专题09 离散型随机变量的均值8种常见考法归类讲义（56题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题09 离散型随机变量的均值8种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用定义求离散型随机变量的均值 考点二 两点分布的均值 考点三 离散型随机变量均值的性质 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 考点五 与离散型随机变量均值有关的最值（范围）问题 考点六 均值的实际应用 考点七 期望的线性可加性的应用 考点八 期望递推 知识点1 离散型随机变量的均值 1.离散型随机变量的均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量X的分布列，如图所示 X … P … 则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。 注：求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 2.离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 注：1、离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2、期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. 离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. 3、随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 4、是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. 3.离散型随机变量的均值的性质 ①若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ②若与相互独立，则. 知识点2 两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 注：两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1． 策略方法 一、利用定义求离散型随机变量的均值 1.核心公式 （1）若离散型随机变量的分布列为： 则均值（数学期望）： 2.求解步骤 （1）定：明确随机变量的意义，写出所有可能取值； （2）求：计算每个取值对应的概率； （3）列：写出的分布列； （4）算：代入期望公式计算。 二、两点分布的均值 1.适用条件 （1）随机变量只取两个值； （2）试验只有两种对立结果：成功/失败。 2.分布列 3.均值公式 （1）（即成功概率）。 三、离散型随机变量均值的性质 1.线性性质 （1）若（为常数），则 2.可加性质 （1）若相互独立，则 3.常用结论 （1）（常数的期望为自身）； （2）； （3）。 四、由均值求参数的方法 1.解题依据 （1）分布列性质：且； （2）均值公式：。 2.解题步骤 （1）根据概率和为列方程； （2）根据均值列方程； （3）联立方程组解出参数； （4）检验所有，舍去不合理解。 五、均值的最值（范围）问题 1.求解思路 （1）将表示为某参数的函数； （2）利用函数单调性、二次函数、不等式求最值； （3）结合参数范围（如）确定最值。 2.常见模型 （1）一次函数型：在区间端点取最值； （2）二次函数型：在对称轴处取最值； （3）决策型：比较两种方案的期望，选择期望更大/更小者。 六、均值的实际应用 1.解题三步法 （1）建模：将实际问题转化为概率模型，确定随机变量； （2）解模：求分布列，计算； （3）回归：用期望对方案、收益、成本、胜负进行判断。 2.常见题型 （1）收益、利润、成本最优化； （2）比赛方案选择（赛制、答题顺序）； （3）抽奖、奖金、优惠券期望计算。 七、期望的线性可加性（示性变量法） 1.核心思想 （1）将复杂随机变量拆分为若干个两点分布（0-1分布）的示性变量之和： （2）再利用期望可加性： 2.适用场景 （1）抽取类：抽到合格品数、红球数； （2）计数类：成功次数、命中次数、回到原位次数； （3）序列类：传球、投篮、信号传输。 八、期望递推（状态期望法） 1.适用场景 （1）“连续成功/失败停止”“到达某状态停止”等试验； （2）随机变量的期望依赖前一步状态。 2.解题步骤 （1）设为目标期望； （2）按第一次/第二次试验结果分类讨论； （3）根据全概率思想列出含的方程； （4）解方程得到。 九、高频易错点 1.求期望前未写分布列直接计算； 2.概率算错导致期望结果错误； 3.混淆与，漏乘或漏加； 4.求参数后不检验概率非负； 5.示性变量法拆分错误或漏项； 6.递推期望列错状态转移方程。 考点一 利用定义求离散型随机变量的均值 1．（2026·上海长宁·模拟预测）已知随机变量的分布为 则的期望为________. 【答案】 【分析】直接根据分布列求离散型随机变量的期望可得. 【详解】因为随机变量的分布为 所以. 2．（2026高二·湖北武汉·月考）已知的分布列如下表，则__________. 2 3 【答案】 【分析】先根据分布列的性质求出，再求期望即可. 【详解】由分布列的性质有，得，从而， 故答案为： 3．（2026高二·全国·课堂例题）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． 【答案】分布列见解析， 【分析】结合题意写出分布列，再利用期望公式求解数学期望即可. 【详解】由题意得可取的值为1，2，3， 则，， 可得． 则抽取次数的分布列为 1 2 3 由期望公式得． 4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 5．（2026·安徽宿州·模拟预测）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 6．（2026·湖南常德·模拟预测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 7．（2026高三·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）第2次射箭的人是甲同学有以下两种情形： 情形一：第1次是甲同学，且射中； 情形二：第1次是乙同学，没射中， 所以第2次射箭的人是甲同学的概率为； （2）由题意可知， ，， ， 所以的分布列如下： 所以. 9．（2026高二·江苏镇江·期中）镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； (3)计算随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列的分布列为： 150 200 250 300 数学期望为 【分析】（1）三个球的标号和为奇数有一个奇数两个偶数和三个奇数，有种，再由古典概型求概率； （2）根据条件概率求解； （3）随机变量的取值为：，计算出分布列，即可求解数学期望． 【详解】（1）记事件：取出的三个球的标号和为奇数， 则取出的三个球的标号和为奇数有两种情况，①三个奇数；②一个奇数和两个偶数， 则． （2）事件， 则． （3）随机变量的取值为：， ， ， 的分布列为： 150 200 250 300 ． 考点二 两点分布的均值 10．（2026高二·河北石家庄·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】/ 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 11．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 12．（2026高二·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用分布列的性质，求得，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 13．（2026高二·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 14．（2026高二·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 考点三 离散型随机变量均值的性质 15．（2026高二·河北衡水·期中）已知离散型随机变量的期望，随机变量，则__________. 【答案】11 【详解】因为， 所以. 16．（2026高二·江西景德镇·期末）已知随机变量的概率分布如表且，则______. 1 2 4 【答案】16 【分析】利用概率分布的性质以及条件解方程可得答案. 【详解】由概率分布的性质，有，即， 又由 ，得， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 17．（2026高二·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 【详解】，， 所以 18．（2026高二·浙江舟山·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 【答案】/ 【详解】因为， 所以． 19．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），； （2）； （3）. 所以 20．【多选】（2026高二·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，由分布列的性质求解判断；对B，由分布列求解判断；对C，先求出，再根据均值的性质求解；对D，根据条件概率公式计算. 【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 21．（2026·云南昭通·模拟预测）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 22．（2026高二·江苏无锡·期中）已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由分布列性质求得，再由期望值求出，进而求得. 【详解】由分布列性质可得，解得， 则，又， 所以，解得， 所以. 23．（2026高二·山东临沂·期中）若随机变量取所有的值是等可能的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量取所有的值是等可能的，即， 所以，解得. 24．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 25．（2026高二·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 26．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 【答案】 【分析】利用均值公式求解第一空，利用均值的性质求解第二空即可. 【详解】由均值公式得， 因为，所以．解得． 故答案为：； 27．（2026高二·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 28．（2026·四川）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. 【答案】 【分析】根据概率和为1和均值的定义列出关于的方程组，解出即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得，，所以， 故答案为：. 29．（2026高二·广西梧州·月考）某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，20 (2)，且. 【分析】（1）利用古典概型，计算得到对应概率，构建分布列，再计算可得 （2）先算出，再根据的定义，分与、、的大小关系讨论，计算并解不等式，确定范围. 【详解】（1）， ， ， 所以的分布列为 10 20 30 . （2）. 当时， . 当时， . 当时，， 令，解得，即当时，. 当时，. 综上，的取值范围为，且. 30．（2026高二·海南海口·期中）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. (1)试分别估计甲在区、区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分的期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 【答案】(1)， (2) (3)6次 【分析】（1）通过表中的数据，用投进的次数除以总次数即可估计投篮命中的概率. （2）根据题意先将区投篮得分高于区投篮得分的情况，然后针对每种情况求概率，最后将求得的概率相加就是最后的结果. （3）首先求出甲在区投篮一次的期望值，然后根据题意列出不等式，进而可求得最大值. 【详解】（1）甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为； 甲在区投篮20次，投进10次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. （2）由（1），知甲在区投篮进球的概率为，在区投篮进球的概率为. 甲在区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在区投2个球，得分可能是0，3，6. 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区2分区0分，概率为， 区4分区0分，概率为， 区4分区3分，概率为， 区6分区0分，概率为， 区6分区3分，概率为. 故甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为. （3）由题意，知甲在区投篮一次得分的期望值是， 甲在区投篮一次得分的期望值是. 设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值为，解得. 故甲选择在区投篮的次数最多是6次. 考点五 与离散型随机变量均值有关的最值（范围）问题 31．（2026高二·全国·课后作业）若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题分布列的性质，求得，再结合期望的公式，即可求解. 【详解】由题分布列的性质，可得且，解得， 又由， 所以的最大值为. 故选：B. 32．（2026高二·江苏宿迁·期中）设 随机变量X 的分布列如表所示，则E(X) （   ） X 1 2 3 P A．有最大值 ，最小值 B．有最大值 ，最小值 C．有最大值，没有最小值 D．无最大值，有最小值 【答案】A 【分析】利用分布列的性质及期望公式求得，再利用余弦函数性质求解判断. 【详解】依题意，，则， 则， 当时，，，则， 所以有最大值，最小值，A正确，BCD错误. 故选：A 33．【多选】（2026高二·辽宁·月考）有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得M（M＞0）分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得N（N＞0）分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为p（0＜p＜1），能正确回答B类问题的概率为q（0＜q＜1），且能正确回答问题的概率与回答次序无关．为使累计得分的期望最大，下列哪些条件下小明应选择先回答A类问题（    ） A．M＞N且p＞q B． C． D． 【答案】AD 【分析】在先回答A类问题或先回答B类问题前提下通过题意分析出小明累计得分所有可能取值，逐一求概率列分布列并求出得分的数学期望，比较两个期望的大小即可得到应满足的条件． 【详解】若先回答A类问题由题可知，所以得分的所有可能取值为． ； ； ． 所以的分布列为 故． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为． ； ； ． 所以的分布列为 所以． 若小明选择先回答A类问题，则， 解得，即，所以D正确，C错误； 当M＞N且p＞q时，显然有成立，故A正确. 对时不一定成立，故B不正确； 故选：AD 34．（2026高二·重庆渝北·期中）某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 【答案】(1) 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 (2)（i）；（ii）时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 【分析】（1）分得到的优惠券总价值为0,10,20,30,40五种情况，对应的取值，得到的分布列和数学期望； （2）（i）分别求得支付金额和商品成本的数学期望，根据期望利润的计算公式得到； （ii）利用二次函数性质求得的最值. 【详解】（1）由题可知，的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， . 分布列为： 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：. （2）（i）期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望， 设支付金额为，可取90，80，70，60， ，，，， 则支付金额的期望为： ； 设优惠券成本为，可取3，6，13，16， ，，， 优惠券成本的期望为 . 所以 . （ii）是开口向下的二次函数，对称轴为. 因为，所以当时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 35．（2026高二·山东临沂·期中）某高校少年班复试选拔有甲､乙两类问题，每位参加复试的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学复试结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学复试结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分，已知小明能正确回答甲类问题的概率为0.8，能正确回答乙类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)求小明复试得分为100分的概率； (2)若小明先回答甲类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (3)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)应选择先回答甲类问题 【分析】（1）借助概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后计算对应概率即可得其分布列； （3）结合（2）中所得可得先回答甲类问题时得分期望，再求出先回答乙类问题时得分期望后，比较大小即可得. 【详解】（1）若小明复试得分为100分， 概率为. （2）的可能取值为、、， ， ， ， 故其分布列为： （3）由（2）可得，若小明先回答甲类问题， 得分期望为分； 若小明先回答乙类问题，设为小明的累计得分，则的可能取值为、、， 则， ， ， 则得分期望为， 则，故小明应选择先回答甲类问题. 36．（江苏南通市2026届高三学期二模数学试题）某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，记投中次数为m． 第二阶段由另一名队员投篮3次，每次投中得1分，没有投中得0分；但如果3次全中，得5分，记这名队员的得分为，那么该队的比赛总得分为． 某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率． (2)假设，为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）利用独立事件概率公式进行求解即可； （2）利用独立事件概率、互斥事件的概率公式、数学期望公式，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】（1）甲参加第一阶段比赛，则乙参加第二阶段比赛， 所以该队的比赛成绩为0分的概率为 . （2）因为，， 所以， 当甲参加第一阶段比赛，乙参加第二阶段比赛时， 则， ， ， ， ， ， 所以该队的比赛成绩的数学期望为 ， 化简，得； 同理，当乙参加第一阶段比赛，甲参加第二阶段比赛时，该队的比赛成绩的数学期望为， 则， 因为， 所以， 因此为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛. 37．（2026高二·江苏盐城·月考）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析两个事件之间的独立关系，利用独立事件概率公式计算； （2）列出两种情况的所有可能的奖金取值，列出对应概率，求解数学期望比较即可. 【详解】（1）设猜对第一道谜语为事件,猜到第二道谜语为事件, 两道谜语猜对为独立事件， 因此猜对两道谜语的概率. （2）① 先猜A，奖金为 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望. ② 先猜B，奖金为， 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望， 因为，因此先猜的期望更大. 