探究立体几何中的折叠问题-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

所肠数婴典愿赛方清中学生教理化 探究立体几何中的折叠问题 ■西安交通大学附属中学 敬本善 雷卓柔 立体几何中的折叠问题是将平面图形沿 DE·cos∠DEA= 特定折痕翻折成立体图形后，研究其空间几 2 何关系与度量的数学问题，这类问题作为立 ，即PH= DH=V3 2 体几何解答题中的一种经典问题，对同学们 的空间想象能力、逻辑推理能力、数学运算能 在△CEH中，由余弦定理 图3 力有较高的要求。根据折叠后的静态结果和 得CH=EH+EC2 折叠中的动态过程，可分为“折后定”“折中 2EH·ECeos∠HEC= 4+4+1=21 。因 动”两类问题，这两类问题涉及的知识内容有 为PC=√6，且PC=PH+CH,所以PH 点线面位置关系的判断与证明、空间角与空 ⊥HC。又AE∩CH=H,所以PH⊥平面 间距离等相关运算，涉及的思想方法有转化 ABCE。因为PH二平面PAE,所以平面 与化归、坐标化、数形结合、函数等。 PAE⊥平面ABCE。 一、折后定 “折后定”问题是将平面图形折到某一特 例2如图4，在矩形 定位置，其标志为题目中含有“使…位置” ABCD中，AB=2,BC=2√3， “使得…成立”等。解决此类问题的核心是 M,N分别为AD,BC的中 图4 破解该立体图形此时的“状态”，即综合利用 点，O为对角线AC,BD的交 原平面图形的已知条件和折叠后的新条件确 点。如图5，将△OAB和4 定图形。同学们需要注意折叠前后的变与不 △OCD剪去，并将剩下的 C(D) 变，一般而言，始终在同一平面内的线段位置 部分按如下方式折叠：沿 关系与数量关系保持不变，不在同一平面内 MN将△AOD,△BOC 的可能改变。同时要注意勾股定理、正弦定 折叠，并使OA与OB重 图5 理、余弦定理等的准确表达和灵活运用。 合，OC与OD重合，连接 例1如图1，在梯形ABCD中，AD∥ MN,得到由平面OAM,OBN,ODM,OCV 围成的无盖几何体。 BC,∠ADC=90°，BC=2AD=2√3，E是 (1)求证：MN⊥平面AOC; CD上的点，DC=3DE=3。现将△ADE沿 (2)求此多面体体积V的最大值。 AE折起，使得点D到达点P的位置，且PC 解析：(1)如图6，取 =√6，如图2。求证：平面PAE⊥平面 MN的中点为E,连接 C(D) ABCE。 AE,CE,OE。因为AM =AN,E为MN的中点， 所以MN⊥AE。 图6 同理得MN⊥CE, MN⊥OE。 图1 图2 因为AE∩OE=E,AE,OEC平面 证明：如图3，在平面PAE内过点P作 AOE,所以MN⊥平面AOE。因为OA二平 PH⊥AE于点H,连接CH。 面AOE,所以MN⊥OA。因为CE∩OE= 在梯形ABCD中，由∠ADC=90°， E,所以MN⊥平面COE。因为OC二平面 AD=3,DE=1,得∠DEA=60°，则EH= COE,所以MN⊥OC。因为OA∩OC=O, 35 中学生表理化餐皱学经鼻破方法 所以MN⊥平面AOC。 n∠BAC=sim∠BAC-C-号 3 (2)由图形的对称性知V影面体=2 VM-OCN。 因为Sax=名·ON·NC=2×1× 1 因为AC=AD=DC=5,所以△ACD 为正三角形，所以cos∠DAC=。 3- 乞，为定值，所以当点M到平面OCN 记∠B,AD=aa∈[B-专，吾+月]0 的距离最大时，三棱锥M-OCN的体积最大， 此时平面OMC⊥平面ONC,点M到平面 ∠BAC。 因为CD=AD-AC,所以AB·CD OCN的距离等于点M到OC的距离，等于 所以wm=2××9×9- AB,·(AD-AC)=AB·AD-AB·AC √3 -3x5c0sa-3x5x15(co). 二、折中动 记直线AB1和直线CD所成角为0，则 “折中动”问题一般是研究在折叠的动态过 程中空间角或空间距离等几何量的取值范围或 cos 0- IAB:CDI 最值问题。解决此类问题的核心是破解动点的 A丽品-osa-引 轨迹，常见的类型为：当一个确定的平面图形绕 因为cos(餐+p丹）=cos若cosB 某定直线翻折时，该平面图形上的某点是绕着 该旋转轴上的某定点在旋转，其轨迹是相应圆 sin 52 5 10 或圆的一部分。特别地，在求取值范围时，应先 表示再求值，确定以谁为变量并列出表达式，再 借助函数思想转化为求值域问题。 3 例3如图7，在平面四 5 x+号×号-且ee[a-音 2 10 边形ABCD中，AC=5,AB= +]0<-吾<<+<，所以 3,BC=4,AD=DC=5,现将 △ABC绕直线AC旋转至 34E≤c0sa≤3+45，即-345≤ 10 10 10 △AB,C,求直线AB,和直线 图7 CD所成角的余弦值的取值范 cos a- ≤-3+45 5 10 围。 解法1：（定义法）核心思路：点B,在以 所以0≤c0s0≤3+43 ,即直线AB1和 10 直线AC为轴，AB为母线的圆锥表面上运 直线CD所成角的余弦值的取值范围为 动，过A在平面ABCD中作直线CD的平行 3+4√3 线AE,则在翻折过程中，直线AB,和直线 0, 10 CD所成角转化为直线AB,和直线AE所成 例4 如图8，在矩形 角，即∠B1AE或其补角，可通过读图得到所 ABCD中，AB=4,AD=2,点 成角的范围，但同学们需要注意，直线与直线 E,F分别在AB,CD上，且AE 图8 所成角的范围是0，引· =2,CF=1。如图9，沿EF将 四边形AEFD翻折至四边 解法2：（基向量法）因为AC=5,AB= 形A'EFD,点A'庄平面 3,BC=4,所以AC2=AB十BC2,所以 BCFE。 ∠ABC= 2。 (1)求证：A'D'与BC是 异面直线： 所以cos∠B!AC=cos∠BAC= AB 图9 AC (2)在翻折的过程中，设 36 高三数学费华方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 二面角A'-BC-E的平面角为日，求tan日的 2二 12 8 AM 最大值。 5 一5cosa,所以tan0= MN 解析：(1)假设A'D'与BC不是异面直 √5sina 线，即A',D',B,C四点共面，则A'D'∥BC, 3-2c0s& 或A'D',BC相交于一点，设为Q。 同理当a∈（受，）时，AM=看 sin a, 若A'D'∥BC,因为A'D'庄平面BCFE, 5cos&,则AM= 4 4 所以A'D'∥平面BCFE。因为A'D'C平面 OM=- 二cosa,故 √5 + A'DFE,平面A'D'FE∩平面BCFE=EF, 4 4 2 12 所以AD'∥EF,即AD∥EF,与AD,EF不 MN=4- 后+后cosa）× 平行矛盾。 AM √5sina 若A'D'∩BC=Q,则点Q既在平面 5cosa,所以tanB MN 3-2cos a A'EFD'内，也在平面BCFE内。又因为平 面A'EFD'∩平面BCFE=EF,所以点Q∈ 设y= √5sina 3-2c0s& -,则√5sina+2 y cos a= EF,则A'D',BC,EF交于一点。 3y 3y,所以sin(a+9)= ,其中sinp= 由题意可知A'D'与EF相交于FE的延 W4y2+5 长线上一点，BC与EF相交于EF的延长线 2y √5 上一点，即A'D',BC,EF不会交于同一点， √/5+4y W/5+4y 故矛盾。 3y 由 ≤1，解得一1≤y≤1，即 综上可知，A',D',B,C四点不共面，即 √4y+5 AD'与BC是异面直线。 (tan0)mx=1,此时5sina+2cosa=3,解得 (2)方法1：（定义法）如 cos a-- 图10，在平面ABCD内作 3 AO⊥EF于点O,A'MLAO 综上可得，当c0se=子时，tan9取到最 于点M,MN⊥BC于点N。 大值为1。 由题意知M为A'在 方法2：（建系法）以O为坐标原点，OM, 平面BCFE内的射影，故 图10 OF所在直线分别为x轴，y轴，过O且竖直 A'M⊥平面BCFE,所以A'M⊥BC。又因 向上的方向为之轴，建立空间直角坐标系 为MN⊥BC,MN∩A'M=M,所以 Oxy之。设点A'绕点O旋转的旋转角为 ∠A'NM为二面角A'-BCE的平面角。 ∠A'OM=a,则平面BCE的法向量为(0,0， 由AO⊥EF,A'O⊥EF,可知∠A'OM 1),关键是表示出平面A'BC的法向量，后续 为二面角A'-EF-B的平面角。 计算向量夹角的正切值即可。 设∠A'OM=a,a∈(0，元)，当a=乏时， 总之，攻克折叠问题的关键在于筑牢“两 大基石”：一是对立体几何基础定理的深刻理 点0与M重合，由A0=4 ，ON=号，可得 解；二是对折叠过程中哪些是“不变关系”（如 与折痕垂直的线段长度、某些角度关系)、哪 tan0 39 些是“变化关系”的敏锐洞察。唯有在头脑中 当a∈(0，)时，因为A0= 后所以 清晰地“演举”整个折叠过程，才能将空间问 题平面化，又将平面条件空间化，实现知识的 A'M= sina,OM= 融会贯通。希望通过本文的系统梳理，能够 cosa,所以AM= √5 帮助同学们掌握解开立体几何折叠问题的密 后+后oa,放MN=4-(信+后X 4十4 钥，在思维的天空中自由翱翔。 (责任编辑王福华) 37