专题16.1二次根式及其性质（高效培优讲义，3知识&8题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题16.1二次根式及其性质 教学目标 1.理解二次根式的概念， 2.掌握二次根式有意义的条件，会求字母取值范围。 3.理解二次根式的双重非负性。 4.掌握两个核心性质。 5.能运用性质进行简单化简与计算。 教学重难点 教学重点 1. 二次根式的概念与有意义的条件。 2. 二次根式的双重非负性。 3. 两个核心性质的理解与直接应用。 4. 教学难点 结合分母不为 0，综合确定字母取值范围。 利用非负性解决 “0+0=0” 型求值问题。 知识点01 二次根式的定义 1.二次根式的定义：我们把形式如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号. 2. 二次根式的特征 (1) 必须含有二次根号“ ”， “” 的根指数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ” . (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . (3) 双重非负性： 二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2.使式子有意义的字母取值范围(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 知识点03 二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 1 ：( ) ²=a( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质 2 ： =|a|= 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 . 2. 与( )²( a ≥ 0)的区别与联系 ( )² 区别 取值范围不同  a 为全体实数  a ≥ 0 运算顺序不同  先平方后开方  先开方后平方 运算结果不同  =｜a｜= ()²= a(a ≥ 0) 联系   与()²均为非负数，当 a ≥ 0 时， =()² 【即学即练】 1．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 2．化简：__． 题型01 求二次根式被开方数中所含字母的取值范围 【例1】要使下列式子有意义，的取值必须满足什么条件？ (1)； (2)． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 题型02 利用二次根式的性质1进行计算 【例2】计算： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】计算的结果是_____． 题型03 利用二次根式的性质2进行化简、求值 【例3】计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简：（   ） A． B． C． D．7 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）化简：________． 题型04 利用数轴和二次根式的性质化简或计算 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．2 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）实数在数轴上的位置如图所示，且，则化简结果为___________． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简 题型05 利用二次根式的非负性求值 【例5-1】利用二次根式的非负性确定未知数的值 若，则_____，_____． 【例5-2】利用二次根式被开方数的非负性求代数式的值 若，都是实数，且，求的值． 【变式5-1】二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【变式5-2】已知，均为实数，，则的值为________． 【变式5-3】若实数x，y满足，求的值． 题型06 根据二次根式的值是整数求字母的取值 【例6】已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【变式6-1】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】已知是整数，则自然数的值是________． 【变式6-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 题型07 二次根式与三角形综合 【例7】若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是________． 【变式7-1】若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【变式7-2】已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 题型08 利用二次根式的性质进行规律探究 【例8-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【例8-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【例8-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ． (1) ． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)按照以上规律，写出第5个等式：_________________________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：_________________________（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【变式8-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 3．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 5．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 6.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）设，，，，，则的值（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为______． 9．若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 10.已知，，则的值为__________． 11．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）当时，化简的结果是_____． 12．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为_____ 13．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）若，则______． 三、解答题 14．当取什么值时，代数式的取值最小？并求出这个最小值． 15．已知实数，，满足，求的值． 16．若实数，，满足． (1)求的值． (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ①； ②； ③ (1)根据你发现的规律填空：___________； (2)请用（为正整数）来表示含有上述规律的等式：___________，并证明你的猜想． 18．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)____________； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出第圈个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)应用（2）中结论，请计算的值． 19．（24-25八年级下·安徽池州·期中）观察以下等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 解决下列问题： (1)写出第个等式：______． (2)如果为正整数，直接写出用含的式子表示上述运算规律的猜想． (3)请证明你的猜想． 20．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式及验证过程 验证： ，验证：； ，验证：…．． (1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想____________； (2)针对上述各式反映的规律，写出用第个（的自然数）表示的等式，并进行验证； (3)直接写出：____________． 21．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 22．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； (2)请写出第 n个等式为 ； (3)根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 23．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.1二次根式及其性质 教学目标 1.理解二次根式的概念， 2.掌握二次根式有意义的条件，会求字母取值范围。 3.理解二次根式的双重非负性。 4.掌握两个核心性质。 5.能运用性质进行简单化简与计算。 教学重难点 教学重点 1. 二次根式的概念与有意义的条件。 2. 二次根式的双重非负性。 3. 两个核心性质的理解与直接应用。 4. 教学难点 结合分母不为 0，综合确定字母取值范围。 