例析求离散型随机变量的期望的几种题型-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

解题篇经典题突破方法 中学生数理化高二数学2026年4月 例析求离撒型随机变量的期望的几种题型 ■河北省张家口市第一中学 袁俊 离散型随机变量的期望是概率统计的核 芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补 心知识点，也是解决实际问题的重要工具，它 种1次，补种一个坑需12元，用X表示补种 反映了随机变量取值的平均水平。下面将结 费用，则X的数学期望为()元。 合典型例题，梳理关于离散型随机变量的期 A.3 B.4 望的几种常考题型，助力同学们学握解题思 C.12 D.24 路与方法。 解析：每个坑需要补种的概率为 一、直接计算型：紧扣概念，精准运算 当离散型随机变量的分布列可直接确定 (1-号)广-7，故9个抗需要补种的个数 时，可利用期望的定义直接计算。解答此类 N~B(9,7) 题型的关键是明确随机变量的所有取值及对 应概率，确保概率和为1后代入对应公式。 所以E(N)=9X分=号，放补种费用 1 例1已知随机变量X的分布列如表 1所示，则E(X)=( )。 E(X)=12×号=4（元）. 表1 故选B。 点评：求特殊分布的期望时，第一步是判 断随机变量X服从什么分布，第二步代入相 一37 应的公式求解。若X服从二项分布，即X一 A.2 B.3 C.4 D.5 B(n,p),则E(X)=np。本题由题设条件易 1 解析：由题意得 5 +m+1-3m=1,解 得9个抗需要补种的个数N一B(9,7)利 得m=10 用二项分布的期望公式求E(N),进而求X 的数学期望。 所以E(X)=0×1十2× 5 10 +4× 三、实际应用型：转化情境为数学模型 (1-高)=3。故迹B 在实际问题中，需先将具体情境转化为 随机变量问题，明确“求哪个变量的期望”，再 点评：当随机变量的取值依赖于实际情 按“确定取值→算概率→求期望”的逻辑解 境时，先明确“结果对应取值”，再用概率知识 题，重点是建立数学模型。 求各取值的概率，将“取值×概率”逐一相加 例3一个袋中装有编号分别为1,2， 求出期望。分布列是连接概率与期望的桥 3,4的4个球，现从中随机取出2个球，用X 梁。 表示取出球的最大编号，则E(X)=()。 二、特殊分布的期望 A.2 例2把27粒种子分别种在9个坑 B3C.9 n号 内，每个坑3粒种子，每粒种子发芽的概率为 解析：由题意知，随机变量X所有可能 取值为2,3,4。 若一个坑内至少有1粒种子发芽！ 个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发 PX=2)=日-言 20 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年4月 中学生数理化 P(X=3)- C2_1 C39 解折：由分布列的性质可得号+口十 6 P(X=4)= C8_1 C￥2 1,解得a= 因此X的分布列如表2所示。 则EX)=1X号+2X名+3×6-共 6=6 表2 2 3 4 所以E(2X+1)=2E(X)+1=14 3 632 故选C。 点评：若离散型随机变量X的均值为 则E(X)-2× +3×1 1 +4× 10 E(X),Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也 故选C。 是一个离散型随机变量，且E(Y)=E(aX十 点评：此类题型需先根据题意确定随机变 b)=aE(X)+b。 量的取值，再通过概率公式（如古典概型、互斥 特别地，当a=0时，E(b)=b;当a=1 事件概率)计算各取值的概率，然后构建分布 时，E(X+b)=E(X)十b；当b=0时， 列，最后求期望。此类题型是考试的核心题型。 E(aX)=aE(X)。 四、利用期望的性质求相关变量的期望 五、由离散型随机变量的均值求参数 例4已知随机变量X的分布列如表 例6若随机变量X的分布列如表5 3所示，且随机变量Y=2X+3,则Y的期望 所示，且E(X)=1,则a,b分别为()。 是( 表5 表3 X 0 X -1 0 1 P 3 b 2 3 m 5 1 Ag日 B.12 33 A.3 B. D.6 解析：由随机变量X的分布列的性质得 c ng号 1 1 解析：由已知条件，根据分布列的性质可 2+1十m=1,解得m6 3+a十b=1,0≤a<1,0≤b<1。 得 因此E(X)=-1×2+0×写+1×6 1 因为E(X)=1,所以0X3+1×a+2× 因为Y=2X十3，所以E(Y)=2E(X)+ 6=1,解得a=合6= 1 30 3=-+3= 7 故选A。 点评：根据分布列的性质及期望公式即 故选A。 可求出参数。 例5已知随机变量X的分布列如表 综上，求离散型随机变量期望的核心是 4所示，则E(2X+1)=( )。 明确变量取值，算准对应概率，用好定义公 表4 式。定义直接计算型需夯实基础，结合分布 X 3 列强化概率计算能力，实际应用型需提升建 1 P 模意识。同学们通过针对性练习，熟练掌握 6 各类题型的解题逻辑，即可突破这一知识点。 11 11 A.6 B. 4 C.3 22 D.3 (责任编辑徐利杰) 21