴， 当时，随着增大而减小， 由，，得， ∴当点在上，时，， ∴当时，的取值范围是， ∴正确， ∴正确结论的个． 九年级数学 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、2个白球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵共4+3+2=9个球，有2个白球， ∴从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 14. 计算的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方，直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【详解】． 16. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先求出平移后的解析式，再根据平移后的直线经过第二、第三、第四象限，即，，可求出的取值范围即可求解． 【详解】∵直线向下平移个单位长度， ∴， ∵平移后的直线经过第二、第三、第四象限， ∴，解得：， ∴的值可以是（答案不唯一）． 17. 如图，在正方形中，，点在其外角的平分线上，以为边作矩形，点恰好落在边上，连接，． （I）的大小为________（度）； （II）若，则线段的长为________． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】（I）由正方形得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据矩形得到，根据角的和差即可求解； （II）根据矩形的性质，勾股定理得到，由角平分线的定义得到是等腰直角三角形，可算出，过点作，则是等腰直角三角形，四边形是矩形，由此得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（I）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （II）∵四边形是正方形， ∴，， 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴在等腰中，， 过点作， ∴，是等腰直角三角形， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴在中，． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上． （I）线段的长为________； （II）点在的延长线上，点，在以为直径的半圆上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 ①. ②. 点，如图所示： 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）取格点，则是等腰直角三角形，取中点，则，连接交半圆于点，根据直径可得，；把线段平移到，直线与半圆交于点，连接与交于点，连接交于点，则根据平行弦和对称性得到点为半圆的圆心，取中点，连接交于，由可得，则为中点，连接并延长交半圆于点，根据垂径定理可得． 【详解】解：（1）， （2）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3） 如图： （4） 【解析】 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可得到解集； （2）先去括号，再移项，最后合并同类项即可得到解集； （3）根据两个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的公共解集； （4）原不等式组的解集为两个解集的公共部分． 【小问1详解】 解：解不等式①， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：解不等式②， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得． 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 在数轴上，用实心圆点在处，向右画线；用实心圆点在处，向左画线，重叠部分为公共解集，如图： ． 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为两个解集的公共部分，即． 20. 某景区管理处为了解景区的服务质量，从该景区四月份的游客中随机调查了名游客对景区的服务质量进行评分（满分10分），根据统计的结果，绘制成统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组游客对景区服务质量的评分数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组游客对景区服务质量的评分数据的平均数； （3）根据样本数据，若该景区四月份的游客人数为5000人，估计该景区四月份的游客对景区服务质量的评分不低于9分的人数约是多少? 【答案】（1）50，34，9分，8.5分 （2）这组数据的平均数是8.3分 （3）2500人 【解析】 【分析】（1）用7分的人数除以它的占比可得的值；用1减去已知分数的占比可得的值；根据中位数和众数的概念可求出中位数和众数； （2）运用加权平均数的计算公式求解即可； （3）用5000乘以样本中不低于9分的人数的占比可得结论． 【小问1详解】 解：； ∵， ∴； 第25个数据是8分，第26个数据是9分，所以中位数为（分）； 9分出现次数最多，故众数是9分； 【小问2详解】 解：这组数据的平均数是（分）； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该景区四月份的游客对景区服务质量的评分不低于9分的人数约是2500人． 21. 已知点，在以为直径的上，，过点作的切线与的延长线相交于点． （1）如图①，连接，若，求的大小； （2）如图②，连接与相交于点，若四边形是平行四边形，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质求得，得到，再利用等边对等角，结合直径所对的圆周角是直角求解即可； （2）证明和是等边三角形，从而得到四边形是菱形，进而求得，，最后解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 与相切， ，即， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ，， 是等边三角形，同理也是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ，即， ， 又与相切，即， ， ． 22. 在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一座古塔的高度（如图所示）． 某学习小组设计了一个方案：点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得古塔顶部的仰角为，在处测得古塔顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算古塔的高度（结果保留整数）． 参考数据：，． 