从两道高考试题领悟函数零点取点的方法与策略-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

解题信散经奥题突破方清中学生教理化 高二数学2026年4月 从两道高考试题领悟函数零点取点的方法与策略 ■杭州市余杭高级中学（临平中学）杜慧 函数与导数问题中涉及零点时常常需要 2)f（x)=。大马 -a十1 取点，即根据函数零点存在定理，确定某个点 x 的函数值为正数或者为负数。如果给出的函 ax2-(a+1)x+1(x-1)(ax-1) 数有比较特殊的点，那么问题的解决可能比 x? 较简单。当函数形式比较复杂，特别是在含 ①当a=0时，由(1)可知，函数f(x)无 有参数的情况下，取点难度就会比较大，一些 零点。 同学对这一类问题往往又爱又恨，想彻底解 ②当a<0时，易知函数f(x)在(0,1)上 决又感觉无从下手，想放弃却心有不甘。实 单调递增，在(1，+∞)上单调递减。 际上，这类问题也不是无迹可寻、无法可依， 又f(1)=a一1<0，故此时函数f(x)无 只要思路清晰，彻底求解也不是难事，而且不 零点。 需要什么“高观点”和技巧。下面，我们从两 ③当0<a<1时，1>1，易知函数f(x) 道高考真题的求解来具体说明。 题目1：(2022年高考全国乙卷文科第20 在(01).（日十）上分别单调递增，在 题)已知函数f()=ax-1-(a十1DInx。 无 (1,。)上单调递减。 (1)当a=0时，求f(x)的最大值： (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值 且f1)=a-1<0.f(日）)<f1)<0. 范围。 从组成函数f(.x)=a.x- -(a+1)· 解析：(1)当a=0时，f(x)=一1 1nx的基本函数的性质分析，猜想函数在 nx(x>0),则f'(x)=1-1=1-x (日十∞)上存在零点，依据函数零点存在定 易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在 理，需要明确存在某个点的函数值大于零。 (1,+∞)上单调递减。 换而言之，此时我们只要能找到一个点x。> 因此f(x)在x=1处取得极大值，同时 ,使f(x)>0。由于导函数含参，我们 也是最大值，f(1)=一1。 仅从问题解决的要求来看，第(1)问的求 易取特殊点。 解比较简单，不过要注意，我们可以在这一步 问题1：为什么要取点？ 中收获一个重要的不等式：一士 从定性的角度分析：根据常见函数增减 -lnx≤ 的快慢判断。当一十e时a十6e,一一 -1即-+h≤-1，他就是1nx≤x 0,(a十1)lnx→十∞，因为一次函数比对数 1。它还可以有更多的等价形式，这些不等式 函数递增快得多，所以f(x)>0。此时f(x) 及其变形对后面解题相当重要。 在(0，十∞)上存在唯一零点。 31 中学生表理化智敏学怒圣酸有法 若仅仅是利用函数的变化趋势、函数增 那就“以曲代曲”，有ln√≤√一1，lnx≤ 减快慢大概判定其符号，但没有给出严谨的 2(x一1)。 证明，问题没有解透。我们希望能看到具体 的点，还需要进行定量分析，即本题中要找到 则（≥ax2(a+1D(反-1）2 一个函数值大于零的点。 ax-1-2(a+1)(√x-1)=ax-2(a+1)· 问题2：取点时的难点是什么？ √x+2a十1，这是关于√x的一元二次不等 因为函数含有参数、含有超越式，形式复 式，己经可以求解。考虑到问题的核心是存 杂，求解函数的零点不容易，所以难点就是把 在性，形式尽量简便，可以根据不等式性质进 繁、难函数转化为相对简单的函数，进而把取 一步缩小到更简单的函数形式，如舍去后面 点问题转化成函数对应的方程求解问题。 问题3：是放大还是缩小？ 正数部分，于是f(x)>ax一2(a十1)E= 函数1)在（日+）上单调递增，已 √x[aE-2(a+1)]。取x。= 2(a+1)72 a 显然有f(x)>0,取点的任务到此完成。 证得f(日)<f1)<0,根据函数的图像与性 问题7：可否进一步优化取点过程？ 质，我们要取到函数值大于零的点，即x。> 注意到0<a<1和我们取点的需要（可 1 以更大)，取点的形式可以进一步优化，如取 a ,当x≥x0时，f(x)>f(x)>0,需要合 。。实际上，分子取更大的实数显然也 16 理“缩小”，然后取到函数值大于零的点。 x0= 问题4：对哪些项放缩？依据什么放缩？ 可以。但是，如果每次取点都严密放缩推理， f(x)=ax- 1-(a+1)lnx中包含三 在考试时间紧、压力大的情况下，往往不易做 到。所以我们需要思考，可否依据一定的特 项a,是，(a十1)n易知当z一十时， 征和规律来取点？以后就可以有所参照，直 接取到满足条件的点。这类问题中肯定有极 1 x →0，(a+1)1nx虽然趋近于无穷大，我们 还是希望放缩成合适的代数式，而ax也趋近 值点，注意到这里极值点是x= a ,我们要取 于无穷大，不过其形式简单，可以保留，总之， 的点的横坐标是大于极值点的点，并且0<a 我们希望把对数形式转化成代数式，也就是 <1,只要取"”(m∈乙)，m越大保险系数越 超越式化代数式，同时抓大放小，保持合理的 410100 410 放缩尺度。 高，本题中取x。= 问题5：如何进行放缩？ 根据不等式的方向，需要把lnx放大， 。,…,都可以满足零点存在定理的要求。 100 使得f(x)>g(x),进而得到f(x。)>g(x) 问题8：如何书写更简洁、更严密？为节 >0。注意到问题(1)已经有结论1nxx一 省篇幅，以a≥1的情况展示。 1 1,于是f(x)=ax -(a+1)lnx≥ax x ④当a=1时，f'(x)=x二1) -≥0，函 1-(a+10(x-1)=-x-1 +a十1，不过 数f(x)在(0，十∞)上单调递增。 又f(1)=0,故函数f(x)有唯一零点。 当x→十∞时不可能取到正数，放缩失败！ 失败原因：“放得过大”。 ⑤当a>1时，易知函数f(x)在(0，)， 问题6：如何提高精准度？ 注意到上面放缩利用的是lnx≤x一1， 1,十∞)上分别单调递增，在（日1上单调 就是“以直代曲”，既然“以直代曲”放缩过大， 递减，且∫(1)=a一1>0，如图1所示。 32 解营邀轻典题突方清中学生教理化 高二数学2026年4月 3kx2=1+x 36x=x(1十-3 因为x∈(0，十∞)，所以x2>0。 1 设g(x)=1十x 一3k,x>0,则g'(x)= 1 0 a十<0在(0，+∞)上恒成立。所以 g(x)在(0，十∞)上单调递减。 图1 1 令g(xo)=03x,=3k-1。 根据③中0<a<1的分析，需要在 当x∈(0，x)时，g(x)>0,f'(x)>0; (0,)上取点。由于a>1,极值点是x- 当x∈(xa十o∞)时，g(x)<0,f(x)<0。 所以f(x)在(0，xo)上单调递增，在(xa, 是，需要取很小的正数，如取m 16a2。因为 十∞)上单调递减，即f(x)在(0，+∞)上存 +n≤-1，所以-1n≤2(- 在唯一的极值点。 下面证零点唯一。 这时fx1-+a+1层-2)=- 1 易知f(0)=0,当x∈(0，x。)时，f'(x) x >0,则f(x)在(0，x)上单调递增，f(x)> +2(a+1) -2a-1<-1+2(a+1) f(0)=0,f(x)在(0，xn)上无零点。 √/x x 当x∈(x。,十∞)时，令函数h(x)= 而f(m)<-1+2(a+1)1 (2a+ 1 x Vm √m 1n1+x)-x,则h'(x)=1十x-1=一1千元 2-4a)= (2-2a)<0:放在(o,）上存 <0在(0，十∞)上恒成立。 m 所以h(x)=1n(1十x)一x在(0，十oo) 在唯一零点，即函数f(x)在(0，十∞)上存在 上单调递减，h(x)=ln(1十x)-x<h(0)=0 唯一零点。 在(0，+c∞)上恒成立，即不等式1n(1十x)一 综上，实数a的取值范围为(0，+∞)。 x<0在(0，十∞)上恒成立。 问题9：取点的一般方法与策略有哪些？ 当x∈(xo,+o)时，f(x)=ln(1+x) 在取点时，要数形结合理解放缩方向，抓 大放小把超越式化为代数式，放缩过程中，注 意问题中的暗示，并充分发挥台阶作用或者 利用常见不等式。一般地，我们参照极值点 的形式，可以通过合理的放大（缩小），猜想所 26>3-1=x,则f(6）<0. 取点的形式，然后加以验证。 所以∫(x)在(x。,十∞)上存在唯一零点 下面我们以另一道高考真题的求解过程 1 体验一下取点的方法与策略。 x2,且>36-1 题目2：(2025年高考全国Ⅱ卷第18题 我们通过题目1探究函数与导数问题中 部分)已知函数f(x)=1n(1+x)一x+ 涉及取点的问题，从为何取点、取点过程中的 子-，其中0<k<行.证明：f)在 放缩策略及优化、书写策略等方面进行详细 分析，归纳了取点问题的一般方法与策略，并 区间(0，十∞)内存在唯一的极值点和唯一的 通过题目2进行示范性演练，相信同学们通 零点。 过实践感悟，可以掌握这类问题的通性通法。 解析：由题意得f'(x)=1十正 1 -1+x (责任编辑徐利杰) 33