第七章 幂的运算（知识清单）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学第七章“幂的运算”知识清单系统梳理了同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方、0指数幂、负整数指数幂及科学记数法六大核心法则，构建了从法则梳理到易错点解析再到分层训练的递进式学习支架。 清单通过“易错点专项标注”和“推导式记忆引导”呈现知识体系，如明确标注同底数幂除法等公式中底数不为0的要求，强调通过推导理解同底数幂乘法与幂的乘方的区别，培养学生运算能力与推理意识。设计“知识点分类训练题”，如科学记数法中正负指数的区分练习，不同基础学生可针对性巩固，教师可据此精准教学，提升课堂效率。

第七章 幂的运算 1.同底数幂的乘法法则： （1）文字表述：同底数幂相乘，底数 ，指数 ； （2）符号表示： ； 2.同底数幂的除法法则： （1）文字表述：同底数幂相除，底数 ，指数 ； （2）符号表示： ； 3.积的乘方法则： （1）文字表述：积的乘方,把积的每一个因式分别 ,再把所得的幂 ； （2）符号表示： ； 4. 幂的乘方法则： （1）文字表述：幂的乘方,底数 ,指数 ； （2）符号表示： ； 5. 0指数幂法则： （1）文字表述： 的数的0次幂等于 ； （2）符号表示： ； 6. 负整数指数幂法则： （1）文字表述：任何不等于0的数的次幂,等于这个数的次幂的 ； （2）符号表示： ； 7.科学记数法： 一般地,用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成的形式,其中,是正整数.规定了负整数指数幂后,对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为的形式,其中,是正整数. 一、幂的运算对底数和指数的要求： 1. 幂的运算对底数的要求 错误：认为“幂的运算公式中，底数a是什么数都可以进行运算”． 注意：幂的6个运算公式中，有3个公式对底数a是有要求的，即同底数幂的除法、0指数幂、负整数指数幂3个公式中的底数a不能为0，如果为0，则无法进行计算，式子无意义． 例如：这三个式子无意义，不能进行计算． 2. 幂的运算对指数的要求 错误：认为“幂的运算公式中的指数可以为任何数”． 注意：目前初中数学教材中所讲的幂的运算中的指数都是整数． 二、同底数幂的乘法公式与幂的乘方公式混淆使用 与混淆 错误：混淆“与”． 注意：这两个公式容易记不住而混淆，对与这样的情况一定要从公式的推导过程入手，明白公式的“来历”．把公式完整地推导几次，做到真正理解公式如何来的，这样才能记得牢。 三、0指数幂、负整数指数幂错误使用 1. 公式的使用比较频繁，考试中错误率较高 错误：记不牢，而导致计算中错误较多． 建议：对于公式，建议将该公式自己独立推导几次，帮助记忆，也可以联合0指数幂一起记忆： 从而理解互为倒数关系。 2.0指数幂的错误使用 错误：错误认为一个数的0次幂结果还是0，与一个数同0相乘混淆． 建议：要真正理解一个非零数的0次幂等于1的数学原理，可以从一些具体的例子入手，联合其他几个公式一起理解为什么要规定一个非零数的0次幂等于1 例如：． 所以必须规定一个非零数的0次幂等于1，只有这样才不会与其他知识产生矛盾。 四、负整数指数幂与科学记数法 1.科学记数法中什么时候使用正指数？ 记忆：要表示成科学记数法的数绝对值大于等于1时，指数要写成正指数形式． 2. 科学记数法中什么时候使用负指数？ 记忆：要表示成科学记数法的数绝对值小于1时，指数要写成负指数形式． 知识点1训练：同底数幂的乘法 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 3．下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点2训练：同底数幂的除法 4．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 5．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若，， ． 知识点3训练：0指数幂 7． ． 8．若，则x的值为 ． 9．计算： ． 知识点4训练：负整数指数幂 10．计算： ． 11．计算 ． 12．若（其中为正整数，且），则 ． 知识点5训练：幂的乘方 13．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 14．计算结果是（   ） A． B． C． D． 15．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点6训练：积的乘方 16．计算： ． 17．计算： ． 18．计算： ； ． 知识点7训练：科学记数法 19．“我欲因之梦寥廓，芙蓉国里尽朝晖．”毛主席的诗句将“芙蓉国”写入新中国语境，使之由文人雅称变成全民熟知的湖南名片．荷花又称“水芙蓉”，外指锦绣山河，内含“心怀天下、敢为人先”的担当．其花粉直径约米，这里“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 20．近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 21．我国自主研发生产的电子芯片涵盖了手机、通信、人工智能等多个领域，某种芯片面积大约为，其中数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 知识点8训练：幂的运算综合练习 22．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 24．计算： (1)； (2)； (3)． 25．计算： (1) (2) 26．计算 (1)； (2)已知，，求 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 幂的运算 1.同底数幂的乘法法则： （1）文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）符号表示：； 2.同底数幂的除法法则： （1）文字表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减； （2）符号表示：； 3.积的乘方法则： （1）文字表述：积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘； （2）符号表示：； 4. 幂的乘方法则： （1）文字表述：幂的乘方,底数不变,指数相乘； （2）符号表示：； 5. 0指数幂法则： （1）文字表述：任何不等于0的数的0次幂等于1； （2）符号表示：； 6. 负整数指数幂法则： （1）文字表述：任何不等于0的数的次幂,等于这个数的次幂的倒数； （2）符号表示：； 7.科学记数法： 一般地,用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成的形式,其中,是正整数.规定了负整数指数幂后,对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为的形式,其中,是正整数. 一、幂的运算对底数和指数的要求： 1. 幂的运算对底数的要求 错误：认为“幂的运算公式中，底数a是什么数都可以进行运算”． 注意：幂的6个运算公式中，有3个公式对底数a是有要求的，即同底数幂的除法、0指数幂、负整数指数幂3个公式中的底数a不能为0，如果为0，则无法进行计算，式子无意义． 例如：这三个式子无意义，不能进行计算． 2. 幂的运算对指数的要求 错误：认为“幂的运算公式中的指数可以为任何数”． 注意：目前初中数学教材中所讲的幂的运算中的指数都是整数． 二、同底数幂的乘法公式与幂的乘方公式混淆使用 与混淆 错误：混淆“与”． 注意：这两个公式容易记不住而混淆，对与这样的情况一定要从公式的推导过程入手，明白公式的“来历”．把公式完整地推导几次，做到真正理解公式如何来的，这样才能记得牢。 三、0指数幂、负整数指数幂错误使用 1. 公式的使用比较频繁，考试中错误率较高 错误：记不牢，而导致计算中错误较多． 建议：对于公式，建议将该公式自己独立推导几次，帮助记忆，也可以联合0指数幂一起记忆： 从而理解互为倒数关系。 2.0指数幂的错误使用 错误：错误认为一个数的0次幂结果还是0，与一个数同0相乘混淆． 建议：要真正理解一个非零数的0次幂等于1的数学原理，可以从一些具体的例子入手，联合其他几个公式一起理解为什么要规定一个非零数的0次幂等于1 例如：． 所以必须规定一个非零数的0次幂等于1，只有这样才不会与其他知识产生矛盾。 四、负整数指数幂与科学记数法 1.科学记数法中什么时候使用正指数？ 记忆：要表示成科学记数法的数绝对值大于等于1时，指数要写成正指数形式． 2. 科学记数法中什么时候使用负指数？ 记忆：要表示成科学记数法的数绝对值小于1时，指数要写成负指数形式． 知识点1训练：同底数幂的乘法 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项． 【详解】解：． 故选：A． 2．若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘的法则，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂相乘的法则，指数相加，计算左边已知部分的指数和，再根据等式求解未知指数的值即可． 【详解】解：∵， 设横线上应填， 则， ∴， ∴， 故横线上应填． 故选D． 3．下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的运算，根据同底数幂的乘法可判断①、③；根据乘方的意义及同底数幂的乘法可判断②；根据合并同类项可判断④．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①∵和的底数不同， ∴指数不能相加，故原算式不正确； ②，故原算式正确； ③，故原算式正确； ④，故原算式正确， 综上，正确的有②③④，共个． 故选：C． 知识点2训练：同底数幂的除法 4．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 5．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 6．若，， ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握好幂运算的法则是解题关键． 利用指数运算法则，先算出和，然后将 转化为 ，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由指数运算法则，，， ∵， ∴． 故答案为 ． 知识点3训练：0指数幂 7． ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，熟记任何非零数的零次幂都等于1是解题的关键．根据零指数幂的法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．若，则x的值为 ． 【答案】或1或0 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 9．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：因为， 所以根据零指数幂的定义，得． 故答案为：1． 知识点4训练：负整数指数幂 10．计算： ． 【答案】 【分析】应用负整数指数幂和零指数幂的运算法则分别计算各部分后相加即可；本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 11．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若（其中为正整数，且），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握计算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将转化为，再利用幂的乘方法则和已知条件 进行计算即可． 【详解】解：由负整数指数幂的意义，得 ， 根据幂的乘方法则，， 代入已知条件，得， ； 故答案为：． 知识点5训练：幂的乘方 13．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 14．计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方运算，括号内是个相乘，即，再整体立方，应用幂的乘方运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴原式的括号内是个相乘，即， ∴， 故选：D． 15．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 知识点6训练：积的乘方 16．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查指数运算法则，具体涉及积的乘方和幂的乘方法则的应用．通过分别对底数中的各部分进行乘方运算，即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为 ． 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，掌握积的乘方法则是解题的关键． 利用积的乘方法则，将式子中的每个因式分别平方，再将所得结果相乘． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 18．计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．对于，应用积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可；对于，利用积的乘方运算的逆用进行运算即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：；． 知识点7训练：科学记数法 19．“我欲因之梦寥廓，芙蓉国里尽朝晖．”毛主席的诗句将“芙蓉国”写入新中国语境，使之由文人雅称变成全民熟知的湖南名片．荷花又称“水芙蓉”，外指锦绣山河，内含“心怀天下、敢为人先”的担当．其花粉直径约米，这里“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，根据科学记数法的表示方法：绝对值小于1时，指数为负，其绝对值等于小数点向右移动的位数，即可得到答案． 【详解】解：∵的小数点向右移动5位得到8.3， ∴， ∴ 故选：A． 20．近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 21．我国自主研发生产的电子芯片涵盖了手机、通信、人工智能等多个领域，某种芯片面积大约为，其中数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，对于绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，与较大数不同的是其所用的是负指数幂，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题关键． 【详解】解：， 故选：A． 知识点8训练：幂的运算综合练习 22．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方的运算法则，需逐一验证各选项是否正确即可． 【详解】解：A、与不是同类项，与不能进行加减运算，所以，故选项A不合题意； B、，故选项B不合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，故不符合题意． 故选：C． 23．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C正确，符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选C． 24．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 26．计算 (1)； (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算； （1）根据指数运算法则进行化简计算； （2）化为同底数幂形式，通过指数相等建立方程组求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 将 代入 ， 得 ， ， 解得：， ∴ ， ∴ ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $