浅析空间距离及其应用问题-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

解题信创新题滤提测酒中学生教理化 高三数学2026年4月 浅析空间距离及其应用问题 ■山东省滨州市第一中学 谢莉 立体几何中的空间距离及其应用问题， B(2,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0),所以PB= 不仅是平面几何中相关距离及其应用的类比 (2,0,-2),PD=(0,2,-2),PE=(2,1, 与提升，更是“二维”平面几何向“三维”立体 -2)。 几何的一种升华。近几年高考主要以基本的 设平面PDE的一个法向量为n=(x, 点线距、点面距，以及与之相关的探究性问题 /PD·n=2y-2x=0, 来设置，是立体几何中的重点与难点之一。 y,之)，则 令y=2, PE·n=2x十y-2z=0, 一、点线距问题 得x=1,x=2,所以n=(1,2,2)。 例1如图1，在四棱 设直线PB与平面PDE所成角为日，则 锥P-ABCD中，PA⊥底面 sin9=cos(Pi,n1=P店·nl=12-4l ABCD,PA=2,四边形 PB||n|2√2×3 ABCD是直角梯形，AB⊥ AD,BC∥AD,AD=AB= 图1 巨，即直线PB与平面PDE所成角的正 2,BC=4,M为PC的中点，点E在线段BC 上，且BE=1。 骏位为导。 (3)由(2)可知，PD=(0,2,-2),PE= (1)求证：DM∥平面PAB; (2,1,一2)，所以点E到直线PD的距离为 (2)求直线PB与平面PDE所成角的正 弦值； PE·PD 6 PE (3)求点E到直线PD的距离。 PD 2√2 解析：(1)如图2，取BC 3√2 的中点为F,则BF=AD= 2 2,连接MF,DF。又BF∥ 点评：利用向量法求解立何几何中的点 AD,所以四边形ABFD为 线距及其应用问题的基本步骤为：(1)建系： 平行四边形，所以AB∥ 图2 (2)求向量；(3)求法向量；(4)得距离。特别 DF。又DF史平面PAB, 地，若能求出，点在直线上的射影坐标，可以直 ABC平面PAB,所以DF∥平面PAB。因 接利用两点间的距离公式求距离。 为F为BC的中点，M为PC的中点，所以 二、点面距问题 MF∥PB。又MF在平面PAB,PBC平面 例2如图4，在四棱锥 PAB,所以MF∥平面PAB。又因为MF∩ P-ABCD中，底面ABCD为 DF=F,且MF,DFC平面MDF,所以平面 正方形，PA⊥底面ABCD, MDF∥平面PAB。又DMC平面MDF,所 PA=AB=2,E为PB的中 以DM∥平面PAB。 图4 点，F为线段BC上的动点。 (2)根据题意，以A为 (1)求证：平面AEF⊥平面PBC; 坐标原点，AB,AD,AP所 (2)已知直线AF与平面PAB所成角的 在直线分别为x轴，y轴， 之轴，建立如图3所示的空 余弦值为25，试确定点P到平面AEF的 5 间直角坐标系Axy之，则 图3 距离。 A(0,0,0),P(0,0,2), 解析：(1)因为PA⊥底面ABCD,BCC 19 中学生表理化然皱学创新摩枫猜题 平面ABCD,所以PA⊥BC。因为四边形 =2,∠BCC1= 牙，点E在棱 ABCD为正方形，所以AB⊥BC。又因为 PA∩AB=A,且PA,ABC平面PAB,所以 BB1上。 BC⊥平面PAB。因为AE二平面PAB,所 (1)证明：C1B⊥平面 以AE⊥BC。因为PA=AB,E为PB的中 ABC; 点，所以AE⊥PB。又因为PB∩BC=B,且 (2)若BE=入BB1,试确 图6 PB,BCC平面PBC,所以AE⊥平面PBC。 定入的值，使得点C到平面AC1E的距离为 又AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面 45 5 PBC。 (2)因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, 解析：(1)在△BCC1中，由余弦定理得 所以以A为坐标原点，建立津 C1B=√CC+BC2-2CC1·BCcos∠BCC 如图5所示的空间直角坐标 =√4+2-2×2×√2×cos45°=√2，即有 系Axyx。则A(0,0,0), C1B2+BC=CC,所以C1B⊥BC。因为 B(2,0,0),P(0,0,2),E(1, AB⊥侧面BB,C1C,C,BC侧面BB,CC, 0,1)。 图5 所以AB⊥C1B。又BC∩AB=B,且BC, 设BF=t(t∈[0,2])， ABC平面ABC,所以C1B⊥平面ABC。 则F(2,t,0),所以A下=(2，t,0),A正=(1， (2)由(1)知，BC,BA,BC1两两垂直，故 0,1)。 以B为坐标原点，建立如图7所示的空间直 易知u=(0,1,0)是平面PAB的一个法 角坐标系Bxy之，则B(0,0, B 向量，所以1cos〈A示，u》|= 1A下.u 0),C(2,0,0),A(0,2,0), AFll C1(0,0,√2)，B1(-√2,0， t √+4 ，解得1=1，故 5 2),所以CC=(-2,0, √2)，C1B=(0,0,-√2)， AF=(2,1,0)。 图7 设平面AEF的一个法向量为n=(x, C1A=(0,2,-√2)，C1它= n·AE=x十≈=0， C1B+ABB=CB+ACC=(-√2A,0,√2x y,之)，则 令之=1，得 n·AF=2x+y=0, 一√2)(0≤λ≤1)。 x=-1,y=2,所以n=(-1,2,1)。 设平面AC1E的一个法向量为n=(x,y, 又因为AP=(0,0,2),所以点P到平面 |n·C1A=2y-√2≈=0， 之)，则 AEF的距离为1=A方·n-二-6 n.C,=-2λx+(W2入-√2)x=0, n√63 y=入，得x=2(入-1)，x=√2入，所以n= 点评：在解决空间几何体中的点面距及 (2(λ-1)，A,√2λ)。 其应用问题时，往往可以从以下两个层面来 由点C到平面AC,E的距离为d= 切入：(1)综合法求距离，往往是由已知求证 CCn 1-2(x-1)+2λ|4√5 垂直关系，则垂线段的长就是，点到平面的距 n √2（入-1）2+λ+2A ,解 离；或过，点作平面的垂线，明确垂足，从而得 1 3 到点到平面的距离；等积法也是比较常用的 得入=2或入= 109 一种；(2)向量法求距离。 所以当入= 1 时，点C到平面 三、探究性问题 或A- 10 例3如图6，在三棱柱ABC-ABC ACE的距离为45、 中，AB⊥侧面BB1C1C,BC=√2，AB=CC 点评：在解决此类探究性问题时，往往是 20 所肠数华愿星烟酒中学生教理化 借助向量法，破解空间角 ■山东省菏泽市第三中学 李秀真 立体几何模块中涉及空间角的大小及其 CO√6 应用问题，是高考命题的一个基本点，其中包 、之3——，角军手 括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 =2√2，DO=2,故BD=2DO=4,AB=CO 平面与平面的夹角。特别地，借助向量法能 =2√2，则AD=√AB+BD=2√6，AO 够正确突破空间角的求解，真正体现向量法 √AB+BO'=2√5. 在研究空间角问题时的作用，成为代数思维 因为AB⊥BD,BE⊥AO,所以∠ABE 与应用的一个基本方向。 π 一、异面直线所成的角 +∠EBO= ,∠AOB+∠EBO=受，所以 已知异面直线1与1，所成的角为，其 ∠ABE=∠AOB,所以sin∠ABE 方向向量分别是u,v,则cos0=|cos〈u,v)| “骨，需受注意的是：两异面直线所成 Sn∠AOB-A品-cos∠ABE AB 6 √ 3,且 的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角 sin∠BAD= AD 3 ,=sin∠ABE,故 的范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值。 ∠ABE=∠BAD. 例1如图1，在平面四边 在等腰三角形ABE中，由正弦定理得 形ABCD中，CB=CD=2√， AB AE 2√2 tan∠CDB=√2，O为对角线BD sin∠AEB sin∠ABE,即s in2∠ABE 的中点，F为BC的中点，E为线 AE 2√2 sin∠ABE,则AE=2coS∠ABE 6。 段AD上一点，且BE⊥AO,CO 图1 (2)当平面CBD⊥平面ABD时，因为 =AB,AB⊥BD。 CO⊥BD,平面CBD∩平面ABD=BD, (1)求AE的长： CO二平面CBD,所以CO⊥平面ABD。 (2)在平面四边形ABCD中，以BD为 又AB⊥BD,故以B为坐标原点，BA, 轴将△BCD向上折起，如图2， BD所在直线分别为x轴，y轴，过点B垂直 当平面CBD1平面ABD时，求 于平面ABD的直线为之轴， 异面直线OF与BE所成角的 建立如图3所示的空间直角坐 余弦值。 标系Bxyz。 解析：(1)因为CB=CD= 图2 由(1)知，AE=√6 2√3，O为BD的中点，所以 2AD,故E为AD的中点，易 1 CO⊥BD。 图3 因为tan∠CDB=√2，所以sin∠CDB 得O(0,2,0),F(0,1,2),B(0,0,0),E(2, 入入入入入 采用待定系数法，将对应的参数代入分析求 问题，可以依据不同的距离性质转化为点点 解，若能求出满足条件的参数值，即为所求； 之间的距离问题，或从代数思维切入，以向量 若不能求出满足条件的参数值，则参数不存 法来运算；或从几何思维切入，以几何法来推 在。当涉及存在型的探究性问题时，往往是 理。无论从哪种方法切入，都能很好地解决 采用先猜后证法。 空间距离及其应用问题。 其实，立体几何中的空间距离及其应用 (责任编辑王福华) 21