正确区分二项分布与超几何分布-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

解题篇经典题突破方法 中学生数理化高二数学2026年月 正确区分二项分布与超几何分布 ■郑州轻工业大学附属中学 张瑞红 超几何分布与二项分布是常见的离散型 率是相同的，可以看成是独立重复试验，此种 随机变量的分布问题，一直是高考考查的热 抽样是二项分布模型；问题(2)是无放回抽 点。如果将各类随机试验中对象产生的过程 样，每取出1个球后，总体中就少1个球，因 都从抽取的方式来看的话，那么超几何分布 此，每次取到某类球的概率是不同的，此种抽 这种古典随机试验的本质是不放回抽取，而 样为超几何分布模型。 二项分布的随机试验是独立重复试验，可理 (1)由题意知，随机变量X的可能取值 解为是可放回的。下面从几个角度辨析二项 为0,1,2,3。 分布与超几何分布。 P(X=0)=C9X( g)×()}-路 一、二项分布与超几何分布的区别与联系 两者的区别：二项分布就是我们熟悉的 P(X=1)=C× (》'×()- 独立重复试验，即在相同的条件下做了次 重复试验，属于有放回的抽样试验，每次试验 P(X=2)=C (合)》x台)=品 是相互独立的，总体容量未知、用样本估计总 P(X=3) 体或用频率估计概率型的问题，均属于二项 ×()广×（传）”= 分布问题：超几何分布必须要知道总体的容 随机变量X的分布列如表1所示。 量，且是不放回抽取，每次试验不独立。 表1 二项分布的概率公式的等号右边可以看 0 1 2 作是二项展开式的一般项，所以称其为二项 P 64 48 12 分布；超几何分布的概率公式的等号右边可 125 125 125 125 以看作是超几何级数一般项的系数，所以把 (2)随机变量Y的可能取值为0,1,2。 它叫作超几何分布。 CC P(Y=0)= 7 两者的联系：样本的数目越大，二项分布 C。 =15 和超几何分布对应的概率就越接近，当样本 P(Y=1)= CC7 Ci。 的个数无穷大时，二项分布和超几何分布对 159 应的概率近似相等，也就是说，超几何分布的 P(Y=2)= CC 1 C。15 极限就是二项分布。 随机变量Y的分布列如表2所示。 二、正确辨析，理性认识 表2 例1袋中有8个白球、2个黑球，从 0 1 2 中随机地连续抽取3次，每次取1个球。求： (1)有放回抽样时，取到黑球个数X的 15 15 15 分布列： 例2有10件产品，其中3件是次品， (2)无放回抽样时，取到黑球个数Y的分 从中任取2件，若X表示取得次品的件数， 布列。 则P(X<2)等于( )。 解析：问题(1)是有放回抽样，每次抽取 时总体没有改变，因而每次抽到某类球的概 A.1 c号 24 高数蜂典突翠方清中学生数理化 解题篇经典题突破方法 解析：P(X<2)=P(X=1)十P(X=0) 0.018+0.022+0.025)×10=1,解得a= _cC+C=4」 0.005。则b=0.010,c=0.020。 C。 C。 一5，故选D。 (2)由图中数据可知，抽到获得“优秀作 例3假设某射手每次射击命中率相 文”学生的概率为0.005×10=0.05，将频率 同，且每次射击之间相互没有影响。若在两 视为概率，所以X的可能取值为0,1,2，且 次射击中至多命中一次的概率是 25,则该射 XB(2,0.05)。 则P(X=k)= 手每次射击的命中率为 解析：设该射手射击命中的概率为p,两 0,1,2。 次射击命中的次数为X,则X一B(2,p)。 故X的分布列如表3所示。 由题意知P(X=0)+P(X=1)= 25即 表3 X 0 1 2 Cin(1-)+C(-) 361 P 38 1 400 400 400 解弹力一 故X的期望E(X)=0×36] 400 +1×38 400 三、两种分布的分布列与期望 1 1 例4为调研高中生的作文水平，在某 +2×400-109 市普通高中的某次联考中，参考的文科生与 ,点评：利用二项分布解题时，必须满足独 理科生人数之比为1：4，且成绩分布在[0， 立重复试验（有放回抽取是其中的一个特殊 60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的 情形)，即每次试验时面对的具体情境是完全 作文被评为“优秀作文”，按分层抽样的方法 相同的。 抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频 例5人的体重是人的身体素质的重 率分布直方图，如图1所示。其中a,b,c构 要指标之一。某校抽取了高二的部分学生， 成以2为公比的等比数列。 测出他们的体重（单位：kg),体重在40kg至 个频举 65kg之间，按体重进行如下分组：第1组 组距 0.025 [40,45),第2组[45,50)，第3组[50,55)，第 0.022 4组[55,60)，第5组[60,65]，并制成如图2 0.018 所示的频率分布直方图，已知第1组与第3 组的频率之比为1：3，第3组的频数为90。 b 个频率 0 成绩份 组距 0 102030405060 图1 0.037 (1)求a,b,c的值： 0.025 0.013 ☐体重kg (2)将上述调查所得的频率视为概率，现 0404550556065 从全市参考学生中任意抽取2名学生，记获 图2 得“优秀作文”的学生人数为X,求X的分布 (1)求该校抽取的学生总数及第2组的 列及数学期望。 频率。 解析：(1)由题意得(a+b+c+0.018+ (2)试用这些样本数据估计全市高二学 0.022+0.025)×10=1。而a,b,c构成以2 生（学生数众多）的体重。若从全市高二学生 为公比的等比数列，所以(a+2a+4a+ 中任选5人，设X表示这5人中体重不低于 25 解题篇经典题突破方法 中学生数理化离二数学2026年月 55kg的人数，求X的分布列和数学期望 个频率 解析：(1)设该校抽查的学生总人数为 组距 0.15 n,第2组、第3组的频率分别为p、p?,则p =0.025×3×5=0.375,所以n=90 =240。 由p2+0.375+(0,025+0.013+ 0.037)×5=1,得p2=0.25。 0.05 0.04 03 H平均阅读时间/小时 所以该校抽查的学生总数为240，第2组 0 的频率为0.25。 681012141618 (2)由(1)知体重不低于55kg的学生的 图3 1 概率p=(0.013+0.037)×5= (1)求a的值。 4 (2)为进一步了解这500名学生数字媒 X服从二项分布X~B(5,),P(X 体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情 况，从日平均阅读时间在(12,14]，(14,16]， k)=C()广（是）k=01,2,34,5 (16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方 243 法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3 P(X=0)=C×( 人。记日平均阅读时间在(14,16]内的学生 p(x=1D=C××()=482a: 405 人数为X,求X的分布列。 解析：(1)由概率和为1得： P(X=2)=C× ()×() 270 1024 2×0.02+2×0.03+2×0.05+2×0.05 +2×0.15+2×a+2×0.05+2×0.04+2× P(X=3)=C× )×() 90 =1024 0.01=1,解得a=0.10。 (2)由分层抽样的性质知，从阅读时间在 P(X=4)= C×( )×是 15 1024 (12,14]中抽取5人，从阅读时间在(14,16] C× 1 P(X=5) 中抽取4人，从阅读时间在(16,18]中抽取 1024 1人。 所以随机变量X的分布列如表4所示。 从该10人中抽取3人，则X的可能取 表4 值为0,1,2,3。 0 1 2 3 P(X=0) C 1 243 405 270 90 15 1 Ci。6 P 102410241024102410241024 P(X=1)= CiC1 1 Ci。 故E(X)=5× 5 44 P(X=2)= 例6每年的4月23日是联合国教科 C。 =10 文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书 P(X=3)= C1 和版权日”。为了解某地区高二学生阅读时 C。30 间的分配情况，从该地区随机抽取了500名 X的分布列如表5所示。 高二学生进行在线调查，得到了这500名学 表5 生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本 0 1 2 3 数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8， 1 3 10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九 10 30 组，绘制成如图3所示的频率分布直方图。 (责任编辑 徐利杰) 26