专题02 整式乘法（考题猜想，易错压轴必刷63题21种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题02 整式乘法（易错压轴必刷63题21种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 单项式乘单项式 · 题型二 单项式乘多项式 · 题型三 多项式乘多项式 · 题型四 多项式乘法的应用 · 题型五 多项式乘法的规律性计算 · 题型六 多项式乘多项式的化简求值 · 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 · 题型八 多项式乘多项式与图形面积 · 题型九 整式乘法混合运算 · 题型十 平方差公式 · 题型十一 平方差公式与几何图形 · 题型十二 完全平方公式 · 题型十三 完全平方公式与几何图形 · 题型十四 通过对完全平方公式变形求值 · 题型十五 求完全平方式中的字母系数 · 题型十六 整式乘法的规律性计算压轴 · 题型十七 整式乘法与几何图形压轴 · 题型十八 完全平方公式的变形求值 · 题型十九 完全平方式与几何图形关系 · 题型二十 配方法求最值 · 题型二十一 乘法公式的新定义运算 题型一 单项式乘单项式 1．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则是解决此题的关键．利用单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 2．已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的得出，，解出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 单项式乘多项式 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】（1）解： （2）解： 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，运用相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式， （1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； 熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三 多项式乘多项式 7．已知，则（   ） A． B．2 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简多项式，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 故选：D． 8．已知，，且，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是运用多项式相等，对应项的系数也相等列方程，据此求解即可． 【详解】， ， ， 所以， 解得：， 所以， 故选：C 9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ， ， ， 题型四 多项式乘法的应用 10．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确得到阴影面积与边长关系是解题的关键．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为8，可得，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ∴， ∵阴影部分的面积为8， ∴，即， ∴， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为． 故选：C 11．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 【答案】 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则．根据道路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可． 【详解】解：道路的面积 （平方米）． 故答案为：． 12． 探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题 背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示 素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为． 素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． 素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S． 问题解决 任务1 用含有a，b的代数式分别表示，． 任务2 请比较与的大小关系，并说明理由． 任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：，；任务2：当时，，当时，，当时，；任务3： 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用： 任务1：分别表示出图②中阴影部分的长和宽即可得到答案；分别表示出图②中右下角和左上角阴影部分的面积，再作差即可得到答案； 任务2：利用作差法求出，据此讨论求解即可； 任务3：先求出，再推出，根据S不变可得． 【详解】解：任务1：由题意得，， 如图③所示，，， ∴； 任务2：当时，，当时，，当时，，理由如下： ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则； 任务3：如图④所示，∵， ∴， ， ， ∵始终保持不变， ∴， ∴． 题型五 多项式乘法的规律性计算 13．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 14．阅读以下内容：， ， ， ……， 根据这一规律，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法的规律问题，找到规律并会应用是解题关键． 观察各式，总结规律得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ……， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 15．观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可总结规律，进而问题可求解； （3）利用以上规律可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：； ； …… ∴； 故答案为； （3）解： ． 题型六 多项式乘多项式的化简求值 16．先化简，再求值，其中． 【答案】；26 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，整式的加减计算，正确运算法则，正确计算是解题的关键． 先运用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式法则进行计算，再进行加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当， 原式 ． 18．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 19．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．4 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 直接利用多项式乘法去括号，由不含一次项得出一次项系数为0，进而得出答案． 【详解】解： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ， 故选D． 20．如果的乘积中不含的一次项，那么 ． 【答案】3 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算 【详解】解： 依题意，， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：3． 21．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把、看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与无关，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， 解得，， 答：当时，多项式的值与的取值无关； （2），， ， 的值与无关， ，即． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． 题型八 多项式乘多项式与图形面积 22．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．根据题意，运用多项式乘以多项式得到长方形的面积，结合卡片的面积即可求解． 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 故选：C ． 23．“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)47平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，弄清题意，列出相应的式子是解此题的关键． （1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘以多项式法则，去括号并合并即可得解； （2）将的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米， 答：绿化面积是平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：绿化面积是47平方米． 24．我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1) (2)45 (3)9 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形的面积的和等于即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解；， ， ，，， ． 题型九 整式乘法混合运算 25．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 26．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算顺序和运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算加减，即可求解； （2）根据单项式的乘除法法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可； （4）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型十 平方差公式 28．下列乘法运算可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握其表示形式是解题的关键． 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【详解】解：A.不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意； B.，不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意； C. ，不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意； D.，可以用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D． 29．利用平方差公式计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．添加构造成平方差公式的形式，再根据平方差公式即可求解； 【详解】解：原式 故答案为：． 30．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B． （2）解：，且， ， 解得：； （3）解： ． 题型十一 平方差公式与几何图形 31．数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 32．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． (1)请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图3：______．（直接填相应的数学公式） 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，求的值． 解：， 又， ．即． (2)若，则______； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求阴影部分面积并写出求解过程． 【答案】(1)， (2)28 (3)12 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式； （2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可； （3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得： 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ， 故答案为：28； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 33．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______ (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）在原式前面乘以，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）解：∵图1和图2中的阴影部分面积相等， ∴以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3）解： ． 题型十二 完全平方公式 34．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查乘法公式；把原式提出负号进行变形即可求出． 【详解】解： 故选：D． 35．将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 36．若是一个整数，且除以3余1．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 【答案】一定能被9整除，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整除，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意，设，代入代数式，即可得，即能被9整除． 【详解】解：一定能被9整除，理由如下： ∵a是一个正整数，且a除以3余1， 设， ， ∴一定能被9整除． 题型十三 完全平方公式与几何图形 37．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）①3；②7；（3）长方形院子的面积为 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算、合并同类项、完全平方公式在几何图形中的应用； （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； ②由①可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 即， ∴； （2）①， 故答案为：3； ②由①得，， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 答：长方形院子的面积． 38．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①图见解析；②29 (3)17 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）①画出一个边长为的正方形即可； ②利用①中等式进行变形计算即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 故答案为：； （2）解：①可以看成是一个边长为的正方形的面积，故可画图如下： ②， ， ； 故答案为：29； （3）解：设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 39．数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．    （1）如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为______；（用、表示） （2）①类比（1）的探究过程，用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为______；（用、、表示）； ②根据上面的结论，已知．，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个探究过程，请画图探索的结果（用、、、表示）． 【答案】（1）；（2）①；②29；（3），画图见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； （2）①类比（1）用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； ②把①中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； （3）根据（1）、（2）中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】（1）大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； （2）①类比（1）可得：， 故答案为：； ②由①可得：， ，， ， 故答案为：29； （3）由（2）可得：， 画图如下： 题型十四 通过对完全平方公式变形求值 40．已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)12 (2)8 (3)136 【分析】本题考查了利用完全平方公式及其变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由即可求解； （2）由即可求解； （3），再代入和值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：由（1）得 ∴ ． 41．若，求的值． 【答案】30 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是注意整体思想的运用． 将两边展开，得到，再将代入，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．阅读理解： 已知，求的值． 解：因为， 所以，即． 因为， 所以． 参考上述过程解答下列问题： (1)若． ①________； ②求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． （1）①根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可；②根据完全平方公式的计算即可求解； （2）运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴； ②∵， ∴， 由①可知，， ∴原式； （2）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴原式． 题型十五 求完全平方式中的字母系数 43．代数式可以化为，则的值是（ ） A． B．3或 C．28 D．98 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法，即可完成．根据配方法化，即可得到a、b的值，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故选C． 44．若是完全平方式，则m的值为（    ） A．4 B．2 C．或4 D．4或2 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得或， 故选：D． 45．如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式． 【详解】解：∵（是常数）是个完全平方式， ∴ 故答案是：9． 题型十六 整式乘法的规律性计算压轴 46．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： … ①仿照上述等式，写出 ； ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立； (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用： ． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)成立，，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的规律探索，整式的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （3）根据所得的规律求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和， 则两位数乘法的规律为， 证明：展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和， 则两位数的乘积为， 展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （3）当时，代入得： ， 故答案为：． 47．观察下列各式： ； ； ； … (1)猜想： ； (2)利用（1）中的猜想计算：_______； (3)计算； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律、有理数的乘方的运算，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子即可得出结论； （2）根据（1）中的规律可得，计算即可得解； （3）先根据规律计算出、的值，作差即可得解； （4）由规律可得，求出或，再分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵； ； ； … ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴ ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意，此时． 48．下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了整式的混合运算以及规律、有理数的乘方，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出，由此即可得解； （2）将所求式子变形为，结合规律计算即可得解； （3）当时，，由此即可求出的值，当时，，由此即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴的展开式中共有项，其中第三项是； （2）解： ； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 题型十七 整式乘法与几何图形压轴 49．如图1，正方形的边长为，点E是边上一点，以为边向右作边长为的正方形． (1)连接、、，若点是的中点，试比较与的大小，并说明理由； (2)如图2，点、分别是、的中点，若，．求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形面积、完全平方公式与图形面积、线段的中点等知识，熟练掌握弄整式的运算法则和完全平方公式是解题关键． （1）连接、、、，先求出，再根据可得，然后根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）连接，先求出的长，再根据的面积等于可得，然后利用完全平方公式求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，连接、、、， ∵正方形的边长为， ∴， ∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即的面积为． 50．在苏教版七下第八章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个梯形的面积，能得到等式： ．(结果为最简) (3)根据上面两个结论，解决下面问题：若图中，直角三角形三边、、，．已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、三角形面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积可以用两个小正方形的面积和2个长方形的面积相加，即可得出答案； （2）根据梯形的面积三个直角三角形的面积，代入面积公式整理即可得出答案； （3）由题意得，利用（1）中的结论，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 大正方形的面积为，即， 还可以表示为两个小正方形的面积和2个长方形的面积相加，即， ∴， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 由题意得：梯形的面积三个直角三角形的面积， 即， 整理得：， ； （3）解：由题意得：， 由（1）得： ， ∴ ，， ． 51．【知识技能】 已知：， 填空：（1）① ；② ． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设， 则，， ∴ 【解决问题】 （2）①若x满足，则 ； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成个部分，其中四边形与为正方形，若＝，＝，四边形的面积为，求正方形的面积． 【答案】（1）①，②；（2）①，②，③ 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①设，，由题意得，，根据进行计算即可； ②设，，由题意得，，根据代入计算即可； ③设，，根据题意得，，，由，代入计算即可． 【详解】解：（1）①， ， 故答案为：； ②；； ， 故答案为：； （2）①设，， ，， ； ②设，， ，， ； ③由题意得，， 设，， ，，， ． 题型十八 完全平方公式的变形求值 52．已知实数满足等式和，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、完全平方公式和其性质等知识，对已知条件进行恰当的变形，结合完全平方公式的非负性即可得出答案，熟练运用整式和完全平方公式的化简是解题的关键． 【详解】解： ． 53．阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 【答案】理解判断：①②④；能力提升：①18；② 【分析】本题主要考查的是整式的乘法，同时考查了完全平方公式． （理解判断）对称式的新定义，进行计算确定是否相等即可； （能力提升）①得到和的式子，把，代入求值即可； ②把值代入，然后运用完全平方式，判断求出最值即可． 【详解】（理解判断）①，是对称式； ②，是对称式； ③，不是对称式； ④，是对称式； 故答案是：①②④； （能力提升）①， ，． ①∵，， ； ②， ∴， ∴ ∴当时，对称式的最小值是． 故答案是：①②④，18，． 54．（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）根据，代入可得答案； （2）由多项式乘多项式法则可得，将已知代入可得的值； （3）根据题意可知：，进而得到的值，代入可得答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∵，， ∴， ∴, ∴， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 答：的值是 【点睛】本题考查完全平方公式的推广，解题的关键是掌握完全平方公式． 题型十九 完全平方式与几何图形关系 55．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______． (2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； (3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用面积表示代数恒等式，整式的混合运算，用两种不同方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案； （2）根据解析（1）中得出的公式进行计算即可； （3）先表示阴影部分面积，再求值． 【详解】（1）解：图2中正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ∴， 故答案为：． （2）解：由（1）结论变形知： ． （3）解： ， ， ∴， ， ， ． 56．【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】【知识生成】， 【知识应用】20，4 【知识迁移】15 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； 知识应用：根据代入计算即可； 知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到， 根据代入计算即可． 【详解】【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴有， 故答案为：；； 【知识应用】解：∵， 则， ， 故答案为：20，4； 【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ∴ ． 57．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)48 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 题型二十 配方法求最值 58．配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有 个； ①10         ②28       ③45       ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【答案】（1）2；（2）9；（3）13；（4）3 【分析】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握雅美数的定义是解题的关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴10，45，都是“雅美数”， 故答案为：2； （2）∵， ∴，， ∴ 故答案为：9； （3）∵ ； ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 59．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 【答案】（1）①；②9，3；（2）①；②当时，为“完美数”，理由见解析；（3）3，1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把13分为两个整数的平方即可； ②原式利用完全平方公式即可求解； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， 故答案为：9，3； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：3，1． 60．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 题型二十一 乘法公式的新定义运算 61．在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算和整式的运算，正确理解新定义法则是解题的关键． （1）根据新运算代入计算即可． （2）根据新运算代入计算即可． （3）先根据定义，化简，，再根据结果比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴； （3）∵，且，， ∴，， ∵， ∴． 62．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5 (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与 ；③与. (2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值 【答案】(1)③ (2)2 【分析】此题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解． 【详解】（1）解：①，不是常数，故不是“对消多项式”； ②，不是常数，故不是“对消多项式”； ③，是常数，故是“对消多项式”， 故答案为：③； （2）解：，， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； 63．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． $$ 专题02 整式乘法（易错压轴必刷63题21种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 单项式乘单项式 · 题型二 单项式乘多项式 · 题型三 多项式乘多项式 · 题型四 多项式乘法的应用 · 题型五 多项式乘法的规律性计算 · 题型六 多项式乘多项式的化简求值 · 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 · 题型八 多项式乘多项式与图形面积 · 题型九 整式乘法混合运算 · 题型十 平方差公式 · 题型十一 平方差公式与几何图形 · 题型十二 完全平方公式 · 题型十三 完全平方公式与几何图形 · 题型十四 通过对完全平方公式变形求值 · 题型十五 求完全平方式中的字母系数 · 题型十六 整式乘法的规律性计算压轴 · 题型十七 整式乘法与几何图形压轴 · 题型十八 完全平方公式的变形求值 · 题型十九 完全平方式与几何图形关系 · 题型二十 配方法求最值 · 题型二十一 乘法公式的新定义运算 题型一 单项式乘单项式 1．等于（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 单项式乘多项式 4．计算： (1)； (2)． 5．计算：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 多项式乘多项式 7．已知，则（   ） A． B．2 C．3 D．9 8．已知，，且，则的值（     ） A． B． C． D． 9．计算： (1) (2) 题型四 多项式乘法的应用 10．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 11．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 12． 探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题 背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示 素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为． 素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． 素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S． 问题解决 任务1 用含有a，b的代数式分别表示，． 任务2 请比较与的大小关系，并说明理由． 任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由． 题型五 多项式乘法的规律性计算 13．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 14．阅读以下内容：， ， ， ……， 根据这一规律，当时， ． 15．观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 题型六 多项式乘多项式的化简求值 16．先化简，再求值，其中． 17．先化简，再求值：，其中． 18．先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 19．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．4 B．0 C．1 D．2 20．如果的乘积中不含的一次项，那么 ． 21．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把、看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与无关，求的值； 题型八 多项式乘多项式与图形面积 22．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 23．“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 24．我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 题型九 整式乘法混合运算 25．计算 (1) (2) 26．计算： (1) (2) 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 平方差公式 28．下列乘法运算可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 29．利用平方差公式计算： ． 30．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 题型十一 平方差公式与几何图形 31．数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 32．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． (1)请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图3：______．（直接填相应的数学公式） 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，求的值． 解：， 又， ．即． (2)若，则______； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求阴影部分面积并写出求解过程． 33．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______ (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 题型十二 完全平方公式 34．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 35．将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 36．若是一个整数，且除以3余1．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 题型十三 完全平方公式与几何图形 37．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 38．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 39．数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．    （1）如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为______；（用、表示） （2）①类比（1）的探究过程，用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为______；（用、、表示）； ②根据上面的结论，已知．，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个探究过程，请画图探索的结果（用、、、表示）． 题型十四 通过对完全平方公式变形求值 40．已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 41．若，求的值． 42．阅读理解： 已知，求的值． 解：因为， 所以，即． 因为， 所以． 参考上述过程解答下列问题： (1)若． ①________； ②求的值； (2)已知，，求的值． 题型十五 求完全平方式中的字母系数 43．代数式可以化为，则的值是（ ） A． B．3或 C．28 D．98 44．若是完全平方式，则m的值为（    ） A．4 B．2 C．或4 D．4或2 45．如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 题型十六 整式乘法的规律性计算压轴 46．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： … ①仿照上述等式，写出 ； ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立； (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用： ． 47．观察下列各式： ； ； ； … (1)猜想： ； (2)利用（1）中的猜想计算：_______； (3)计算； (4)若，求的值． 48．下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 题型十七 整式乘法与几何图形压轴 49．如图1，正方形的边长为，点E是边上一点，以为边向右作边长为的正方形． (1)连接、、，若点是的中点，试比较与的大小，并说明理由； (2)如图2，点、分别是、的中点，若，．求的面积． 50．在苏教版七下第八章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个梯形的面积，能得到等式： ．(结果为最简) (3)根据上面两个结论，解决下面问题：若图中，直角三角形三边、、，．已知，，求的值． 51．【知识技能】 已知：， 填空：（1）① ；② ． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设， 则，， ∴ 【解决问题】 （2）①若x满足，则 ； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成个部分，其中四边形与为正方形，若＝，＝，四边形的面积为，求正方形的面积． 题型十八 完全平方公式的变形求值 52．已知实数满足等式和，求的值． 53．阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 54．（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 题型十九 完全平方式与几何图形关系 55．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______． (2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； (3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，求图3中阴影部分的面积． 56．【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 57．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 题型二十 配方法求最值 58．配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有 个； ①10         ②28       ③45       ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 59．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 60．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 题型二十一 乘法公式的新定义运算 61．在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 62．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5 (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与 ；③与. (2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值 63．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$