利用非负性解决 “0+0=0” 型求值问题。 知识点01 二次根式的定义 1.二次根式的定义：我们把形式如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号. 2. 二次根式的特征 (1) 必须含有二次根号“ ”， “” 的根指数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ” . (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . (3) 双重非负性： 二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 知识点02 二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2.使式子有意义的字母取值范围(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知：， ． 故选：A 知识点03 二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 1 ：( ) ²=a( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质 2 ： =|a|= 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 . 2. 与( )²( a ≥ 0)的区别与联系 ( )² 区别 取值范围不同  a 为全体实数  a ≥ 0 运算顺序不同  先平方后开方  先开方后平方 运算结果不同  =｜a｜= ()²= a(a ≥ 0) 联系   与()²均为非负数，当 a ≥ 0 时， =()² 【即学即练】 1．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，准确计算是解题的关键． 根据算术平方根的定义，，因此先计算平方，再取非负平方根． 【详解】； 故选． 2．化简：__． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是关键． 直接利用二次根式的性质“”化简求出即可． 【详解】解： 故答案为：5． 题型01 求二次根式被开方数中所含字母的取值范围 【例1】要使下列式子有意义，的取值必须满足什么条件？ (1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】解：要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 题型02 利用二次根式的性质1进行计算 【例2】计算： （1）_____； （2）_____； （3）_____； （4）_____． 【答案】 【详解】（1） ， 答案为：． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． （4） ， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质（ ），熟练掌握该性质是将根号外非负因数移到根号内的关键．利用二次根式的性质（ ），将根号外的数移到根号内，通过计算判断结果． 【详解】解：要将中根号外的数移到根号内， ∵ （，符合二次根式性质 ） ∴ 故选：A ． 【变式2-2】计算的结果是_____． 【答案】16 【分析】本题主要考查了二次根式的性质及有理数的加法运算，熟练掌握（）是解题的关键． 先利用二次根式的平方性质计算的值，再进行有理数的加法运算得出最终结果． 【详解】解：， 故答案为：16 题型03 利用二次根式的性质2进行化简、求值 【例3】计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质．根据公式，计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简：（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和解一元一次不等式，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 直接根据二次根式的非负性列关于a的不等式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选B． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型04 利用数轴和二次根式的性质化简或计算 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，根据数轴上点的位置判断出的正负，原式利用二次根式的化简公式变形，再利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：,即， 则, 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键．根据数轴可得，进而可得，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）实数在数轴上的位置如图所示，且，则化简结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质化简，先由数轴得，再结合，则，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简、实数与数轴，绝对值的性质，熟练二次根式的性质与化简，根据数轴判断a、b的取值范围是解题的关键． 先根据数轴的性质确定a、b的取值范围，再运用完全平方公式将式子变形后，运用二次根式的性质进行化简，最后进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 题型05 利用二次根式的非负性求值 【例5-1】利用二次根式的非负性确定未知数的值 若，则_____，_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：，． 【例5-2】利用二次根式被开方数的非负性求代数式的值 若，都是实数，且，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式5-2】已知，均为实数，，则的值为________． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 【变式5-3】若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 题型06 根据二次根式的值是整数求字母的取值 【例6】已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 【变式6-1】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 【变式6-2】已知是整数，则自然数的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 【变式6-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 题型07 二次根式与三角形综合 【例7】若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 【变式7-1】若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 【变式7-2】已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 题型08 利用二次根式的性质进行规律探究 【例8-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律，二次根式的性质，解题的关键在于能够根据题意找到规律． （1）根据题意写出第五个式子即可； （2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为． （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 【例8-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】(1) (2)（的整数），证明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由题干找出规律求解即可； （2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； （2）解： （的整数） 证明如下： ． 【例8-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ． (1) ． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可； （2）根据已知算式得出规律即可； （3）先变形为原式，再根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)按照以上规律，写出第5个等式：_________________________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：_________________________（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的性质，解题的关键是发现等式的规律． （1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以大4的数再加上4，右边是该自然数加2，依此规律可得出答案； （2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： ∴ （2）． 为正整数， ∴左边右边， ∴等式成立． 【变式8-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； （2）解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8或16． 【分析】本题主要考查二次根式的化简、完全平方公式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）仿照所给的方法求解即可； （2）将化成，再代入求解； （3）利用所给的方法进行分析，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴； （3）①当，， ②当，． 综上所述，或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；     B、，故该选项正确，符合题意；     C、 ，故该选项不正确，不符合题意；     D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质（）以及绝对值的性质（绝对值等于其本身的数是非负数），解题的关键是利用二次根式和绝对值的性质，分析等式成立的条件，从而确定的取值范围． 先依据二次根式性质将转化为，再根据绝对值等于自身时被绝对值的数是非负的，列出关于的不等式求解． 【详解】， ，解得， 故选：A． 3．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 5．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 6.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴； 故选：C． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）设，，，，，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，可证明，则可证明，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】解；， ， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 直接运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 10.已知，，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次根式的性质． 根据二次根式的性质求出a、b的值，进而求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）当时，化简的结果是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，根据绝对值和二次根式的性质化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为_____ 【答案】6 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可。 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：6. 13．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，由，变形为，然后两边平方得，即，最后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．当取什么值时，代数式的取值最小？并求出这个最小值． 【答案】时，最小值是7 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件确定根式的最小值，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得， ， 当时，有最小值，此时， 的最小值是7． 15．已知实数，，满足，求的值． 【答案】 10 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质. 本题考查非负数的性质，包括算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，以及代数式的求值.通过分析方程中各项的非负性，得出每个部分均为零，从而求出未知数的值，再代入所求表达式计算. 【详解】解：由题意可得： . 16．若实数，，满足． (1)求的值． (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得． ， ，． ； （2）解：当是腰长，是底边长时，等腰三角形的腰长之和：，舍去； 当是腰长，是底边长时，等腰三角形的周长为． 综上，这个等腰三角形的周长为． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ①； ②； ③ (1)根据你发现的规律填空：___________； (2)请用（为正整数）来表示含有上述规律的等式：___________，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，从已有等式中抽象概括出相应的规律，是解题的关键： （1）根据已有等式，进行作答即可； （2）根据已有等式，推出规律，利用二次根式的性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）由题意，规律为：； 证明：∵为正整数， ∴． 18．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)____________； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出第圈个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)应用（2）中结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可． （1）利用题中等式的计算规律求解即可； （2）找出第个等式的左边为，右边为与的和，列出等式即可． （3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）； （3）． 19．（24-25八年级下·安徽池州·期中）观察以下等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 解决下列问题： (1)写出第个等式：______． (2)如果为正整数，直接写出用含的式子表示上述运算规律的猜想． (3)请证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题主要考查数字规律，二次根式性质与化简的计算，理解计算方法，找出规律是解题的关键． （）根据材料提示找出规律即可求解； （）根据材料提示找出规律即可求解； （）结合（）中的规律，并验证即可． 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（）可得，第个等式：； （3）证明：∵等式左边 ， ∴等式左边等式右边， ∴猜想成立． 20．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式及验证过程 验证： ，验证：； ，验证：…．． (1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想____________； (2)针对上述各式反映的规律，写出用第个（的自然数）表示的等式，并进行验证； (3)直接写出：____________． 【答案】(1) (2)，验证见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数式规律，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）按照所给等式的验证过程求解即可； （2）根据所给等式总结归纳得出第n个等式规律即可． （3）根据，然后根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… ∴第n个等式：． 验证： ． （3）解： 故答案为：． 21．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． （1）根据前三个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （2）找出前四个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （3）根据二次根式的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：特例4：； 故答案为：； （2）解：特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：； 根据以上各式的规律，可得：； 故答案为：； （3）证明：是正整数， ， ． 22．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； (2)请写出第 n个等式为 ； (3)根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是找出规律． （1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据给出的式子，写出第n个等式即可 （3）根据题目中的规律计算即可得到结论． 【详解】（1）解：第7个等式为； 故答案为：； （2）第 n个等式为； 故答案为：； （3） ， ∴不超过m的最大整数是2024． 23．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的关键． （1）结合第1至第4个等式，即可得出答案； （2）根据题目中所给式子呈现的规律，即可得出答案； （3）根据（2）中得出的规律，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得； 故答案为：； （2）根据题意，可得第个等式：； 故答案为：； （3）原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $