探析立体几何中与体积比例有关问题的解题策略-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

解微學典原突窄有清中学生教理化 探析立体几何中与体积比例有关问题的解题策略 ■西安交通大学附属中学 张冰 石鸿鹏 立体几何中的“截面、交线、体积比”等问 题是立体几何模块中最具创新意识的题型， 以是瓷=所以-言兴-路 Ac3PA-PB 它渗透了动态的线、面等元素，给静态的立体 =M BMN-1,EF-3.MF-NE-2 几何题赋予了活力。结合近几年高考命题趋 设点B到平面MNE和平面PCD的距 势，立体几何选择填空题进一步聚焦与截面 离分别为h1,h2,则h1:h2=2：3。 有关的体积比例等综合题型，既要求同学们 掌握精准构建空间截面的方法，又要求灵活 因为h:= S△BD·PO S△PCD =5,所以h= 运用转化方法处理不规则几何体，成为检验 2√6 数学核心素养的“黄金题型”。 一、体积比例求解：以转化思想破解不规 因为四边形EFMN为等腰梯形，设其面 则问题 与截面有关的体积比例问题的核心是求 积为S,则S=1+3)×3 2 =2√3，所以 解“截面分割后形成的不规则几何体体积”， S△MNE= 再通过体积比得到答案。关键在于运用“转 ×2-3 1 2。 化思想”，将不规则几何体转化为可计算的规 所以V五医体AMF-BNE=VM-ABEF十VB-MNE 则几何体（如棱柱、棱锥），核心方法为割补法 1 与等体积法。 ×6×恒+方×停×5呢 39 (一)割补法：化整为零析结构，聚零为整 因为Vm=名×9×8- 2 2,又 得体积 1.分割法 9√272_13√27√ 2 3 6 3 ,所以V,=132 6 将不规则几何体沿截面或对称面分割为 若干个规则几何体（如三棱锥、四棱柱），分别 V_13E13 ,故14 149 计算体积后求和。例如，切割后的五面体，可 2.补形法 分割为三棱锥与四棱锥，分别求积再相加。 将不规则几何体补成熟悉的规则几何体 例1已知正四棱锥P-ABCD的所有 (如长方体、正方体、棱锥)，通过“整体体积减 棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点 去补全部分体积”得到目标几何体体积。例 G作平面a,若平面a∥平面PCD,则平面a 如，缺角的锥体，可补成完整三棱锥，再减去 截正四棱锥P-ABCD分成两部分，记体积较 缺失的小三棱锥即可。 小部分的体积为V1,另一部分的体积为V:, 例2如图2，在各棱长均 则的值为 为1的正三棱柱ABC-A1B,C 解析：如图1，过G 中，D,E分别为BB1,BC1的中 作GH∥PC交AC于 点，过A,D,E三点的截面将三 H,并延长交PA于 棱柱分成上下两部分，记体积较 图2 M,过H作EF∥CD, 小部分的体积为V1,另一部分的 过E作EN∥PC,则四 图1 体积为V烟亡的值为一 边形EFMN为截面。 OG 1 解析：如图3，延长DE与CC,的延长线 因为点G是△PAC的重心PG=2,所 交于点P,将DE反向延长交CB的延长线 41 中学生款理化餐盛学轻案破方法 于点G,连接AP交A1C于点 因为三棱锥B,ACD的底面面积是平行 F,连接EF,得到截面FEDA, 六面体ABCD-A1B,C1D1的底面面积S的 由题意得A1F=2FC1。 在各棱长均为1的正三棱 一半，且商h相等，所以V。m=子A·多 1 柱ABC-A1B,C1中，有AB= 1 F6 VAID-A,BCD,。 BC=AA1=1,所以VABC-A,B,C, (三)共高（底）法：观察图形共性，聚焦共 ×1X1×n60×1-g 图3 4 量求解 1 体积比的本质是“底面积比”与“高比”的 因为GB=DB=EC1=PC1= ,所以 乘积（同高几何体体积比等于底面积比，同底 1 1 3 几何体体积比等于高比)，解题时先分析分割 V:=VpAa-VnFPC.-Vo-AGB=3X2X1X 后的几何体与原几何体（或两个分割几何体 31 &sin6oX2—3××3X×sm608 之间)的共底、共高关系，再结合割补法或等 体积法计算体积，最终得出比例。 名吉×2×1×2×n120×2-29 1449 例4如图5，正三棱柱 23√3 ABC-AB,C1的底面边长为1， 所以V=VxAe,一V,=E 4 144 高为3，已知F为棱AA1的中 ÷-层 点，D,E分别在棱B1B,C1C 上，BD=2,CE=1,记四棱锥 （二)等体积法：规避垂线定位，灵活转化 A1-B,C1ED,三棱锥F-A1DE 图5 求高 与三棱锥A-DEF的体积分别 当直接求几何体的高（或底面积）较困难 为V1,V2,Vg,则V1：V2:Vg= 时，可利用“同一几何体体积不变”的性质，转 解析：根据题意易知S△AA,E= 换底面与高的组合进行计算，尤其适用于点 2 面距相关的体积问题。例如，求截面分割后 S角佛形B.C,D=之。 3 小几何体的体积时，若高难以直接测量，可转 又易知点D到底面AA1E的距离等于 换底面为截面（已知面积），通过等体积法求 点B1到底面AA1E的距离，而点B,到底面 出对应高，进而计算体积。 AA1E的距离等于点A1到平面B,C1ED的 例3如图4，在平行 距离，所以VA,B,CDE=VDAA,E=VDFA,E十 六面体ABCD-A1B,C1D VD-AEF=VFA,DR+VA-DEF,即V1=V+V3。 中，P是线段AD上一点， 又S△FA,E=S△AEE,所以VDFA,E=VD-AEF, 且AP= 是PD,则三枝锥 即VFA,DE=VA-DEE,所以V:=V:。 所以V=V,+Vg=2V,=2V3,故V1: B,-ACP的体积与平行六 图4 V2:Vg=2:1:1。 面体ABCD-A,B,C,D,的 二、解题思路梳理：贯通逻辑链条，实现 体积之比为一。 高效突破 解析：在平行六面体ABCD-AB1C1D 解决“截面十比例”综合题，需遵循“作 中，易得AD∥BC。又AD史平面ABC, 图一分析一计算一求比”的连贯思路：画出完 B1CC平面AB1C,所以A1D∥平面AB1C。 整截面，明确分割后的几何体形状；分析目标 所以A1D上任意一点到平面AB,C的 几何体的构成，判断采用割补法还是等体积 距离为定值。又因为P,D∈A1D,所以 法（不规则且易分割用割补法，高线不易定位 VB-ACP -V P-AB.C -V D-AB.C-V B-ACD 或者长度不易求出选用等体积法)：计算原几 42 学核心青室清管中学生表理化 Y“空间何”试题精选 ■江苏省南京市板桥中学 纪明亮 1.如图1，在平面四边 (1)证明：A,C2⊥平面A2B,C:D2; 形ABCD中，AB=AD= (2)若点P在棱AA,上，当二面角P 12,CD=4√3，∠ADC= 90°，∠BAD=60°，点E、F CD:A的正孩值为时，求A,P的长 子AD,AF 4.如图4，在三棱锥A- 满足AE= 图1 BCD中，DA=DB=DC= AB,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得 1 BC=2,AB=AC=√2，E 为BC的中点。 PB=3√14。 (1)证明：AE⊥BD; 图4 (1)证明：EF⊥PD: (2)若点F满足EF=DA,且P是EF (2)求平面PBC与平面PBF所成二面 角的正弦值。 上一点，当二面角P-AB-D的正弦值为2y6 7 2.如图2所示，在五面体 时，求EP的长。 ABCDEF中，四边形ABCD 5.如图5，在三棱锥P-ABC中，AB⊥ 与四边形ADEF均为直角梯 AC,AB=2,AC=4,PB= 形，BC∥AD,EF∥AD,AF⊥ 2√3，PA=PC=2√2。D是 AD,CD⊥AD,AB=2√2， 图2 AC的中点，点E,F,G分别 AD=4,BC=EF=2,ED= 在棱PA,PB,BC上，且满 2√3，FB=4,M为AD的中点。 (1)证明：BM平面CDE; 足BP=专BP,AG1BD. 图5 (2)求二面角A-BF-E的正 (1)证明：FG∥平面PAC; 弦值。 (2)当二面角EBD-C的正弦值为 3 3.如图3，在正四棱柱 ABCD-A1B1CD1中，AB=2, 求BE的长。 6.如图6，在四面体ABCD中，AD=CD AA1=8,点A2,B2,C2,D2分别在 棱AA,BB,CC,DD1上，且 =2,AD⊥CD,AB=CB=DB=√6，E,F分 AA,=2,BB,=DD,=4,CC,=6. 图3 别为AC,AB的中点，点G在BD上。 (1)证明：平面BED⊥平面ACG; 何体与目标几何体的体积（或直接找到体积 与“体积转化两大法”，多练习、多总结经典模型， 比例关系)；化简得出体积比例，注意解题过 就能将复杂问题转化为基础问题。建议平时针 程中计算的准确性。 对四棱柱、三棱锥等载体进行专项训练，重点突 高考对立体几何中的截面与比例问题的考 破“延展找交点”“补形转化”“等体积换底”等关 查，本质是检验空间想象、逻辑推理、转化计算等 键解题环节，相信在高考中能轻松应对这类热 能力。同学们只需熟练掌握“截面作图三步法” 门题型。 (责任编辑王福华) 43