创新题型攻坚：动态与跨模块立体几何解题指南-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

中学生教理化贺赞学州幸新猫的 创新题型攻坚： 动态与跨模块 ■江苏省吴县中学 郝村 近几年全国卷立体几何命题突破“规则 几何体十固定运算”的传统命题方式，动态模 型、跨模块综合等创新题型占比显著提升。 此类题型不仅考查空间关系、角与距离等核 心知识，更聚焦考查同学们的模型转化与跨 模块衔接能力，已成为核心素养考查的关键 载体。在复习备考的实践中，同学们应对此 类题型时普遍存在三大瓶颈：①动态模型处 理能力不足：折叠问题易混淆几何关系的“变 与不变”，动点问题难以完成动态情境向静态 量化的转化；②跨模块衔接能力薄弱：无法精 准定位几何与函数、解析几何的核心关联点， 导致解题思路断裂：③运算准确性不足：参数 化后的函数化简、导数求最值等环节易出现 失误，形成“会而不对”的典型问题。本文聚 焦动态与跨模块两类创新题型，构建三大体 系化解题策略：折叠模型的“变与不变”关系 分析、动点模型的“参数化十函数化”转化、跨 模块问题的“模块拆解十核心衔接”融合。该 策略精准契合近几年全国卷考情，下面结合 典型模拟试题进行深度解析，帮助同学们规 避高频易错点，并提供切实可行的备考指南。 策略一、动态模型之折叠问题—一“变与 不变”分析法 折叠问题的核心是“抓住不变量，转化为 数化：设动点坐标为参数，表示所有相关点坐 标：(2)向量运算：将方向向量、法向量表示为 参数的函数；(3)构建函数：将角与距离表示 为参数的函数；(4)求解最值：利用导数或均 值不等式求函数最值。 新高考背景下，向量工具已成为空间角 与距离求解的“主导运算手段”，其核心优势 在于“将几何问题代数化，降低空间想象难 度”。本文构建的“坐标法通解十基底法特 解”二元运算体系，精准对接近几年全国卷考 情，通过真题深度解析、运算技巧提炼、易错 立体几何解题指南 宝（正高级教师） 江佳慧 静态立体几何问题”，解题逻辑为“分析不变 量·利用面面垂直或线面垂直关系建系·向 量运算求解”。 例1如图1，在边长为4的正方形 ABCD中，E,F,G分别是AB,CD,AD的 中点，先沿着虚线段FG将等腰Rt△FDG裁 掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF 折起，分别连接AB、CG,得到了一个空间五 面体（如图2）。 图1 图2 (1)若O是四边形EBCF的对角线的交 点，求证：AO∥平面GCF。 (2)若图2中的∠AEB=三，求直线AB 与平面GCF所成角的正弦值。 (3)在(2)的条件下，试问：在棱AG上是 否存在点P,使得平面EBP与平面GCF所 成的二面角的余弦值为一，若存在，求出 点P的位置；若不存在，请说明理由。 解析：(1)如图3，取CF的中点M,连接 入八八八八八Y 点规避，形成了“建系精准化、运算技巧化、公 式标准化”的高效备考方案。用好向量工具 的前提是“建系合理、运算精准、方法适配”， 结合自身情况做好“建系难、运算慢、易出错” 等痛点问题的突破，如果掌握好向量的标准 化运算过程，并能正确运用一定优化技巧的 话，那么在解决一些关于空间角和距离的问 题时就会达到“运算高效、结果精准、得分稳 定”的目的，这是完整解答立体几何大题的关 键所在。 (责任编辑王福华) OM,GM。 由题意可知AG∥EF 且AG-专EF,又因为 O,M分别为CE,CF的 B 中点，所以OM∥EF且 图3 OM=2EF,所以OM/ AG且AG=OM,则四边形AOMG为平行四 边形，所以AO∥GM。又因为AO￠平面 GCF,GMC平面GCF,所以AO∥平面 GCF。 (2)在图1中，EF⊥AE,EF⊥BE,且 EF=4,AE=BE=2,在图2中这些关系依 然成立，以E为坐标原点，EB,E下分别为x 轴，y轴的正方向，垂直平面EBCF向上方向 为之轴的正方向，建立 如图4所示的空间直 角坐标系E-xy之，则 B(2,0,0),F(0,4,0), C(2,4,0),xA=AE· 图4 2r=3, s-1.0,-AE.sin 3 所以A(一1,0，W3)。又因为AG=2,AG∥平 面EBCF,所以G(-1,2,√3)。故AB=(3, 0,-3),F=(2,0,0),GC=(3,2,-3)。 设平面GCF的一个法向量为n=(x,y, /FC·n=2x=0, 之)，则 G元.n=3x+2y-√3x=0, 令y= √3，得x=0,x=2,故n=(0,√3,2)。 所以os<A店，n)=A序·n-反 1A店11n=7,故 直线AB与平面GCF所成角的正弦值为只。 (3)假设存在满足条件的点P。 设AP=λAG=(0,2入，0)(0≤A≤1)，则 P(-1,2λ，√3)，所以EP=(-1,2x,√3)， BP=(-3,2入，√3)。 设平面EBP的一个法向量为m=(xo,yo, 之)，则 m.E币=-x,+2入y。+5=0,令 m·BP=-3x。十2λyo十V30=0, 知识篇科学备考新指向 高三数学2026年4月 中学生数理化 yo=3,得x。=0,之。=一2入，故m=（0, √3，-21)。 由(2)知平面GCF的一个法向量为n= m·n (0,3,2),则cos(m,n〉=mn= 3-4入 √/7(4入+3) 又平面EBP与平面GCF所成的二面角 的余弦值为牙，则e0g(m,m〉=多，所以 (3-4λ)23 7(4以+3)=7，整理得4入2-24以=0解得 入=0或入=6（舍去）。 所以当点P与点A重合时，满足题意， 即在棱AG上存在点P,使得平面EBP与平 面GCF所成的二面角的余弦值为②T 7。 评注：(1)取CF的中点M,构造平行四 边形，结合线线平行证线面平行即可；(2)建 立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面 夹角即可；(3)利用空间向量研究面面夹角， 建立方程计算参数即可。 策略二、动态模型之动点问题——“参数 化十函数化”转化法 解决动点问题的核心是“将动点坐标参数 化，把动态角和距离转化为单变量函数，通过 导数或不等式求最值”，解题逻辑为“参数化动 点坐标→表示角或距离函数·求函数最值”。 例22025年10月31日，神舟二十 一号载人飞船顺利升空并于3.5小时后与天 和核心舱成功对接，这是我国航空航天史上 的又一重要里程碑。如图 5,是神舟二十一号飞船推 进舱及其推进器的简化示 意图，半径相等的圆11，I, 1,1:与圆柱OO1的底面 相切于A,B,C,D四点，且 圆11与12,12与I,1g与 1:,I:与1，分别外切，线段 图5 A1A为圆柱OO1的母线。M为线段A1O 的中点，点N在线段CO1上，且CN= 2O1。已知圆柱OO1的底面半径为2， 中学生教理化架股蓝学幸新向 AA1=4。 (1)求证：AM∥平面BDN。 (2)在线段AA1上是否存在一点E,使 得OE⊥平面BDN?若存在，请求出AE的 长；若不存在，请说明理由。 (3)求二面角I,A1I,-I,的余弦值 (4)如图6，是飞 船推进舱与即将对接 的天和核心舱的相对 位置的简化示意图。 天和核心舱是底面半 0) 径为2的圆柱O2O, 它与飞船推进舱共 图6 轴，即O,O,,O,,O,共线。核心舱体两侧伸 展出太阳翼，其中△RST为以RS为斜边的 等腰直角三角形，四边形PQRS为矩形。已 知推进舱与核心舱的距离为4，即O1O:=4, 且O2O3=RS=2,PS=7。在对接过程中，核 心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋 转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变 的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线A1P 与平面PQRS所成角的正弦值的最大值。 解析：(1)如图7，M,N'A 分别是点M、N在线段AC 上的投影，则M'为AO的中 点，N为OC的三等分点。 因为tan∠MAM'= MM'4 =4,tan∠NON 图7 NN 300 ON 1 =4,所以∠MAM'= ∠NON',所以AM∥ ON。在图5中，因为 AM士平面BDN,ON二 平面BDN,所以AM∥平 面BDN。 (2)以。为坐标原 点，OA,OB,OO1所在直 线分别为x轴，y轴，之 轴，建立如图8所示的空 图8 间直角坐标系Oxyx,则O(0,0,0),B(0,2, 8 0》.D(0,-20N(-号0，)所以Di 04,0)DN-(-号2.）. 设E(2,0,t)(0≤t≤4)，则OE=(2,0, t)。若OE⊥平面BDN,则 OE·DB=0, OE DN=0 +-0=即 当AE=号时，OE⊥平面BDN。 (3)设内切圆半径为r,由题意知 △I1O1,是等腰直角三角形，所以2r=√2(2 一r)→r=2(√2-1)。因为I1(2-r,0,0), I2(0,2-r,0),1,(0,r-2,0),A1(2,0,4),所 以I1A=(x,0,4),I11=(r-2,2-r,0), L1=(x-2,x-2,0)。 设平面II1A1的一个法向量为n=(x, 1n·11A1=rx+4之=0， y,之)，则 n·1112=(r-2)x+(2-r)y=0, 令x=1,得y=1=-不，故n=(11,-）。 同理可得平面1：I1A1的一个法向量为 m=(1,-1,-) r2 所以cos（n,m〉nm=32十g 25-16√2 1139 由图5知二面角I:-A111-1:为锐角，则 其余弦值为25162 1139 (4)将矩形PQRS作为参照物，不妨设 A1顺时针旋转a(a>0),则A,(2cos(一a), 2sin(-a),4),即A1(2cosa,-2sina,4)。 因为P(10,0,8),所以A1P=(10 2cosa,2sina,4)。 易知y轴⊥平面PQRS,则平面PQRS 的一个法向量为u=(0,1,0)。 设A,P与平面PQRS所成角为日，所以 sin0=1c0s(A,方，n)1=A方.4 APu 2sin a 1 (10-2cos a)?+4sin'a+16 √10 1-cos'a 3-cos a 若cosa=士1，则sin0=0: 若-1<cosa<1,令t=3-cosa∈(2,4)， 1 则sin0= ·√+)+6≤而 /10 √-42+6=0- 2,当且仅当t=2√2， 5 即0sa=3-22时，(sin0)=0-5 5 评注：证明线面平行应先证明线线平行 或者面面平行；存在性问题一般是先假设存 在，若求出结果不产生矛盾则命题成立，否则 不成立；二面角和线面角问题用公式直接解 出即可；最值问题一般会结合基本不等式或 者导数进行求解，如果式子复杂应该先换元。 策略三、跨模块综合之“几何十函数”问 题—“模块拆解十导数求最值”法 “几何十函数”跨模块题型的核心是“将 立体几何中的目标量（角、距离）转化为函数， 利用导数求最值”，解题逻辑为“立体几何部 分（求目标量表达式）·函数部分（求最值）”。 例3如图9，已知Rt△ABC的直角 边AB=3,BC=4,F1,F2是 BC上从左到右的四等分点 (非中点)。已知平面ABC⊥ 椭圆工所在的平面，且椭圆 Γ的左、右顶点为B、C,左、 图9 右焦点为F1、F2,点P在椭 圆r上。 (1)求三棱锥A-F,F2P体积的最大值； (2)证明：二面角F,-AP-F。不大于60°。 解析：(1)已知平面ABC⊥椭圆Γ所在 的平面，且交线为BC,又AB二平面ABC, AB⊥BC,所以AB⊥平面 PBC。 取BC的中点为O,以 O为坐标原点，建立如图10 所示的空间直角坐标系 Oxy≈o 图10 设P(x。y),椭圆下的方程为之 b 知识篇科学备考新指向 高三数学2026年4月 中学生数理化 =1(a>b>0),由题意知，OB=OC=2BC =2,0p,=OF=BC=1,则a=0C=2, c=OF1=√a-b=1,解得b=√3，所以T: 由VAg,r,P5h·S△F,P,P=SAF,r,P月 2FP,·y=≤b=B,可得三棱 锥A-F1F:P体积的最大值是3。 (2)易知A(0,-2,3),F1(0,-1,0), F(0,1,0),则AF1=(0,1,一3)，AF=(0, 3,-3)。 设P(√3cos0,2sin日，0)(cos0≠0)，则 F1p=(√3cos0,2sin0+1,0),F2p=(√3cos0, 2sin0-1,0)。 设平面APF,的一个法向量为n1=(x, y,z),则n1·AF1=y-3之=0，n1·F1P √3xcos0+(2sin0+1)y=0,令y=3cos0, 得x=-√3(2sin0+1),x=cos0,则n1= (-√3(2sin0+1),3cos6,cosθ)。 设平面APF2的一个法向量为n:= (x1,y1,之1)，则n:·AF2=3y1-3之1=0， n2·F2P=W3x1cos0+(2sin0-1)y1=0, 令y1=√3cos0,得x1=-(2sin0-1),之1= √3cos0,则n2=(-(2sin0-1),√3cos0, √3cosθ)。 令t=sin0+1∈(0,2)，则cos(n1,n2)= n1·ng 3√3 n11n,√/-4t-16t+12t+72t+27 当r∈(o,]时，832 3 >0,则一4t 16t+12+72t+27<-4t-3t3+12 +72t+3 164 令)=-4-89+12：+72+ 84,则f'()=-8(41)(2r+6t+9)。 9 中学生表理化贺篮学州器新响 夯实空间几何基础： 空间天系判定与几何体度量解题策略 ■江苏省吴县中学 缪婷章 在当前新高考的命题趋势下，空间关系 策略一、空间关系判定：“定理标准化十 判定与几何体度量作为立体几何模块的基础 逻辑链可视化” 与核心内容，是同学们稳定得分的重要保障。 1,线面平行判定：“找平行、证平行、定结论” 此类试题通常具备定理考查全面、度量方法 例1如图1所示，在 灵活、题目载体具有一定创新性等特征，但所 四棱锥S-ABCD中，四边形 涉知识内核保持稳定。因此，同学们在复习 ABCD为等腰梯形，SA⊥平 备考过程中应重视定理的规范使用、公式的 面ABCD,AD∥BC,AB= 准确记忆及空间模型的有效转化，强调基础 CD=2,SA=BC=2AD=4, 知识的扎实掌握。本文以核心知识点与考查 P,Q分别为SB、SC的中点。 要求为依据，构建以“定理标准化应用、度量 图1 (1)求证：PQ∥平面 技巧化突破”为主线的解题体系，通过“策略 SAD: 引导一针对性训练一易错点规避”三位一体 (2)求四棱锥S-ABCD的体积。 的复习备考模式，帮助同学们突破学习瓶颈。 解析：(1)因为P、Q分别为SB、SC的中 因为：∈(0，]，所以2：+6+9>0 程，表示出三棱锥A-F1F2P的体积，利用，点 P横坐标的范围即可求解：(2)建立空间直角 令f'(t)=0,得t=1,当t∈(0,1)时，f'(t)> 坐标系，设，点P(√3cos0,2sin日，0)(cos0≠ 0,f)单调递增：当∈（1，)时，f'()<0, 0),利用空间向量求得两个平面法向量夹角 f(t)单调递减。所以f(t)<f(1)=108。 的余弦值，利于导数考查范围即可求解。 新高考背景下，此类创新题型的核心要 当∈(，2时，令g()=-4-16 义在于“立体几何核心知识与动态转化、跨模 +12t2+73t+27,则g'(t)=-16t3-48t+ 块衔接技巧的融合”，解题关键在于把握“抓 24t+72。 不变量、参数化动态、拆解跨模块关联”三大 设h(t)=g'(t),则h'(t)=24(一2t 核心要点。在高三备考过程中，同学们需密 4t十1)<0，所以g'(t)单调递减，所以g'(t) 切追踪新高考命题创新趋势，加强空间轨迹、 <g() 跨模块融合等热点题型的专项训练，重点培 <0,即g(t)单调递减，所以g(t)< 养自身的模型转化能力与创新应用能力，为 () 6063∠108。 高考创新题型的高效备考提供科学支撑。 64 注：本文系2023年度河南省教育科学规 综上可得，-4t一16t3+12t+73t+27 划课题“培养高中生数学抽象素养的教学策 <108对t∈(0,2)成立，即cos(n1,n2)> 略研究”（课题编号：2023YB0666)和2021年 33 1 度河南省基础教育教学研究项目“基于高中 √108 ,即《nn:)<行，放二面角F 3 生数据分析素养的教学策略研究”（课题编 AP-F,不大于60°，结论得证。 号：JCJYC2103zy099)的研究成果。 评注：(1)根据题中条件求得椭圆的方 (责任编辑王福华) 10