清单03 图形的变换（3个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单03 图形的变换（3个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 轴对称图形 对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 清单03 旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【考点题型一 生活中的平移现象】（） 1．2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的定义，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；逐项判断即可求解． 【详解】将图中的“弗里热”通过平移可以得到 故选：A． 2．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 3．下面生活中的现象可以看成平移的是（    ） ①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平移的定义，平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项进行判断即可． 【详解】解：平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，生活中也很多物体存在平移现象， ②水平传输带上物品的运动，③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）是平移， ①转动的指针，④随风摆动的旗帜都改变了方向，不是平移， 故选：． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 4．下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【答案】D 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意； B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意； C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意； D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意； 故选D． 【考点题型二 图形的平移】（） 5．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到， A是利用图形的平移得到． 故选：A． 6．如图，下列三角形中，可以由平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是理解平移的性质，即平移不改变图形的形状，大小和方向． 根据平移性质，逐一分析选项中的三角形与的形状，大小和方向是否一致． 【详解】A、的形状，与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的； B、与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的； C、大小和方向与完全相同，是由平移得到的； D、与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的； 故选：A． 7．如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，根据点的平移方式即可得答案．解决本题的关键是观察发现各对应点之间的转换关系． 【详解】解：∵从点看，向右移动格，向上移动格即可得到， ∴将向右平移格，再向上平移格得到． 故答案为：， 8．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【答案】3 【分析】根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：长方形平移到长方形的位置， 对应点B到的距离为：0-(-3)=3， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键． 【考点题型三 利用平移的性质求解】（） 9．如图，将沿方向平移得到（其中点，，分别与点，，对应）．若，则 ． 【答案】12 【分析】根据平移性质求解即可．本题考查平移的性质，由平移性质求得是解答的关键． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， 又∵， ∴ 故答案为：． 10．如图，沿CB方向平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长为 cm． 【答案】24 【分析】本题考查的是平移的性质．先根据图形平移的性质得出，，据此可得出结论． 【详解】解：∵沿CB方向平移得到， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴四边形的周长 ． 故答案为：24． 11．如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分①当时，当时，过点C作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移性质可知， ∵， ∴， ∴， ①当时， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴设，则， ∴， 由条件可知， 解得：， ∴； 第二种情况：当点在延长线上时，过点C作， 同理可得， ∴， ①当时， 设，则， ∴， 由条件得， 解得：， ∴； ②由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或． 故答案为：或或． 12．如图，将延射线的方向平移2个单位到的位置，点，的对应点分别为点． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于___________． (3)若等于，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了平移变换，平行线的性质，正确应用平移的性质是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出相等线段； （2）直接平移的性质得出的长，进而得出答案； （3）由平移变换的性质得：，，再根据平行线的性质即可得到∠CFE的度数． 【详解】（1）解：与相等的线段有：； （2），将沿射线的方向平移个单位到的位置， ， 则． 故答案为：； （3）由平移变换的性质得：，， ， ， ． 【考点题型四 利用平移解决实际问题】（） 13．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是 ． 【答案】1125 【分析】本题考查了图形的平移的性质，可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的小路，种植花草的面积总面积小路的面积小路交叉处的面积，计算即可． 【详解】解：解：根据题意得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路的面积，所以种植花草的面积为：， 故答案为：． 14．如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 平方米．    【答案】48 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键． 根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故答案为：48． 15．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 【答案】(1)平方米 (2)18平方米 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则． （1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可； （2）把a，b的值代入进而求出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 平方米． 答：种植花草的面积为平方米； （2）解：当时， 原式（平方米）． 答：种植花草的面积为18平方米． 16．某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】(1)平方米 (2)108米 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）结合图形，利用平移的性质求解； （2）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； （2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 【考点题型五 平移作图】（） 17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，将向右平移4个单位得． (1)画出平移后的； (2)在平移过程中，线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了作图-平移变换，根据题意作出平移图形是解题的关键． （1）将分别向右平移4个单位得到点，再顺次连接即可； （2）由平移后的图形为平行四边形，根据底乘以高即可求解． 【详解】（1）解：即为所作： （2）解：线段扫过的面积 故答案为：16． 18．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)连接与，则线段与线段的关系_________． 【答案】(1)画图见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移变换以及平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出图形位置； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系即可； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； ； （2）解：如图，连接与， 线段与线段的关系是：平行且相等； 19． 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是 ； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)32 【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，图形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质可得答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移的性质得，， ∴这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：如图所示，连接 ∴线段在平移过程中扫过区域的面积为． 20．如图，将四边形进行平移后，使点的对应点为点．    (1)请你画出平移后所得的四边形； (2)连接 ，则这两条线段之间的关系是 ； (3)直线上有一点，是四边形面积的，请在图中作出． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移作图，利用割补法求图形面积． （1）根据点与点的位置判断出平移方式，进而找到对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）直接由平移的性质即可得出这两条线段之间的关系； （3）先求出四边形的面积，再求出三角形的面积，然后根据，进行求解得到，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，四边形向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到四边形，如图，四边形即为所求．    （2）由平移得，这两条线段之间的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）∵四边形的面积为 ∴的面积为 即，解得． 如图，即为所求． 【考点题型六 轴对称图形】（） 21．我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，被列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，不符合题意； B. 该图形是轴对称图形，符合题意； C. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 22．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键． 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】如图所示，有四种情况使之成为轴对称图形∶ ①②③④ 故选：D． 23．下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是 （填写序号）； 【答案】④ 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 直接利用轴对称图形的概念分析得出答案． 【详解】解：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形．其中，不一定是轴对称图形的是④． 故答案为：④． 24．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 【考点题型七 根据成轴对称图形的特征进行求解】（） 25．如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称，点与点是关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， 正确的有①②③，共3个 故选：C． 26．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称性质，根据轴对称的性质得到，，进而根据线段和差求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故选：A． 27．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再由轴对称图形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直线是四边形的对称轴， ∴， 故答案为：． 28．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得出，根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：由轴对称可知：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型八 台球桌面上的轴对称问题】（） 29．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 30．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 31．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 32．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 【考点题型九 折叠问题】（） 33．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 34．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 35．如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质和角的和差关系可求出的度数，进而可求出的度数，再根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则________； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)，见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解∶根据题意，得， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：30； （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，明确题意，利用平行线的性质探究出角之间的关系是解题的关键． 【考点题型十 对称轴】（） 37．画出下列各轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．根据轴对称图形的性质画出对称轴即可． 【详解】解：对称轴如图所示： 38．图中圆与正方形的四条边都相切，则该图有（   ）条对称轴． A．2 B．4 C．5 D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的定义，分别找出题干中的图形的所有对称轴条数，即可进行判断，． 【详解】解：圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，且都过该图形中圆的圆心， 则该图有4条对称轴． 故选：B． 39．下列图形中，有且只有一条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、等腰三角形是轴对称图形，有且只有一条对称轴，故本选项符合题意； C、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，有两条对称轴，故本选项不符合题意． 故选：B． 40．如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称的定义，画出图中的对称轴，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 该轴对称图形有4条对称轴． 故答案为：4． 【考点题型十一 旋转现象】（） 41．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 42．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转． 故选：A． 43．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 44．如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过平移得到的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”、图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、轴对称的图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟练掌握平移、旋转和轴对称的定义是解题关键．根据平移、旋转和轴对称的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、（1）是通过轴对称变换得到的，则此项不符合题意； B、（2）是通过平移变换得到的，则此项符合题意； C、（3）是通过旋转得到的，则此项不符合题意； D、（4）是通过顺时针旋转得到的，则此项不符合题意； 故选：B． 【考点题型十二 找旋转中心、旋转角、对应点】（） 45．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 46．如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知是旋转角，进而只有得出的度数即为旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 47．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 【答案】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故答案为：． 48．在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【答案】(1)C；90 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 【考点题型十三 根据旋转的性质求解】（） 49．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)旋转中心为点C，的值为 (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键． （1）根据旋转的性质得到，由，即可求解； （2）由旋转知，，结合点D恰好为的中点即可求解． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴旋转中心为点C，的值为； （2）解：由旋转知，， 又∵点D恰好为的中点， ∴． 50．如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 【答案】(1)20度 (2)3 【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度． （1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求． （2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长． 【详解】（1）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ； （2）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ，即， ． 51．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 52．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图． (1)将向右平移3个单位长度，得到； (2)将绕点逆时针旋转，得到； (3)图中与的位置关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)垂直 【分析】本题考查作图−旋转变换和平移变换． （1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可； （3）根据平移的旋转的性质即可判断． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：如图所示； （3）解：由平移的性质得， 由旋转的性质得， ∴． 故答案为：垂直． 【考点题型十四 画旋转图形】（） 53．如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)12 【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：四边形的面积． 54．如图，在方格纸中绕点逆时针旋转得到，请在方格纸中画出，并标注好字母． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图，旋转，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 将点分别绕点逆时针旋转得到点，再顺次连接即可． 【详解】解：即为所作： 55．如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． (1)在图①中把向右平移4格，再向上平移2格得到，画出； (2)在图②中把绕点顺时针旋转，得到，画出； (3)将图②中画出的，绕点顺时针旋转，得到，画出； (4)填空：图②中AC与的关系为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)平行且相等 【分析】本题考查了图形的平移，旋转相关知识，解题的关键是掌握平移和旋转的性质并准确应用． （1）依据平移的性质，确定各顶点平移后的位置，从而画出平移后的图形； （2）根据旋转的性质，找出各顶点绕点顺时针旋转后的对应点，画出旋转后的图形； （3）同理，再次将绕点顺时针旋转，确定对应点并画出图形； （4）通过分析旋转前后图形的对应边关系得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：如图所示， 即为所求； （3）解：如图所示， 即为所求； （4）平行且相等 因为绕点顺时针旋转可得到（两次旋转），根据旋转性质，对应线段平行且相等， 所以AC与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等． 56．按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． (1)画出将向上平移个单位长度，得到； (2)画出将绕点旋转，得到； (3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了基本作图，根据平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质正确画出图形是解题的关键． （）利用平移的性质作图即可； （）利用旋转的性质作图即可； （）利用轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 【考点题型十五 求旋转对称图形的旋转角度】（） 57．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 58．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据图形的对称性，用除以计算即可得解，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 【详解】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是， 故选：B． 59．如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 60．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 【考点题型十六 旋转综合题】（） 61．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N、O均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图1中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图2中，画出图中关于直线对称的； (3)在图3中，画出图中关于点O成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换、轴对称变换，画中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据成中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； （3）解：如图，即为所作， ． 62．综合运用：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且，点C是线段的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止，设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、_______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分，射线从出发，以每秒1°的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒2°的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【答案】（1）①，；②当或时，；（2）当的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）①先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，结合数轴用t表示出M、N表示的数即可；②先根据题意表示出，，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （2）先根据角平分线的定义求得，再表示出，，再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】（1）①解：∵， ∴，， ∴点A表示的数为，表示的数为8， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是． 设运动时间为秒， 则：点表示的数为：；点表示的数为：； 故答案为：；； ②∵点表示的数为：； 点表示的数为：； ∴，， ∵， ∴， 即， ∵当点到达点时，两动点的运动同时停止． ∴；当时， 有， 解得：； 当时， 有， 解得：． 综上，当或时，； （2）解：，平分． ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 当时， 有， 解得：；当时， 有， 解得：； ②当时，， 当时，有， 解得：，不符合题意； 当时， 有， 解得：． 综上，当的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 63．如图，正方形和正方形，点在边上，点在的延长线上，正方形、的边长分别是、． (1)用含有、的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积、； (2)根据（1）中所求结果，比较两个阴影部分面积的大小； (3)课本第九章《图形的变换》强调从运动变化的观点研究图形，请运用图形变换的知识说明图1和图2中阴影部分面积的大小关系． 【答案】(1)，； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查列代数，整式的混合运算以及图形变换的知识，解题的关键是通过正方形面积公式和三角形面积公式来计算阴影部分面积，再从图形变换角度理解面积关系． （1）分别利用正方形和三角形面积公式计算两个图形中阴影部分面积； （2）比较（1）中所得两个面积表达式； （3）从图形变换角度阐述两个阴影部分面积相等的原因． 【详解】（1）解：， ； 答：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为 ； （2）解：； （3）解： 方法一： 不动，将图1中沿l翻折与图2中重合，所以； 方法二： 、不动，将图3中绕点旋转至，所以． 64．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； (2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 【答案】(1) (2) (3)旋转的角度为或 【分析】本题考查三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）利用旋转的性质，角平分线的性质及角度之间的关系计算即可； （3）在旋转的过程中找出时，的位置，分情况讨论，再利用角度之间的关系计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75 （2）解：∵以O为中心顺时针旋转得到， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， （3）解：当与相交于点E时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当与相交于点F时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或． 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形定义，轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，又由即可求解． 【详解】解：∵的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的， ， ， ∴， 故选：C． 3．如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，并灵活应用． 利用平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①四边形的面积加上的面积为的面积， 四边形的面积加上的面积为的面积， 而和面积相等， 所以，四边形的面积与四边形的面积相等， 故①正确，符合题意； ②由平移的性质可得，，但与不一定相等， 故②错误，不符合题意； ③根据平移的性质可得， 所以，向右平移了， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 4．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，分三种情况，分别画出图形，结合平移的性质、平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数不可能为， 故选：C． 5．将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（   ） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为3秒或9秒或11秒， 故选：D． 6．如图将沿方向平移得到，若点，之间的距离为，＝，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质．根据平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移到， A，D之间的距离为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，，，．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，根据题意得出是等腰直角三角形，进而得出面积的为，根据垂线段最短，结合已知可得的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图， ∵将、分别沿、翻折至、， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴面积的为 ∴当面积的最小时,最小， ∵在中，，，． ∴当最小时，，此时 ∴面积的最小值为 故答案为：． 8．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，由折叠性质可知：，再根据得，再根据角度和差即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，先证明，由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出从而得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故答案为：． 10．如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形面积计算，垂线段最短，先求出，由旋转的性质可得；连接，根据，得到当最小时，最小；由垂线段最短可得当时，最小，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵直角中，，，， ∴， 由旋转的性质可得； 如图所示，连接， ∵， ∴当点D在上时，有最小值，最小值为， ∴当最小时，最小； 如图所示，当时，最小， 此时有， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．已知的顶点A、B、C在格点上， (1)画出关于直线l对称的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)在对称轴上找到一点，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，画中心对称图形，轴对称最短路径问题，熟知画轴对称图形和画中心对称图形的方法是解题的关键． （1）轴对称图形对应点的连线与对称轴垂直，且对应点到对称轴的距离相等，据此作图即可； （2）连接并延长到，使得，同理作出，再顺次连接即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接交直线l于P，则点P即为所求． 12．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若的周长为_______． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 13．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）本题涉及平行线的性质以及折叠的性质．利用得到角的关系，再结合折叠前后角相等的性质来求解的度数． （2）①根据折叠性质和邻补角的定义求出相关角的度数，再利用平角的度数为来计算的度数．②设未知数，依据折叠性质、平行线性质以及平角定义建立方程，从而求解的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴折叠可知． 又∵， ∴． （2）解：①∴折叠可知， ∴． 又∵，且， ∴． ②设，则． ∵， ∴． ∴折叠可知，． ∵，，，且， ∴，． ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】考查了作图—平移变换、旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接、、，交点即为所求． 【详解】（1）解：∵平移到，其中点对应点为点， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 如图：即为所求， （2）解：如图：即为所求， （3）解：如图：连接、、，交点为， 即与关于某点成中心对称，则该点为． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、、均在格点（网格线的交点）上． (1)画，使它与关于直线成轴对称． (2)画，使它与关于点成中心对称． (3)小明在玩激光反射游戏，平面镜位于直线上，他需要从点处发射激光，经镜面反射后击中目标点，请在直线上作出反射点． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）利用轴对称的性质找到对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据中心对称的性质找到对应点，顺次连接，即可求解； （3）根据轴对称的性质，连接交与点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接交与点，则点即为所求． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 图形的变换（3个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 轴对称图形 对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 清单03 旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【考点题型一 生活中的平移现象】（） 1．2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（    ） A． B． C． D． 2．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 3．下面生活中的现象可以看成平移的是（    ） ①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 4．下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【考点题型二 图形的平移】（） 5．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，下列三角形中，可以由平移得到的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 8．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【考点题型三 利用平移的性质求解】（） 9．如图，将沿方向平移得到（其中点，，分别与点，，对应）．若，则 ． 10．如图，沿CB方向平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长为 cm． 11．如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 12．如图，将延射线的方向平移2个单位到的位置，点，的对应点分别为点． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于___________． (3)若等于，求的度数． 【考点题型四 利用平移解决实际问题】（） 13．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是 ． 14．如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 平方米．    15．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 16．某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【考点题型五 平移作图】（） 17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，将向右平移4个单位得． (1)画出平移后的； (2)在平移过程中，线段扫过的面积是__________． 18．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)连接与，则线段与线段的关系_________． 19． 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是 ； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 20．如图，将四边形进行平移后，使点的对应点为点．    (1)请你画出平移后所得的四边形； (2)连接 ，则这两条线段之间的关系是 ； (3)直线上有一点，是四边形面积的，请在图中作出． 【考点题型六 轴对称图形】（） 21．我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，被列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 23．下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是 （填写序号）； 24．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【考点题型七 根据成轴对称图形的特征进行求解】（） 25．如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为（　 　） A． B． C． D． 27．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则 °． 28．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【考点题型八 台球桌面上的轴对称问题】（） 29．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 30．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 31．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 32．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【考点题型九 折叠问题】（） 33．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 34．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 35．如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 36．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则________； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【考点题型十 对称轴】（） 37．画出下列各轴对称图形的对称轴． 38．图中圆与正方形的四条边都相切，则该图有（   ）条对称轴． A．2 B．4 C．5 D．无数 39．下列图形中，有且只有一条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 40．如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【考点题型十一 旋转现象】（） 41．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 42．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 43．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 44．如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过平移得到的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【考点题型十二 找旋转中心、旋转角、对应点】（） 45．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 46．如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 47．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 48．在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【考点题型十三 根据旋转的性质求解】（） 49．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 50．如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 51．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 52．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图． (1)将向右平移3个单位长度，得到； (2)将绕点逆时针旋转，得到； (3)图中与的位置关系为______． 【考点题型十四 画旋转图形】（） 53．如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 54．如图，在方格纸中绕点逆时针旋转得到，请在方格纸中画出，并标注好字母． 55．如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． (1)在图①中把向右平移4格，再向上平移2格得到，画出； (2)在图②中把绕点顺时针旋转，得到，画出； (3)将图②中画出的，绕点顺时针旋转，得到，画出； (4)填空：图②中AC与的关系为___________． 56．按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． (1)画出将向上平移个单位长度，得到； (2)画出将绕点旋转，得到； (3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 【考点题型十五 求旋转对称图形的旋转角度】（） 57．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 58．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（    ）    A． B． C． D． 59．如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 60．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【考点题型十六 旋转综合题】（） 61．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N、O均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图1中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图2中，画出图中关于直线对称的； (3)在图3中，画出图中关于点O成中心对称的． 62．综合运用：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且，点C是线段的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止，设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、_______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分，射线从出发，以每秒1°的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒2°的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 63．如图，正方形和正方形，点在边上，点在的延长线上，正方形、的边长分别是、． (1)用含有、的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积、； (2)根据（1）中所求结果，比较两个阴影部分面积的大小； (3)课本第九章《图形的变换》强调从运动变化的观点研究图形，请运用图形变换的知识说明图1和图2中阴影部分面积的大小关系． 64．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； (2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 5．将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（   ） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 6．如图将沿方向平移得到，若点，之间的距离为，＝，则的长为 ． 7．如图，在中，，，．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 8．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 9．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 10．如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为 ． 11．已知的顶点A、B、C在格点上， (1)画出关于直线l对称的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)在对称轴上找到一点，使最短． 12．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若的周长为_______． 13．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、、均在格点（网格线的交点）上． (1)画，使它与关于直线成轴对称． (2)画，使它与关于点成中心对称． (3)小明在玩激光反射游戏，平面镜位于直线上，他需要从点处发射激光，经镜面反射后击中目标点，请在直线上作出反射点． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$