38．（2026高二·广东东莞·期中）甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1)采用5局3胜制对甲更有利 (2)答案见解析 【分析】（1）分别计算采用3局2胜制和采用5局3胜制甲最终获胜的概率，比较概率大小即可求解. （2）由（1）可得采用3局2胜制甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【详解】（1）当采用3局2胜制时：记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即采用3局2胜制甲最终获胜的概率为． 当采用5局3胜制时，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，为互斥事件， 由于，， 则， 即采用5局3胜制甲最终获胜的概率为． 显然， 所以采用5局3胜制对甲更有利 （2）由（1）可知，采用3局2胜制甲最终获胜的概率， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 39．（2026·湖北·模拟预测）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 考点六 均值的实际应用 40．（2026·山西运城·模拟预测）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】(1)0.28 (2)0.352 (3)1.2． 【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 41．（2026·山西朔州·模拟预测）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 . 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【详解】（1）（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”， 则. （2）由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，，         所以的分布列为 2 3 4 5 . 42．（2026高三·陕西西安·阶段检测）为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 【答案】(1) 0 10 20 30 . (2). 【分析】（1）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解； （2）记“甲､乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件，利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）题意知的所有可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 10 20 30 所以. （2）记“甲､乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件， 所以， ， 所以， 即在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，甲队得分比乙队得分高的概率为. 43．（2026高二·江苏徐州·期中）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节是否通过相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (2)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）根据条件概率求解即可. （2）由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【详解】（1）设事件分别表示通过设计环节，由题意得​， 且相互独立. 设事件为"三幅中恰有一幅通过设计"，事件为"通过设计的作品为"，所求为条件概率. . . 因此. （2）设事件分别表示成为成品作品. 则，，. 的可能取值为， ， ， ， . 因此的分布列为： . 44．（2026·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 45．（2026高二·重庆·期中）学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列见解析；数学期望 【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果； （2）由题意可得，的可能取值为，分别求得其所对应的概率，即可得到分布列，从而得到期望. 【详解】（1）设事件为“选到的题目是语文题”，事件为“选到的题目是数学题”，事件为“选到的题目是英语题”，事件为“甲同学回答正确”， 则由题意得，，，，，， 根据全概率公式有. （2）设事件为“甲同学答对语文题”，事件为“甲同学答对数学题”，事件为“甲同学答对英语题”， 则由题意得，则答错语文题的概率是， ，则答错数学题的概率是， ，则答错英语题的概率是， 由于答对的题数可能是，因此的可能取值为， 当时，即语文题、数学题、英语题全答错，则； 当时，即语文题、数学题、英语题只答对一个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题答对两个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题全答对，则； 因此，的分布列为 数学期望. 考点七 期望的线性可加性的应用 46．（2026高二·吉林·期中）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行编码，记编码为0的数字个数为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】每次编码可看成一次独立的随机试验，定义随机变量：当第个数字编码为0时，，否则， 则，， 所以. 47．（2026高二·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 / / 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 48．（2026·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 【答案】/ 【分析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意可求出，因为每一次传球后球在甲手中的次数都服从两点分布，根据期望的线性性质可求得. 【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以， 根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以， 又共传5次结束， 所以. 记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布， 所以， 所以 . 故答案为：. 49．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 50．（2026高一·全国·专题练习）甲、乙、丙三人进行排球传球练习，开始时排球在甲手中．从甲开始传球，每次传球时，持球人等可能地将球传给其他两人中的任意一人．记第n次传球后排球传到乙手中的概率为． (1)求第3次传球是由乙传给甲的概率； (2)求第n次传球后排球传到丙手中的概率； (3)若随机变量服从两点分布，且，则，记前n次（即从第1次到第n次传球）中排球传到乙手中的次数为Y，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过列举即可求解； （2）记表示事件“经过次传递后球传到丙手中”，若发生，则一定不发生，则，变形可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）类比第（2）问得到，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【详解】（1）由题意：第3次传球是由乙传给甲的概率， 则第一次传球必由甲传给丙，第二次丙传给乙， 即甲丙乙甲， 则概率为； （2）记表示事件“经过次传球后球传到丙手中”， 第n次传球后排球传到丙手中的概率为， 若发生，则一定不发生， 所以，即， 即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”， 第n次传球后排球传到乙手中的概率为， 若发生，则一定不发生， 所以，即， 即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 记为第次传球后球是否在乙手中的指示变量，球在乙手中时，否则， 则， 所以 因为， 则. 51．（2026高二·湖北黄石·月考）甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球a（）个一起放回盒子里，设事件“第k次摸到白球”． (1)现在甲、乙分别从A、B两个盒子中摸球，A盒中有10个白球和30个黑球，B盒中有5个白球和20个黑球，，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小； (2)甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同．请通过计算验证他们的猜测是否正确； (3)若初始有m个白球和n个黑球，求第r次摸球后，累计摸到白球个数的期望．（用m，n，r表示）． （附：若随机变量服从两点分布，且，，） 【答案】(1)， ， 甲第二次摸到白球的概率大于乙第二次摸到白球的概率 (2)猜测正确 (3) 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）设第k次摸球时盒子里有个白球和个黑球，由求解即可； （3）由两点分布结合即可求解. 【详解】（1）第k次摸到白球的概率是，则第k次摸到黑球的概率是， 对于甲，，， 由全概率公式可得： ， 同理，对于乙： ， 故甲第二次摸到白球的概率大于乙第二次摸到白球的概率． （2）设第k次摸球时盒子里有个白球和个黑球， 则，； ，， 由全概率公式可得： ． 所以，即每一次摸到白球的概率都相等． （3）由题意每次摸到白球的概率为 设第i次摸到白球的个数为，或0，所以服从两点分布， 且， 记第r次摸球后，累计摸到白球个数是， 则，所以． 52．（2026高三·全国·专题练习）某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天随机选择去一家餐厅用餐，以后每天的用餐规律是：如果第1天去了A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.7；如果第1天去了B餐厅，第2天去A餐厅的概率为0.8． (1)求王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐的概率. (2)求王同学在第天去A餐厅用餐的概率． (3)已知随机变量：表示王同学第i天去A餐厅用餐，表示他第i天去B餐厅用餐，满足．设随机变量表示王同学在前n天内去A餐厅用餐的天数，其中，求． 【答案】(1) (2)， (3)，． 【分析】（1）设事件=“王同学在第天去B餐厅用餐”，事件B=“王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐”，则，由题干条件可算得答案； （2）设事件=“王同学在第天去A餐厅用餐”，由全概率公式可算得，由此可得满足的递推关系，通过构造等比数列可得的表达式. （3）由题意可得，利用题干条件和数列的分部求和法即可算得． 【详解】（1）设事件=“王同学在第天去B餐厅用餐”，事件B=“王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐”， 由概率的加法公式和乘法公式，得 ； （2）设事件=“王同学在第天去A餐厅用餐”， 由全概率公式，得，，， 所以， 故，， 因为，所以为等比数列，其首项为，公比为． 故，所以，； （3）因为服从两点分布，所以， 故， ． 53．（2026·河南周口·模拟预测）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可得， （2）利用数学期望的性质，结合两点分布的期望公式即可得解. 【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 54．（2026·陕西安康·模拟预测）密码锁是锁的一种，开启时用的是一系列的数字或符号，文字密码锁可分为机械密码锁､数字密码锁等.现有一数字密码锁试验. (1)若该密码锁的密码有三位，每位由数字随机设置，现随机选择一个密码进行开锁试验，求开锁成功的概率； (2)为了增加试验的趣味性，设置A，B，C，D四个互不相同的密码，每次使用其中一个且每次从上一次未使用的密码中随机选择一个，若第一次使用A密码，记第次使用密码的概率为. （i）求； （ii）设前次试验中使用密码的次数为，求. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据古典概率的计算公式求解； （2）（i）列出前4次所有可能出现的结果，利用古典概率的计算公式求解；（ii）由题意，得，利用递推数列求通项可得，记“第次使用密码”为，可得，根据，利用数列分组求和得解. 【详解】（1）设“随机选择一个密码，开锁成功”为事件， 则. （2）（i）列出前4次所有可能出现的结果如下表： B A BCD C ABD D ABC C A BCD B ACD D ABC D A BCD B ACD C ABD 所以第4次使用密码的概率. （ii）由题意，得， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 记“第次使用密码”为，则服从两点分布，， 所以 . 考点八 期望递推 55．（2026高三·山东潍坊·月考）某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为___________． 【答案】/ 【分析】设投篮总次数的数学期望为，分析第一次和第二次投篮结果，及对应的投篮总次数，得到关于的方程，求解可得. 【详解】设投篮总次数的数学期望为， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为0.4，投篮总次数的数学期望为； 若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，投篮总次数的数学期望为； 若第一次投中，第二次投中，则停止投篮， 此情况发生的概率为，投篮总次数为2. 故投篮总次数的数学期望为， 整理得，， 解得. 即投篮总次数的数学期望为. 56．【多选】（2026·云南昆明·模拟预测）“暮春时节，兰亭雅集再现，文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶的命中率为，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下列选项中正确的是（    ） A．当时，投壶2次游戏结束的概率为 B．当时，投壶3次游戏结束的概率大于投壶4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投壶总次数的数学期望为，则 【答案】ACD 【分析】选项A，直接利用独立事件概率乘法公式，计算两次投壶均命中的概率，验证投壶2次游戏结束的概率.选项B，分别分析投壶3次、4次游戏结束的条件，利用独立事件概率公式计算对应概率，再比较两者大小.选项C，采用递推法，分第一次投壶命中/未命中、第二次投壶命中/未命中的情况，建立关于数学期望的方程，求解得到期望.选项D，考虑首次达到连续次命中后的下一次投壶结果（命中/未命中），建立与的递推方程，整理验证是否成立. 【详解】对于A，投壶2次均命中即游戏结束，概率为，A正确； 对于B，投壶3次游戏结束的事件为“第2，3次命中，第1次不中”，概率为， 投壶4次结束的事件为“第3，4次必须命中， 且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束），第1次投壶结果不影响”， 概率为，两者概率相等，B错误； 对于C，当时，即出现连续2次命中，那么停止投壶，游戏结束， 设投壶的总次数的数学期望为，考虑第一次投壶的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投壶总次数为2； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投壶的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投壶的总次数可看作； 则，解得，C正确； 对于D，由题意，设为出现连续次命中，则停止投壶，游戏结束时投壶总次数的数学期望， 在连续次命中，停止投壶的游戏中，考虑首次达到出现连续命中次的时刻， 此时当前投壶的总次数期望为，即出现连续次都投壶命中，那么现在从此状态开始， 游戏还需要进行直至停止（即连续次命中），则考虑下一次投壶的结果： ①若下一次投壶命中（概率为），则出现连续次命中，停止投壶，游戏结束， 即投壶的总次数可看作次； ②若下一次投壶不中（概率为），则游戏重置，还需再进行次投壶， 游戏才能结束，即投壶的总次数可看作次； 综上，故，整理得，，D正确. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题09 离散型随机变量的均值8种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用定义求离散型随机变量的均值 考点二 两点分布的均值 考点三 离散型随机变量均值的性质 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 考点五 与离散型随机变量均值有关的最值（范围）问题 考点六 均值的实际应用 考点七 期望的线性可加性的应用 考点八 期望递推 知识点1 离散型随机变量的均值 1.离散型随机变量的均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量X的分布列，如图所示 X … P … 则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。 注：求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 2.离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 注：1、离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2、期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. 离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. 3、随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 4、是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. 3.离散型随机变量的均值的性质 ①若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ②若与相互独立，则. 知识点2 两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 注：两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1． 策略方法 一、利用定义求离散型随机变量的均值 1.核心公式 （1）若离散型随机变量的分布列为： 则均值（数学期望）： 2.求解步骤 （1）定：明确随机变量的意义，写出所有可能取值； （2）求：计算每个取值对应的概率； （3）列：写出的分布列； （4）算：代入期望公式计算。 二、两点分布的均值 1.适用条件 （1）随机变量只取两个值； （2）试验只有两种对立结果：成功/失败。 2.分布列 3.均值公式 （1）（即成功概率）。 三、离散型随机变量均值的性质 1.线性性质 （1）若（为常数），则 2.可加性质 （1）若相互独立，则 3.常用结论 （1）（常数的期望为自身）； （2）； （3）。 四、由均值求参数的方法 1.解题依据 （1）分布列性质：且； （2）均值公式：。 2.解题步骤 （1）根据概率和为列方程； （2）根据均值列方程； （3）联立方程组解出参数； （4）检验所有，舍去不合理解。 五、均值的最值（范围）问题 1.求解思路 （1）将表示为某参数的函数； （2）利用函数单调性、二次函数、不等式求最值； （3）结合参数范围（如）确定最值。 2.常见模型 （1）一次函数型：在区间端点取最值； （2）二次函数型：在对称轴处取最值； （3）决策型：比较两种方案的期望，选择期望更大/更小者。 六、均值的实际应用 1.解题三步法 （1）建模：将实际问题转化为概率模型，确定随机变量； （2）解模：求分布列，计算； （3）回归：用期望对方案、收益、成本、胜负进行判断。 2.常见题型 （1）收益、利润、成本最优化； （2）比赛方案选择（赛制、答题顺序）； （3）抽奖、奖金、优惠券期望计算。 七、期望的线性可加性（示性变量法） 1.核心思想 （1）将复杂随机变量拆分为若干个两点分布（0-1分布）的示性变量之和： （2）再利用期望可加性： 2.适用场景 （1）抽取类：抽到合格品数、红球数； （2）计数类：成功次数、命中次数、回到原位次数； （3）序列类：传球、投篮、信号传输。 八、期望递推（状态期望法） 1.适用场景 （1）“连续成功/失败停止”“到达某状态停止”等试验； （2）随机变量的期望依赖前一步状态。 2.解题步骤 （1）设为目标期望； （2）按第一次/第二次试验结果分类讨论； （3）根据全概率思想列出含的方程； （4）解方程得到。 九、高频易错点 1.求期望前未写分布列直接计算； 2.概率算错导致期望结果错误； 3.混淆与，漏乘或漏加； 4.求参数后不检验概率非负； 5.示性变量法拆分错误或漏项； 6.递推期望列错状态转移方程。 考点一 利用定义求离散型随机变量的均值 1．（2026·上海长宁·模拟预测）已知随机变量的分布为 则的期望为________. 2．（2026高二·湖北武汉·月考）已知的分布列如下表，则__________. 2 3 3．（2026高二·全国·课堂例题）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． 4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 5．（2026·安徽宿州·模拟预测）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 6．（2026·湖南常德·模拟预测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 7．（2026高三·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 9．（2026高二·江苏镇江·期中）镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； (3)计算随机变量的分布列与数学期望． 考点二 两点分布的均值 10．（2026高二·河北石家庄·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 11．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 12．（2026高二·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 13．（2026高二·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 14．（2026高二·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 考点三 离散型随机变量均值的性质 15．（2026高二·河北衡水·期中）已知离散型随机变量的期望，随机变量，则__________. 16．（2026高二·江西景德镇·期末）已知随机变量的概率分布如表且，则______. 1 2 4 17．（2026高二·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 18．（2026高二·浙江舟山·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 19．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 20．【多选】（2026高二·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 21．（2026·云南昭通·模拟预测）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 22．（2026高二·江苏无锡·期中）已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高二·山东临沂·期中）若随机变量取所有的值是等可能的，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 25．（2026高二·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 26．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 27．（2026高二·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（2026·四川）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. 29．（2026高二·广西梧州·月考）某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 30．（2026高二·海南海口·期中）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. (1)试分别估计甲在区、区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分的期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 考点五 与离散型随机变量均值有关的最值（范围）问题 31．（2026高二·全国·课后作业）若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 32．（2026高二·江苏宿迁·期中）设 随机变量X 的分布列如表所示，则E(X) （   ） X 1 2 3 P A．有最大值 ，最小值 B．有最大值 ，最小值 C．有最大值，没有最小值 D．无最大值，有最小值 33．【多选】（2026高二·辽宁·月考）有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得M（M＞0）分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得N（N＞0）分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为p（0＜p＜1），能正确回答B类问题的概率为q（0＜q＜1），且能正确回答问题的概率与回答次序无关．为使累计得分的期望最大，下列哪些条件下小明应选择先回答A类问题（    ） A．M＞N且p＞q B． C． D． 34．（2026高二·重庆渝北·期中）某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 35．（2026高二·山东临沂·期中）某高校少年班复试选拔有甲､乙两类问题，每位参加复试的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学复试结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学复试结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分，已知小明能正确回答甲类问题的概率为0.8，能正确回答乙类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)求小明复试得分为100分的概率； (2)若小明先回答甲类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (3)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 36．（江苏南通市2026届高三学期二模数学试题）某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，记投中次数为m． 第二阶段由另一名队员投篮3次，每次投中得1分，没有投中得0分；但如果3次全中，得5分，记这名队员的得分为，那么该队的比赛总得分为． 某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率． (2)假设，为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 37．（2026高二·江苏盐城·月考）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 38．（2026高二·广东东莞·期中）甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 39．（2026·湖北·模拟预测）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 考点六 均值的实际应用 40．（2026·山西运城·模拟预测）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 41．（2026·山西朔州·模拟预测）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 42．（2026高三·陕西西安·阶段检测）为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 43．（2026高二·江苏徐州·期中）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节是否通过相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (2)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 44．（2026·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 45．（2026高二·重庆·期中）学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 考点七 期望的线性可加性的应用 46．（2026高二·吉林·期中）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行编码，记编码为0的数字个数为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 47．（2026高二·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 48．（2026·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 49．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 50．（2026高一·全国·专题练习）甲、乙、丙三人进行排球传球练习，开始时排球在甲手中．从甲开始传球，每次传球时，持球人等可能地将球传给其他两人中的任意一人．记第n次传球后排球传到乙手中的概率为． (1)求第3次传球是由乙传给甲的概率； (2)求第n次传球后排球传到丙手中的概率； (3)若随机变量服从两点分布，且，则，记前n次（即从第1次到第n次传球）中排球传到乙手中的次数为Y，求． 51．（2026高二·湖北黄石·月考）甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球a（）个一起放回盒子里，设事件“第k次摸到白球”． (1)现在甲、乙分别从A、B两个盒子中摸球，A盒中有10个白球和30个黑球，B盒中有5个白球和20个黑球，，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小； (2)甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同．请通过计算验证他们的猜测是否正确； (3)若初始有m个白球和n个黑球，求第r次摸球后，累计摸到白球个数的期望．（用m，n，r表示）． （附：若随机变量服从两点分布，且，，） 52．（2026高三·全国·专题练习）某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天随机选择去一家餐厅用餐，以后每天的用餐规律是：如果第1天去了A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.7；如果第1天去了B餐厅，第2天去A餐厅的概率为0.8． (1)求王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐的概率. (2)求王同学在第天去A餐厅用餐的概率． (3)已知随机变量：表示王同学第i天去A餐厅用餐，表示他第i天去B餐厅用餐，满足．设随机变量表示王同学在前n天内去A餐厅用餐的天数，其中，求． 53．（2026·河南周口·模拟预测）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 54．（2026·陕西安康·模拟预测）密码锁是锁的一种，开启时用的是一系列的数字或符号，文字密码锁可分为机械密码锁､数字密码锁等.现有一数字密码锁试验. (1)若该密码锁的密码有三位，每位由数字随机设置，现随机选择一个密码进行开锁试验，求开锁成功的概率； (2)为了增加试验的趣味性，设置A，B，C，D四个互不相同的密码，每次使用其中一个且每次从上一次未使用的密码中随机选择一个，若第一次使用A密码，记第次使用密码的概率为. （i）求； （ii）设前次试验中使用密码的次数为，求. 考点八 期望递推 55．（2026高三·山东潍坊·月考）某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为___________． 56．【多选】（2026·云南昆明·模拟预测）“暮春时节，兰亭雅集再现，文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶的命中率为，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下列选项中正确的是（    ） A．当时，投壶2次游戏结束的概率为 B．当时，投壶3次游戏结束的概率大于投壶4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投壶总次数的数学期望为，则 $