【答案】 【解析】 【分析】延长与相交于点．分别解和，结合，列出方程，即可得出结果. 【详解】解：如图，延长与相交于点． 根据题意，可得． 有，，，，． 在中，， ． 在中，， ． ， ． ． ． 答：古塔的高度约为． 23. 已知学生宿舍、凉亭、体育场依次在同一条直线上，凉亭离宿舍，体育场离宿舍．张强从宿舍出发，先匀速骑行到达体育场，在体育场锻炼了，之后匀速骑行到达凉亭，在凉亭休息了后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间 2 10 40 50 张强离宿舍的距离 2 ②填空：张强从宿舍到体育场的骑行速度为________； （2）当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式； （3）同宿舍的李明比张强提前离开体育场，匀速步行直接回宿舍，如果李明和张强同时到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 【答案】（1）①；2；1；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据函数图象分析，即可求解； ②根据函数图象，用路程除以时间，即可求解； （2）分三种情况：当时，当时，当时，结合函数图象，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得李明距离宿舍的距离关于时间的函数关系式，再分情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：①， 故填表为：；2；1； ②张强从宿舍到体育场的骑行速度为：； 【小问2详解】 解：当时，设y与x的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：∵李明比张强提前离开体育场， ∴时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 设李明距离宿舍的距离关于时间的函数关系式为， 将代入得， ， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， 则相遇时，张强离宿舍的距离是： ； 当时，， 解得：， 则相遇时，张强离宿舍的距离是； 综上所述，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是或． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在第一象限，顶点．点在边上（点不与点，重合），且．沿着折叠该矩形，得顶点的对应点为． （1）填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）经过点再次折叠该矩形，使点的对应点落在线段的延长线上，折痕与边相交于点．设． ①如图②，当点落在的上方时，试用含有的式子表示点的坐标，并直接写出的取值范围； ②设折叠后与矩形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1），； （2）①点的坐标为，的取值范围是；②． 【解析】 【分析】（1）通过点，求出，根据，结合三角函数求出的值，即可得到点的坐标；接着过点作，根据折叠推出，，即推出的度数，根据，结合三角函数求出，的值，即可得到点的坐标； （2）先运用矩形和折叠的性质，推出，，，，根据（1）可得，结合，推出，根据结合三角函数求出的值， ①过点分别作交于点，交于点，运用结合三角函数求出的值，证明四边形为矩形，运用矩形的性质即可求出点的坐标，通过点的对应点落在线段的延长线上，推出，再通过点落在的上方，即可推出的取值范围； ②分类讨论：情况一：点落在的上方或上，，折叠后与矩形重叠部分的面积为的面积，即为的面积，根据三角形面积公式结合取值范围即可求解；情况二：点落在的下方，，、与轴交于点，折叠后与矩形重叠部分的面积为四边形的面积， 根据结合取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵在上， ∴， ∴ ∵由题可知，沿着折叠得， ∴，， ∴， 如图，过点作， ∵在中，，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵由题可知，沿着折叠得， ∴，， ∴，， ∴， ∵由（1）可得， ∴， ∵由题可知，沿着折叠得，，， ∴，， ， ∵在中，，，， ∴， ①如图，过点分别作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点的对应点落在线段的延长线上， ∴，即，，解得：， ∵点落在的上方， ∴，解得：， ∴综上，，； ②分类讨论， 情况一：点落在的上方或上，， 如图， 折叠后与矩形重叠部分的面积为的面积，即为的面积， ∵，， ∴， ∵，在的右侧，随的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴； 情况二：点落在的下方，， ∵， ∴ ∴点在上， ∴如图，、与轴交于点， 折叠后与矩形重叠部分的面积为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴ ∵，在的左侧，随的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴； ∴综上，． 25. 已知抛物线（，为常数，）经过点，其顶点为． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线与轴的另一个交点，点是抛物线与轴的交点． ①若，求的值； ②过点作，与抛物线相交于点，以为边的的顶点在直线上，当取得最小值时，求的值． 【答案】（1）顶点的坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到，进而推导出该抛物线的解析式为，则该抛物线顶点的坐标为，即可解答； （2）①先推导出，得点的坐标为，则该抛物线的解析式为，进而推导出点的坐标为，再根据勾股定理，得到，求出b的值为，即可解答； ②先求出直线的解析式为，点的坐标为，由，求出直线的解析式为，由，求出点的坐标为，可得，推导出，得到当，，三点共线时，取得最小值，得到，则，解得（舍），，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ． ， ， 该抛物线的解析式为． ． 该抛物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：①， ． 得点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 由，得 ． 解得，． 点的坐标为． ， ． ． ． 解得（舍去），． 的值为． ②设直线的解析式为， 将点，点，分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ． 点的坐标为． 由，设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 由，得 （舍去），． 点的坐标为．可得． 的顶点在直线上， 点在直线上，且，． ． 当，，三点共线时，取得最小值． 的最小值为， ． 得． 即． ． ． 解得（舍），． 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $