依托立几场景，探究存在应用-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

解题篇创新题追根溯源 中学生数理化高数学2026年月 依托立几场景，探究存在应用 ■江苏省口岸中学 栾竞 立体几何场景下的存在性及其综合探究 A1C1。又∠BAC=90°，所以∠B1AC1= 问题，是依托立体几何问题背景，借助相关的 90°，即A1B1⊥A1C1,所以AA1,A1B1,A1C 数学思维，以点或参数的存在性来创新设置， 两两垂直。 立意新颖，形式多变，内涵丰富，成为高考数 以A,为坐标原点，A1B1,AC1,A1A所 学试卷命题中的一类创新点与热点。此类问 在直线分别为x轴，y轴，之轴， 题以存在性的探究来设置，合理引导同学们 建立如图2所示的空间直角坐 的探究性与创新性。具体解题时，没有统一 标系A1xyz,则A,(0,0,0), 的解题模式可以套用，而空间向量法是最适 B1(1,0,0),C1(0,1,0),A(0, 合于解决立体几何中的存在性探究问题，它 0,1),B(1,0,1),C(0,1,1),所 无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过 以AC=(0,1,-1),A,B 图2 坐标运算进行判斯。此类问题很好地体现了 (1,0,1)。 “开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意 识空间”的高考命题精神，能够促进知识的综 故os(AC,A,i1=1AC·A, ACIABI 合与交汇，以及技能与能力的创新。 -11 √2X√2 =2,即异面直线AC,与A,B所成 一、点的存在性探究问题 以确定线段或平面上，是否存在某个点 的角为60°。 来创新设置，使之满足相应的条件，用于确定 (2)存在满足题意的点N 该点的存在及相应的位置等问题。 假设在平面ABC的边上或内部存在一 例1如图1，在三棱柱 点N(x,y,1)。 因为M为A1B的中点，A1B=(1,0,1), ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面 ABC,∠BAC=90°，AA1=AB 所以M(号0,2)=(-名y名） =AC=1。 又AC=(0,1,-1),BC=(-1,1, (1)求异面直线AC1与A1B 图1 所成的角。 aC-y-}-0, 1),则 解 (2)设M为A1B的中点，在△ABC的内 BC:Mm-号-x+y- 2-0. 部或边上是否存在一点N,使得MN⊥平面 ABC1成立？若存在，试确定点N的位置；若 得x=y= 所以N(日名且BN 1 不存在，请说明理由。 解析：(1)因为AA1⊥平面ABC,所以 号BC,所以N是BC的中点. AA1⊥平面A1B1C1,即AA1⊥A1B1,AA1⊥ 故存在点N,使得MN⊥平面ABC1,此 网金m命原m不深mw网心m原P.wr r rr/r 本文聚焦于锥体外接球问题的突破，通 角均为直角的三棱锥及对应棱相等的三棱锥 过系统梳理题型，创新性地将球体几何性质 四类经典题型，其余题型均在此四类基础上 与锥体结构特征深度融合，着重解决球心定 延伸与变式，并针对各类结构特征，提炼出确 位这一核心难题，即基于锥体结构特征精准 定外接球球心的具体技巧与策略，为解题提 确定球心位置。依据锥体结构特征，将其划 供了清晰路径。 分为正棱锥、侧棱与底面垂直的棱锥、棱所对 (责任编辑王福华) 26 解数新照探海酒中学生表理化 时N为BC的中点。 以O为坐标原点，建立 点评：对于此类涉及空间几何体场景下 如图4所示的空间直角坐标 相关点的存在性或探索性问题，解题时往往 系Oxyx,则A(一√3,0,0)， 把结论当作条件，据此列方程或方程组，把 B(3,0,0),P(0,1,2), “是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解” C(0,3,0),所以AB 图4 “是否有规定范围内的解”等问题，所以为使 (23,0,0),A户=（√3,1， 问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方 2),BC=(-3,3,0),CP=(0,-2,2)。 法解题。 由CM=ACP,可得BM=BC+CM= 二、参数的存在性问题 基于立体几何中对应数值元素之间的关 BC+λCp=(-√3,3-2x,2x)。 系，是否存在参数入来创新设置，使之满足相 设平面PAB的一个法向量为n=(x, 应的关系式，用于判断参数入的存在及相应 n·AB=23x=0, y,之)，则 令之 的数值等问题。 n·AP=3x十y+2x=0, 例2如图3，在三棱锥 1,得x=0,y=-2,所以n=(0,-2,1)。 P-ABC中，PA⊥BC,PB⊥ 所以cos〈BM,n〉= BM.n AC,点P在底面ABC上的 BMIn -6+6入 射影为点H。 W/12-12入+8入×√5 (1)证明：PC⊥AB 图3 (2)设PH=HA=HB 设直线BM与平面PAB所成角为O,则 =HC=2,对于动点M,试确定是否存在实 cos0-：又9e0,]所以n0-,放 数入，使得CM=ACP,且满足BM与平面 |-6+6x| 3 或 PAB所成角的余弦值为号？若存在，求出实 W12-12入+8入2×√5 ,解得入=1 3 入=2。 数入的值；若不存在，请说明理由。 解析：(1)因为点P在底面ABC上的射 所以存在入=名或入=2，均可使得BM 影为点H,所以PH⊥平面ABC。又AB, BC,CAC平面ABC,所以PH⊥AB,PH 与平面PAB所成角的余弦值为 5 BC,PH⊥CA。因为PA⊥BC,PH⊥BC, 点评：对于此类涉及空间几何体场景下 PA∩PH=P,PA,PHC平面PAH,所以 相关参数的存在性或探索性问题，需借助向 BC⊥平面PAH。又AHC平面PAH,所以 量法加以合理推理与运算，利用线段距离、夹 BC⊥AH。 角等相关的公式加以转化，进而求解对应的 同理，AC⊥BH,所以点H为△ABC的 参数值或判断相关参数值的存在性等创新性 垂心，所以CH⊥AB。又PH⊥AB,CH∩ 问题。 PH=H,CH,PHC平面PCH,所以AB⊥ 空间几何体场景下的对应点、参数值等 平面PCH。又PCC平面PCH,所以PC⊥ 方面的存在性及其综合探究问题，立足立体 AB。 几何中具体的场景设置，基于动点的变化、参 (2)延长CH交AB于点O,则有CO⊥ 数的关系等来引入，进而借助立体几何元素 AB。又HA=HB,所以O为线段AB的中 的存在性及其相关的综合性来应用。具体解 点，所以CA=CB。 题时，往往先假设对象的存在性成立，利用合 同理，BA=BC,所以△ABC为等边三 理的数学运算或逻辑推理，进而结合所求结 角形。又HA=HB=HC=2,所以AB= 果加以分析，实现探索性问题的探究与求解。 2W3。 (责任编辑王福华) 27