解答题抢分练（1-2）-2026届高三数学三轮复习

**基本信息** 聚焦高考18、19题高频考点，以解析几何与导数综合题为载体，通过问题链设计体现数学眼光观察、数学思维推理的逻辑系统性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析几何综合|1道|轨迹方程+面积计算+定点证明|椭圆定义生成标准方程，直线与椭圆位置关系推导斜率关系及定点| |导数应用综合|1道|极值点+恒成立求参+不等式证明|导数与函数单调性关系推导极值，分类讨论解决恒成立，构造函数证明不等式|

18、19题抢分练1 （满分30分， 时间：40分钟） 1．（2026·河南许昌·三模）动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记动点P的轨迹为C． (1)求C的标准方程； (2)已知点，点M，N在C上，直线，的斜率分别为，，且． （i）若，求的面积； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）根据已知条件，利用距离之比构造方程，求出曲线方程； （2）（i）根据两点坐标求出，，从而求出的方程，联立椭圆方程求出点，进而求出直线的方程，求出及点到直线的距离，进而求出的面积；（ii）设，联立椭圆方程，利用韦达定理结合，联立直线方程得出或，进而得出定点坐标． 【详解】（1）设，则P到定直线的距离， ， 则， 将式子两边平方，并化简得， 曲线C的标准方程为． （2） （i），， ，则． 直线的方程为：，代入椭圆方程得：， ，，，即， ， 直线的方程为：，即, 点A到直线的距离为， 又, 的面积为． （ii）设，，，联立， ，则，, ，代入得： ， 即， ， 化简得，即， 或，代入得： 或， 即定点坐标为或， 又， 直线过定点． 2．（2026·福建龙岩·三模）已知函数． (1)求的极小值点； (2)已知对任意都成立，求整数的最大值； (3)已知，证明：． 【答案】(1) (2)4 (3)证明见解析 【难度】0.32 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，再求导函数零点，根据导数与极值的关系求极小值点 （2）恒成立分离参数，构造新函数后用隐零点简化最小值计算，锁定最值区间，快速取最大整数 （3）令，只需证，再利用导数证明结论. 【详解】（1）的定义域为，，由得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以的极小值点为． （2）法一：等价于， 又，可得， 令，， 记，则， 所以在单调递增． 又，， 故在上有唯一零点， 且， 又在单调递减，在单调递增， 所以， 由可得，又为整数， 所以整数的最大值为4． 法二：令 ， 问题转化为：对任意有，因为 当时， 所以在单调递增， 故，符合题意． 当时， ， 当 单调递减， 当 单调递增， 所以 ， 令 ， 所以在单调递减，又， 所以当时，满足的最大整数的值为4 综上：结合时均满足条件，所以整数的最大值为4． （3）令，，则， 所以，要证，即证， 即证， 等价于证， 设，， 则， 所以在上单调递增，所以， 即， 因此只需证， 即 对于（1）式，只需证， 可设，， 则， 所以在上单调递减，在单调递增． 故，即成立． 对于（2）式，即要证， 设，则， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 令，则， 由知， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则在上递增，所以 综上命题得证． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $18、19题抢分练2 (满分30分，时间：40分钟) 1.(2026吉林.三模)已知函数fx=x2-2 axlnx-1aeR) (1)当a=-1时，求函数∫(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)若fx)≥0在[1，+0)上恒成立，求a的取值范围： (3)已知a=1,若0<x<x2,且f(x)+fx2)=0,证明：x2+x>2. 1 2.(2026广东佛山·二模)椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭 圆的另一个焦点已知椭圆E:二+广 a3+b2 =1(a>b>0)的左顶点为A-2,0),点P在E上，且在x轴的上方，从E 的左焦点F-1,0发出的光线F?,经过E反射后，交E于点9按照如下方式依次构造点Pn和9，(n=2,3,…): 光线P2n经过E反射后，交E于点P1;光线PnQn经过E反射后，交E于点On+1 (1)求E的方程； (2)设直线APn的斜率为kn,求证：数列{飞}是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标 2 18、19题抢分练2 （满分30分， 时间：40分钟） 1.（2026·吉林·三模）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且，证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.3 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，然后求出切点坐标和过切点的线的斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）利用二次求导分析原函数的取值范围，对分类讨论，进而求解的取值范围； （3）构造新函数，利用二次求导和均值不等式进行求解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）由，则， 令，则， 令，解得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 若，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以时，单调递减，， 与在上恒成立矛盾. 综上所述，若在上恒成立，则的取值范围是. （3）已知，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设， 则. 设， 则. 所以在上单调递减. 又，所以，从而在上单调递增. 因为，所以. 因为，所以， 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 2.（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)数列是等比数列，公比为 (3)直线恒过定点 【难度】0.33 【知识点】由递推关系证明等比数列、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $18、19题抢分练1 (满分30分，时间：40分钟) 1.（2026河南许昌三模)动点P(,)与定点F(←V5,0)的距离和P到定直线1：x=-25的距离的比是常数 2 记动点P的轨迹为C (1)求C的标准方程； (2)已知点A(2,1),点M,N在C上，直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,且k·k,=-2. 25 iD若M有3 求aAMN的面积； (ii)证明：直线MW过定点. 1 2.(2026福建龙岩·三模)己知函数∫(x=xlnx. (1)求f(x)的极小值点； (2)己知2f(x-(k-1)x+k>0(k∈Z)对任意x>1都成立，求整数k的最大值； (3)已知0<x<x,≤1，证明：f(x)-f(xsx,-x. 2