专题01 幂的运算（6大公式+13大题型） 2025-2026学年七年级下学期数学期末专题复习（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:01： 幂的运算（6大公式+13大题型） 模块1：思维导图 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法： (其中都是整数). 2.语言叙述：同底数幂相乘，底数 ，指数 . 3.易错提醒： 当底数是负数、分数或数与字母的组合时，需要用括号将底数括起来； 4.公式的推广：三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是整数）. 5.公式可以逆用： （都是整数） 把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。 考点2：同底数幂的除法 1.同底数幂的乘法： (其中都是整数). 2.语言叙述：同底数幂相除，底数 ，指数 . 3.易错提醒： 当底数是负数、分数或数与字母的组合时，需要用括号将底数括起来； 4. 公式的推广：三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 即（都是整数）. 5.公式可以逆用： （都是整数） 考点3：幂的乘方 1.幂的乘方： (其中都是整数). 2.语言叙述：幂的乘方，底数 ，指数 . 3.公式推广： () 4.逆用公式： = . 考点4：积的乘方 1.积的乘方： (其中是整数). 2.语言叙述：即积的乘方，等于把积的每一个因式 ，再把所得的幂 . 3.公式的推广： (为整数). 4.逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如： 考点5：零指数幂 1.零指数幂： 2.语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于 ； 3. 易错提醒：底数不能为0，即没有意义. 考点6：负整数指数幂 1.负整数指数幂： （≠0，是正整数）. 2.语言叙述：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的 。 考点7：科学记数法 1.把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数； 2.把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中是负整数。 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】幂的运算公式正向使用混合计算（解答题） 【例题】1．计算： 【变式训练】 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算： 【题型2】幂的运算公式正向使用计算判断（选择题） 【例题】2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】同底数幂的乘法公式逆向运用 【例题】3. 已知，，则的值是（   ） A．5 B．6 C．1 D． 【变式训练】 1．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 4．已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【题型4】同底数幂的除法公式逆向运用 【例题】4．已知：，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．2 3．已知，则（   ） A．52 B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A．625 B．25 C．5 D． 【题型5】幂的乘方公式逆向运用 【例题】5．若，，则的值是（    ） A． B．50 C．4 D．5 【变式训练】 1．下列各数中，数值最大的一个是(   ) A． B． C． D． 2．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知：，则的值为__________． 【题型6】积的乘方公式逆向运用 【例题】6．计算（ ） A．1 B． C． D． 【变式训练】 1．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 2．计算的值等于_________． 3．巧算：______． 4．计算_________ 【题型7】零指数幂、负整数指数幂大小比较 【例题】7．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．如果，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，那么它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型8】利用幂的运算公式进行简便计算 【例题】8计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练】 1．计算的结果是（　） A．1.5 B． C． D． 2．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 3．计算的结果是（   ） A．18 B． C． D． 4．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道【例题】． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． 计算：①； ②； 【题型9】根据幂的六大运算公式求解特殊方程 【例题】9．若，则的值为_______． 【变式训练】 1．已知，则______． 2．若，则x的值是________． 3．分别求出下列式子的值 (1)已知：，，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 4．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【题型10】科学记数法—表示较小的数 【例题】10．中国科学院近日成功研发出固态深紫外（）激光源，能够发射出193纳米波长的光，为半导体工艺提升至3纳米节点提供了有力支持．已知193纳米等于0.000000193米，那么数字0.000000193用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”据测量，1粒粟的重量大约为千克，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．流感病毒新毒株来势汹汹，有数据表明其直径大约是0.0000000853米．将数0.0000000853用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【题型11】零指数幂、负整数指数幂的运算 【例题】11．计算：． 【变式训练】 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：； 4．计算：． 【题型12】利用幂的运算公式证明等量关系式 【例题】12．已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【变式训练】 1．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 2．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 3．已知，借助幂的运算性质解决下面问题： (1)求：的值； (2)若，请用一个等式表示a，b，c的关系． 4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【题型13】与幂的运算相关的新定义运算问题 【例题】13．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【变式训练】 1．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 2．定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 3．对于任意有理数，定义一种幂的新运算：．例如：．请根据上述运算规则解答下列问题： (1)求的值； (2)已知 ，求的值． 4．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:01： 幂的运算（6大公式+13大题型） 模块1：思维导图 模块2：考点默写+梳理 考点1：同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法：(其中都是整数). 2.语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 3.易错提醒： 当底数是负数、分数或数与字母的组合时，需要用括号将底数括起来； 4.公式的推广：三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是整数）. 5.公式可以逆用： （都是整数） 把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。 考点2：同底数幂的除法 1.同底数幂的乘法：(其中都是整数). 2.语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 3.易错提醒： 当底数是负数、分数或数与字母的组合时，需要用括号将底数括起来； 4. 公式的推广：三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 即（都是整数）. 5.公式可以逆用： （都是整数） 考点3：幂的乘方 1.幂的乘方： (其中都是整数). 2.语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.公式的推广： () 4.逆用公式：（都是整数）. 考点4：积的乘方 1.积的乘方： (其中是整数). 2.语言叙述：即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 3.公式的推广： (为整数). 4.逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如： 考点5：零指数幂 1.零指数幂： 2.语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1； 3.易错提醒：底数不能为0，即没有意义. 考点6：负整数指数幂 1.负整数指数幂：（≠0，是正整数）. 2.语言叙述：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数。 考点7：科学记数法 1.把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数； 2.把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中是负整数。 模块3：经典例题+变式训练 【题型1】幂的运算公式正向使用混合计算（解答题） 【例题】1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可． 【详解】解： ， ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据幂的乘方，同底数幂乘方，同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【题型2】幂的运算公式正向使用计算判断（选择题） 【例题】2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用同底数幂乘法，同底数幂除法，幂的乘方与积的乘方法则计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A. ，该选项错误； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项正确． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方、合并同类项法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，A计算错误，不符合题意； B、，B计算错误，不符合题意； C、，C计算错误，不符合题意； D、，D计算正确，符合题意． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A∶ 根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ，故A错误． 选项B∶ 根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． ，故B正确． 选项C∶ 根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． ，故C错误． 选项D∶ 根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． ，故D错误． 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ A错误； ∵， ∴B错误； ∵， ∴C正确； ∵， ∴D错误． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方法则分别计算，即可判断答案． 【详解】解：选项A、因为，所以选项A错误，不符合题意； 选项B、因为，所以选项B错误，不符合题意； 选项C、因为，所以选项C正确，符合题意； 选项D、因为，所以选项D错误，不符合题意． 【题型3】同底数幂的乘法公式逆向运用 【例题】3. 已知，，则的值是（   ） A．5 B．6 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算性质，利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 【变式训练】 1．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【详解】解：∵,， ∴ . 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 3．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选A． 4．已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 【题型4】同底数幂的除法公式逆向运用 【例题】4．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方和同底数幂的乘除法逆运算等知识； 先根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘除法逆运算法则将原式变形为，再代入已知数据计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：A. 【变式训练】 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算等知识，掌握相关运算法则是解题关键． 利用已知将原式变形，进而结合同底数幂的除法运算法则求出答案． 【详解】解：，， ； 故选：A 2．已知，，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆用，根据同底数幂相除的运算法则得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3．已知，则（   ） A．52 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法逆用、幂的乘方逆用，逆用同底数幂相除、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：因为， 所以． 故选：B． 4．若，则的值为（    ） A．625 B．25 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法的逆运算，理解同底数幂的乘法和除法的逆运算法则是解答关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算求出，再把的值代入中进行求解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 【题型5】幂的乘方公式逆向运用 【例题】5．若，，则的值是（    ） A． B．50 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方的性质，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，且已知 ， ∴ 代入得． 【变式训练】 1．下列各数中，数值最大的一个是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察四个幂的指数，发现，， 都是的倍数，利用幂的乘方性质，将四个数变形为指数相同的形式，再比较底数大小，即可得到结果． 【详解】解：∵， ， ， ， 四个数的指数相同，且 ， 当指数相同且大于，底数大于时，底数越大，幂越大， ∴最大，即最大． 2．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一为相同值，再根据指数相同、底数大于1时，底数越大幂越大的性质比较大小． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 3．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件中的底数4和8转化为底数为2的幂，再利用幂的运算法则对所求式子变形，代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 4．已知：，则的值为__________． 【答案】25 【分析】将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入计算即可． 【详解】解：=， ∴将代入得：原式． 【题型6】积的乘方公式逆向运用 【例题】6．计算（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】可利用积的乘方的逆运算简化计算，将高次幂拆分为同指数幂与低次幂的乘积，再合并计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】原式变形为，再逆用积的乘方法则计算． 【详解】解：． 2．计算的值等于_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方的逆运算进行计算，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 3．巧算：______． 【答案】/ 【详解】解： ． 4．计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 【题型7】零指数幂、负整数指数幂大小比较 【例题】7．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 【变式训练】 1．已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ， ， 可知， ∴． 2．如果，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零指数幂、负整数指数幂和平方运算分别计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ． 3．若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负指数幂、零次幂和乘方的运算法则算出每个数的具体值，再从小到大排序，选出对应的选项． 【详解】解：，，，， ， 故． 4．已知，，，那么它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小得到结果． 【详解】解：，， ∵ ∴ 【题型8】利用幂的运算公式进行简便计算 【例题】8计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用积的乘方法则可简化计算，得到最终结果. 【详解】解：∵， ∴原式 . 【变式训练】 1．计算的结果是（　） A．1.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ． 2．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 3．计算的结果是（   ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 4．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． 计算：①；②； 【答案】①；② 【分析】①将拆为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； 【详解】解：①； ②； 【题型9】根据幂的六大运算公式求解特殊方程 【例题】9．若，则的值为_______． 【答案】1或2或4 【分析】根据题意可得，且；再分三种情况：，，，分别求出对应情况下的值，看是否符合题意即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 综上所述，t的值为1或2或4． 【变式训练】 1．已知，则______． 【答案】2或0 【分析】分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，不符合题意； 综上：. 2．若，则x的值是________． 【答案】、、0 【分析】分三种情况讨论：当且时，当为任意数时，当且为偶数时，分别计算即可． 【详解】解：当且时，，此时； 当为任意数时，，此时； 当且为偶数时，，此时； 综上，x的值为、、0． 3．分别求出下列式子的值 (1)已知：，，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先将变形为，再代入求值即可；②先将变形为，再代入求值即可； （2）由变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ②． （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：． 4．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得：，可得，进一步可得答案； （2）由条件可得：，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型10】科学记数法—表示较小的数 【例题】10．中国科学院近日成功研发出固态深紫外（）激光源，能够发射出193纳米波长的光，为半导体工艺提升至3纳米节点提供了有力支持．已知193纳米等于0.000000193米，那么数字0.000000193用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 【变式训练】 1．“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”据测量，1粒粟的重量大约为千克，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的标准形式为 ，其中，为整数，对于小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：∵对于，左起第一个非零数字为，满足，且前面共有个零， ∴ ． 2．基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法表示较小数的形式为，其中，为正整数，的值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：数据0.000002用科学记数法表示为． 3．国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，的绝对值与原数变为时小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时，为负整数． 【详解】解：． 4．流感病毒新毒株来势汹汹，有数据表明其直径大约是0.0000000853米．将数0.0000000853用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【题型11】零指数幂、负整数指数幂的运算 【例题】11．计算：． 【答案】 【分析】分别计算式子中的乘方、负整数指数幂和零指数幂，再将所得结果相加即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值、乘方、零指数幂及负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，积的乘方逆运算，再计算加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算：； 【答案】 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型12】利用幂的运算公式证明等量关系式 【例题】12．已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键． 观察数据，可得出，即可通过同底数幂的乘法法则得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 【答案】（1）40；（2），理由见解析 【分析】本题考查幂的运算： （1）逆用同底数幂的乘法，进行计算即可； （2）逆用积的乘方，幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），理由如下： ∵，且，，， ∴． 2．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 3．已知，借助幂的运算性质解决下面问题： (1)求：的值； (2)若，请用一个等式表示a，b，c的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，利用同底数幂的除法以及幂的乘方法则变形，即可求解； （2）根据得到，利用幂的乘方法则变形，可得，从而得到． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型13】与幂的运算相关的新定义运算问题 【例题】13．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【变式训练】 1．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，即， ∴，即， ∴． 2．定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 3．对于任意有理数，定义一种幂的新运算：．例如：．请根据上述运算规则解答下列问题： (1)求的值； (2)已知 ，求的值． 【答案】(1)5 (2)73 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：由题意知：； （2）解：∵， ∴． 4．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $