浅析分层随机抽样中均值与方差的处理方法-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

中学生数理化贺韁学新章衡源 浅析分层随机抽样中均值与方差的处理方法 ■■■■■ ■江苏省苏州市第三中学校 陆晓鸣 基于分层随机抽样下的样本平均数（均 体样本的平均值为mx十型 值)与方差问题，是“新教材”(2019年版人教 m+n。 版数学教材)中新增的一个基本知识点，其以 二、分层随机抽样中的方差 相关的例题形式出现，给深入研究分层随机 涉及分层随机抽样中的方差及其应用问 抽样及对应的数据处理、数据分析与数学决 题，需挖掘方差的概念本质及基本公式。解 策等提供更为详细的数据处理方法与应用。 题的关键是分清分层随机抽样的层数，理解 一、分层随机抽样中的均值 并掌握分层随机抽样的样本方差公式及其相 涉及分层随机抽样中的均值及其应用问 关的应用。 题，回归均值的概念本质。正确识别分层随 例2利用样本量比例分配的分层随 机抽样下对应各层的样本容量与平均数，进 机抽样来调查某中学高一年级学生的身高， 而结合对应的概念、性质、公式等加以分析、 己知抽取24名男生，其对应的平均数和方差 判断与应用。 分别为170.5和12.96；抽取26名女生，其对 例1记样本x1,x2,…,xm的平均数 应的平均数和方差分别为160.5和36.96。 为x,样本y1,y2,…,yn的平均数为y(x≠ 据此可估计该中学高一年级全体学生的身高 的平均数为一，方差为」 y)。若样本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,ym的 解法一：（直接法）设24名男生的身高分 平均数为=子+子>，则贤的信为( )。 别为x1,x2,x3,…,x21,平均数为x,26名女 B.4 c 1 生的身高分别为y1y2y…,y,平均数为 A.3 0.3 y,样本中50名学生的身高的平均数为：。 解析：由题意知x1十x2十…十xm=mx, 由x= 1 42=170.5·可得 y1+y2+…+yn=ny。 所以=1[(1十十十x.)十 24x=24×170.5=4092; m+n 由y= 1 262y=160.5,可得y: y1十y+…十y)门=mx +ny1- i=1 m+n m十n=4十 26y=26×160.5=4173。 3 4y。 所以_m=1, 3 m十n4'm十n=星，可得3m= 04092+4173)=165.3 n,所以严、1 n =3 故选D。 总结提炼：分层随机抽样中对应的抽样 12.96,可得2x=24s:+7): 样本容量各层样本容量 总体容量一各层个体总童：而在分层随 由s号= 26 机抽样中，如果第一层与第二层的样本量分 36.56,可得2y=26(s号十). 别为m,n,其对应的平均值分别为x,y,则总 20 解数型新题舉费滑中学生表理化 所以s:= B.s:s:s3=1:4:9 50 C.总体样本平均数x=x1十2x,十3x [2.-+y--品24[s 2= D.当z=x=x时，总体方差= 6s+ +(x-)]+26[s号+(y-)]》= 12.96 1 1 好+2 +(170.5-165.3)2]+58[36.96+(160.5 26 解析：对于选项A、B,根据样本容量与样 本平均数、样本方差之间并不是成某种比例 165.3)2]=50.4。 关系，故选项A、B错误； 故填165.3：50.4。 对于选项C,由于n1:n2:na=1:2: 解法二：（公式法）设24名男生身高的平 均数为x,方差为s号，26名女生身高的平均数 3,可设n1=k,n2=2k,n3=3k,k∈N*,则总 为y,方差为s,则x=170.5,s=12.96, 体样本平均数工=n1x1十nz十n n1十n2十na y=160.5,s=36.96。 可估计该中学高一年级全体学生的身高的 k元1十2kx,十3kx=1元 6k +写+故 平均数之= 24x+262_24×170.5+26×160.5 选项C错误； 24+26 24+26 对于选项D,当x1=x2=x:时，总体样 =165.3; 本平均数x=x1=x2=x,所以总体方差 方差s2= 器t+G-门+8好+G 1 s2=n1十n十n {n1[s+(x1-x)2]+n2· -2)]= 器[12.96+170.5-165.3y]+ [s+(x2-x)2]+n3[s+(x4-x)2]}= T5836.96+160.5-165.3)=50.4。 ++d-名++安，做选项 6k 故填165.3；50.4。 D正确。 总结提炼：分层随机抽样场景下，若其中 故选D。 两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数 总结提炼：对于采用分层随机抽样来进 分别为x1,x2,方差分别为s员，s号，设样本容 行数据分析，若总体样本划分为3层，各层抽 量为n,平均数为x,则该样本的方差s2= 取的样本量、样本平均数和样本方差分别为 [s+(-)门+%[+a-)门. l,x,s1;m,y,s2;n,之，s号。记总体的样本平 n 三、分层随机抽样的性质应用 均数为@，样本方差为s,则w一1十m十 涉及分层随机抽样中的性质应用问题， ·之；s2= 关键在于厘清分层随机抽样中相关样本容 量、样本平均数、方差等之间的关系，以及相 11[s+(x-a)门+m[s+(y- l+m+n 应的计算公式，为相应的判断识别、性质应用 w)]十n[s+(交-m)]}。 等创造条件。 其实，作为教材新增知识点，在实际学习 例3采用分层随机抽样来进行数据分 过程中，涉及分层随机抽样中的基本元素（层 析，已知总体样本划分为3层，各层抽取的样本 数、对应的平均值、方差等)，需联系与之相关 容量分别为n1,n2,n,样本平均数分别为x1, 的概念、性质、公式等，学会深入探究与知识 x2x,样本方差分别为s,s,s号。若n1:n2: 升华，进一步系统理解并掌握概念、公式，并 n=1:2:3,则下列结论正确的是()。 会加以简单的计算与应用，实现合理的数据 A.x1:x2:x3=1:2:3 分析与综合应用。 (责任编辑王福华) 21