探究二项分布中三种不同类型概率的最大值点-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

中学生教理化餐题皱学经集案破方法 探究江顶项分布中种不同类型概率的最大值点 ■山西省平定县第一中学校 郭俊增 李素波 二项分布在高中数学概率部分有着举足 击目标几次？ 轻重的地位，是应用非常广泛的离散型随机 改编2：如果某位射手每次射击击中目 变量分布之一，所以对于二项分布概率性质 标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立， 的研究也自然成了重中之重。在我们的日常 那么要使得他击中目标8次的概率达到最大 学习过程中，有关考查二项分布的概率最大 值，他应该射击目标几次？ 值点的题目屡见不鲜。下面就跟同学们来一 改编3：如果某位射手每次射击击中目 起讨论这个问题。 标的概率为p,每次射击的结果相互独立，且 一、提出问题 他在10次射击中，恰好击中目标8次，那么 著名的教育家波利亚曾指出：“好问题同 要使得他击中8次目标的概率达到最大值，p 某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到 的值是多少？ 一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就 在上述诸多问题中，一般地，设某射手每 有好几个。”作为学生，在解题活动中要学会 次击中目标的概率为p,那么他进行n次射 采“蘑菇”，善于对一个好问题进行变式改造， 击，恰好击中目标次的概率为f(k,n,p) 如改变题目的条件、结论、叙述方式等，进而 =Cp(1一p)”-,k=0,1,2,…,n。这里含 对问题进行更深层次的探索。说到二项分 有三个参数k,,p,我们自然容易想到，分别 布，我们先来看下列一组问题。 以k,n,力为自变量，研究二项分布中不同类 引例如果某位射手每次射击击中目标 型的概率最值问题。 的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那 二、二项分布中不同类型概率最大值点 么他在10次射击中，最有可能击中目标 的性质探究 几次？ 类型一固定两个参数n,力，以参数k 事实上，这是一道很好的题目。除此之 为自变量 外，我们可以提出更多的问题，来拓展同学们 设随机变量X~B(n,p),则X的分布 的思维，比如： 列为P(X=k)=Cp(1一p)”-,k=0,1, 改编1：如果某位射手每次射击击中目 2,…,n。 标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立， 下面我们利用分布列的表达式来研究 且他最有可能击中目标8次，那么他应该射 P(X=k)的增减变化及最大值。 16 解樱数典照赛方清中学生表理化 记pe=P(X=k),则当k=1,2,…,n 下面我们回到引例中：如果某射手每次 Cp*(1一p)”- 射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结 时， P:1 C'p-1(1-p)"-+ 果相互独立，那么他在10次射击中，最有可 (n一k+1)p_k(1一p)+(n+1)p一k 能击中目标几次？ k(1一p) k(1一p) 二1 解析：本题中，设射手击中目标次数为 (m+1Dp-k(0<p<1)。 X,已知X~B(10,0.8),则该射手10次射击 k(1一p) 笼统地讲，当k<(n十1)p时，p:>ps-1, 中恰好击中目标X次的概率为P(X=k)= p。随k值的增加而增加：当k>(n+1)p时， C。0.8(1-0.8)19-,k=0,1,…,10。 p。<p-1,p。随k值的增加而减小。 而(n十1)p=11×0.8=8.8,根据性质 而k∈{1,2,3，…，n},(n+1)p<n十1， 1,当且仅当k=[8.8]=8时，P(X=k)取得 具体情况如下。 最大值，故最有可能击中目标8次。 (1)若两个参数n,p满足1<(n十1)· 例1某药厂研制了治疗某种疾病的 p<n,则分如下两种情形考虑。 新药，该药的治愈率为p,现用该药给10位 ①若(n+1)p为整数，则当k=(n十1)p 病人治疗，记被治愈的人数为X。 时，p:=p-1,此时这两项均为最大值，即 (1)若X=8,从这10人中随机选2人进 po<p<p:<<P-1=PtipD 行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分 pa+ip+1>…>pm。 布列； ②若(n十1)p不是整数，而k取(n+1)p (2)已知p∈(0.75,0.85)，集合A={k 的整数部分([(n十1)p]表示(n+1)p的整 概率P(X=k)的值最大}，且A中仅有两个 数部分)，则p。是唯一的最大值，即p。< 元素，求E(X)。 p1<p2<…<pm+p]-1<p[(m+1p],pEm+Lp]> 解析：本题第(1)问考查超几何分布，解 pm+1p]+1>…>pn。 题过程略。下面仅分析第(2)问。 (2)若两个参数n,p满足(n十1)p=n, 在第(2)问中，X~B(10,p),其中p∈ 则当k∈{0,1,2,3，…，n-1}时，{p}单调递 (0.75,0.85),且P(X=k)=Cp(1 增，p。-1=pm同时达到最大值，即p。<p1< b)0-,k=0,1,…,10。(n+1)p=11p∈ p:<…<pw-2<pm-1=pw。 (8.25,9.35)。 (3)若两个参数n,p满足(n十1)p>n, 由题意知，有两个不同的k值使得P(X 则随着k由小到大变化，{}一直单调递增， =k)同时取到最大值，由性质1可知，(n十1)p 即po<p1<p:<…<pm-1<pm0 (4)若两个参数n,p满足(n十1)p=1, =1p为些数，故1力=9，解得力=品 同上易得p。=p1>p,>…>pm。 (5)若两个参数n,p满足(n十1)p1, 故E(x)=10×9=90 11=1 易知p。<p1<p:<…<pm。 评注：本题考查了二项分布中，固定两个 综合以上讨论，可以得到性质1。 参数n,p,当以k为自变量时，P(X=k) 性质1若随机变量X~B(n,p),当固 Cp(1一p)”(k=0,1,…,n)同时有两个最 定两个参数n和p,以参数k为自变量时，记 大值点的条件，在学习过程中应引起注意。 p=Cp(1一p)"-,k=0,1,…,n,则最大值 类型二固定两个参数k,p,以参数 点。分以下两种情形： 为自变量 ①当(n+1)p为数时，k。=(n+1)p 记p。=Cp(1一p)",n=k,k十1，k十 一1或k。=(n十1)p； 2,…。 ②当(n十1)p不为整数时，k。=[(n+ 当n=k十1，k十2，…时， 1)p]。 p-1 17 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高二数学2026年4月 n! Cp(1一p)”- 6!(n-)11-p) N个零件，这N个零件中恰有X个的质量 指标位于区间(5.35,5.55)。若X=45,试 C★-1p(1-p)”-1F (n-1)! k!(n-1-k)! 以使得P(X=45)最大的N值作为N的估 n(1-p) 计值，则N为()。 n-k A.45 B.53 C.54 D.90 令n1-p)>1,得n< 解析：首先可由~N(5.40,0.052),求 n一k 得P(5.35<<5.55)=P(4-o<<4+ ①若是整数，则当”<时，p,> p 30)=0.6827十0.9973=0.84. 2 p.1:当n=时，p.=p1:当n>长时， 又X~B(N,0.84),设PN=P(X=45) p pn<pn-1o =C0.845(1-0.84)N-45。 即P:<<D[]-<P月' 53.571,由性质2知，当且仅当N= p[]>p]+1>…。 [] 所以当n-友一1或时，b,取得最大值 [53.571]=53时，PN取得最大值。故选B。 评注：本题要注意审题，k固定不变，N 必者不起数的整数部分[月] 为自变量，要与“概率P(X=k)在k=45时 取得最大值，求N的值”区别开来。前者以 当≤[]时，，当≥ k]+ N为自变量，而后者以k为自变量。 p」 若将例2改编如下：已知条件中，将区间 1时，pn<pm-1。 (5.35,5.55)改为(5.35,5.40)，其余条件均 即p<+<<p[]-<P] 不变，求： P[]>力]+之…。 (1)使得P(k=45)最大的N值； (2)使得概率P(X=k)在k=45时取得 所以当且仅当n 时，p,取得最 最大值时N的值。 大值。 解析：由已知P(5.35<<5.40)=P(4 由以上讨论，可以得到性质2。 -0<5<4+o)=0.6827=0.34135. 性质2若随机变量X~B(n,p),当固 2 定两个参数k和p,以参数n为自变量时，记 故X~B(N,0.34135)。 pn=Cp(1-p)”-专，n=k,k+1,k十2，…。 (1)设PN=P(X=45)=C90.341355× 则当<会时，递增：当>合时。 1-03135).而会 45 0.34135 ≈131.8，由 {pn}递减。其中最大值点n,分以下两种情形： 性质2可知，当且仅当N= 「k7 Lp」 =[131.8]= ①当分为整数时m, 131时，Pv取得最大值。 @当合不为整数时，一[合】。 (2)设P4=P(X=k)=C0.34135× (1-0.34135)N-,本题中对应(n+1)p= 例2已知X~N(,o),则P(u 0.34135(N+1),由性质1可知，要使P(X o≤X≤μ十o)=0.6827,P(h-2o≤X≤H+ =k)的最大值点为45，需0.34135(N+1) 2o)=0.9545,P(H-3a≤X≤4+3a)= ∈[45,46]，则N∈[130.83,133.76]。而N 0.9973。今有一批数量庞大的零件，假设这 为整数，故N可取131、132、133三个值。 批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从 由此可见，两种类型的差别之大，不容 正态分布N(5.40,0.05),现从中随机抽取 忽略。 18 解登餐来有青中学生表理化 类型三固定两个参数n,k,以参数p 率都为(0<p<1),且各件产品是否为不合 为自变量 格品相互独立。 在前面两个类型中，不论以k为自变量 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的 还是以n为自变量，本质上都是解决离散函 概率为f(p),求f(p)的最大值点p。 数的最值，我们均采用了相邻两项作商的思 (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰 想。而当固定n,k两个参数，以参数p为自 有2件不合格品，以(1)中确定的p。作为p 变量时，P(X=k)=C(1一p)"-(0<p< 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若 1)为关于p的连续函数，可以借助导数知识 有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件 来解决，具体如下。 不合格品支付25元的赔偿费用。 记f(p)=Cp*(1一p)-(0<p<1),则 ()若不对该箱余下的产品作检验，这一 f'(p)=C[kp-1(1-力)”--(n一k)· 箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X, p(1一p)”-1-门 求E(X): ()以检验费用与赔偿费用和的期望值 =nCb11-)1(货-b) 为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品 ①若0<k<,则当p∈(o,)时， 作检验？ 解析：本题只分析第(1)问。第(2)问考 ”(p)>≥0，f(p)单调递增：当∈（务，1）时， 查数学期望，同学们可自行解答。 在第(1)问中，易得f(p)=Cp(1一 f'(p)<0,f(p)单调递减。所以当且仅当 力=冬时f(p)取得最大值。 、p)。由性质3可知，当力==0三0.1 时，f(p)取得最大值，即p。=0.1。 ②若k=n,则f(p)=p”单调递增，当 三、知识迁移 p~1时，f(p)~1,f(p)无最大值。 ③若k=0,则f(p)=(1一p)”单调递 通过以上分析，我们分别以，n,p为自 变量，探究了三种不同类型的二项分布概率 减，当p~0时，f(p)→1，f(p)无最大值。 的最大值点。事实上，能够解决一类问题的 由上面的讨论，可以得到性质3。 性质3若随机变量X~B(n,p),且 方法才是好方法，除了掌握好二项分布本身 的性质，在学习中更要注重解题方法的迁移， P(X=k)=Cp*(1一p)-,k=0,1,…,n。 我们还可以用同样的方法（前后项比较的思 当固定两个参数n和k,以参数p为自变量 想)来解决数列的最值、二项展开式中的系数 时，记f(p)=Cp(1一p)”-,0<p<1。 的最值，以及超几何分布等其他离散型分布 ①若0<：<n,则当力∈(Q,)时， 的概率最值问题。特别地，我们可以将不同 知识背景下能够体现统一思想方法的内容放 f(p)单调递增：当∈（会1）时，(p)单河 在一起，通过对比学习提高解题能力，提升数 递减。其中最大值点p,= 学素养。 在日常解题过程中，我们应注重其中所 ②若k=0或k=n,则p。不存在。 包含的基本知识及蕴含的数学思想方法，这 例3某工厂的某种产品成箱包装，每 样才能活学活用，将所学知识灵活地迁移到 箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对 其他间题中。特别是在学习概率内容时，有 产品作检验，若检验出不合格品，则更换为合 很多概率与数列相结合的综合问题，通过这 格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作 些问题的学习可以很好地提升我们的解题能 检验，再根据检验结果决定是否对余下的所 力和数学素养。 有产品作检验，设每件产品为不合格品的概 (责任编辑徐利杰) 19