7.4 培优课 二项分布与超几何分布的综合应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

培优课　二项分布与超几何分布的综合应用 1.若X～B（10，0.5），则当P（X＝k）取得最大值时，k＝（　　） A.4或5 B.5或6 C.10 D.5 2.〔多选〕某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的产品中均有5件次品，员工A从自己抽取的产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从自己抽取的产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3.则下列判断正确的是（　　） A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量Y服从超几何分布 C.P（X＝k）＜P（Y＝k） D.E（X）＝E（Y） 3.随着现代科技的不断发展，手机支付应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知方差D（X）＝2.4，且P（X＝4）＞P（X＝6），试求均值E（X）的值. 4.2025年新春伊始，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p（0＜p＜1），且猜中每道谜语与否互不影响. （1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； （2）若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围. 5.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. （1）当n＝6时，求P（X≤2）； （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E（Y）和方差D（Y）均存在，则对任意正实数a，有P（｜Y－E（Y）｜＜a）≥1－.根据该不等式可以对事件“｜Y－E（Y）｜＜a”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值. 6.某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为；该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立. （1）若m＝，求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率； （2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　二项分布与超几何分布的综合应用 1.D　因为X～B（10，0.5），所以P（X＝k）＝×0.5k×0.510－k＝×0.510，由组合数的性质可知，当k＝5时，取得最大值，即当P（X＝k）取得最大值时，k＝5. 2.ABD　由超几何分布和二项分布的概念，A、B正确；对于D，设该批产品有M件，则E（X）＝3·＝，E（Y）＝＝＝＝，因此D正确；对于C，若C正确，可得E（X）＜E（Y），则D错误，矛盾，故C错误. 3.解：依题意，知X～B（10，p）， 且D（X）＝10p（1－p）＝2.4，即p2－p＋0.24＝0， 解得p＝0.6或p＝0.4. 又P（X＝4）＞P（X＝6），所以p4·（1－p）10－4＞p6（1－p）10－6， 所以（1－p）2＞p2，又0＜p＜1，则0＜p＜0.5， 所以p＝0.4，所以E（X）＝10p＝10×0.4＝4. 4.解：（1）设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为2，3，4.有P（X＝2）＝＝＝，P（X＝3）＝＝＝，P（X＝4）＝＝＝， 故小张猜中谜语道数的分布列为 X 2 3 4 P 设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B（4，p），Y的取值分别为0，1，2，3，4， 有P（Y＝0）＝（1－p）4， P（Y＝1）＝（1－p）3p＝4p（1－p）3， P（Y＝2）＝（1－p）2p2＝6p2（1－p）2， P（Y＝3）＝（1－p）p3＝4p3（1－p）， P（Y＝4）＝p4. 故小王猜中谜语道数的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P （1－p）4 4p（1－p）3 6p2（1－p）2 4p3（1－p） p4 （2）由（1）可知E（X）＝2×＋3×＋4×＝3，E（Y）＝4p， 若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3＞4p，可得0＜p＜. 故p的取值范围为（0，）. 5.解：（1）由已知X～B（6，），所以P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2） ＝（）6＋·（）5＋·（）2·（）4＝＋＋＝ . （2）由已知X～B（n，0.5），所以E（X）＝0.5n，D（X）＝0.25n， 若0.4≤≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n，即－0.1n≤X－0.5n≤0.1n，即｜X－0.5n｜≤0.1n. 由切比雪夫不等式知P（｜X－0.5n｜≤0.1n）≥1－， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1－≥0.98， 解得n≥1 250，所以估计信号发射次数n的最小值为1 250. 6.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A， 由题设P（A）＝×××＋××＝. （2）分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为ξ，η”， 由题设知：ξ～B（3，），所以E（ξ）＝3×＝2， η的所有可能取值为0，1，2，3， P（η＝0）＝××（1－m）＝， P（η＝1）＝××（1－m）＋××（1－m）＋××m＝， P（η＝2）＝××（1－m）＋××m＋××m＝， P（η＝3）＝××m＝＝， 故η的分布列为 η 0 1 2 3 P 从而E（η）＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 由得解得＜m＜1. 故m的取值范围为（，1）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $