2025年“强基计划”考试部分数学试题选解-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

如识绕学名师理基课育中学生教理化 高二数学2026年4月 2025年“强基计划”考试部分数学试题选解 ■江南大学理学院 谢广喜 2025年各重点高校“强基计划”考试的数学 则帮助我们简化了代数逻辑推理的过程。 试题大多注重考查考生的数学思维能力，有力 变式1：(2025年浙江大学“强基计划”试 地协助了拔尖创新人才的选拔。从知识层面 题)已知之1，之2，之8都属于C,且之1十=2， 看，“强基计划”考试偏向于考查复数的三角形 |x1|=x21=√5引之|≠0（注：此处的“≠0”为 式、基于恰当变换求不等式最值、一元高次方程 的韦达定理、整数的基本性质等普通高考较少 本文作者所加)，求 。 考查的内容。“强基计划”考试对考生的数学思 解析：令1=√5r·(cos01+isin01),2 维能力要求很高，下面我们以其中的部分数学 =√5r·(cos02+isin02),z3=r·(cos03+ 试题为例，剖析这些试题的求解方法。 isin0,),其中实数r>0。 一、复数背景下的基本概念与运算 由21十28=之2，得之2一之1=之8。令2：= 例1(2025年清华大学“强基计划” OZ,(i=1,2,3),注意到|z1=|z21,取Z1Z2 试题)设之1，之2，…，之10为方程x10十(x一1)0 的中点为K,则Z1Z,⊥OK,基于复数减法的 =0的十个复数根，则21 1 =。 几何意义得OZ⊥OK。 解析：直接验证可知x=0不是原方程的 进一步联系相应复数的辐角，得十 2 解，故x≠0，则原方程等价化为(-)》”- -0,=受+x(k∈20，则0十0，一20，=元十 -1=cosr+isinπ。 2kπ(k∈Z)。 于是利用复数的三角形式开方得日 故4=5eos(0,+0,)+isin(0,+0,) 之8 cos 203+isin 20, 1-(eoe8+n生8).质-0,1 10 5[cos(01+02-20,)+isin(01+02-203)]= 2,…,9。 5。 评注：注意到|z1|=z?|,基于等腰三角 因此 -(无)月 形的底边中线三线合一，得到Z,Z2⊥OK是 [1-(o8+n8 即 极为关键的一步。 二、利用待定系数法求表达式的最值 含是-10-空(m8r+o8到 10 10/ 例2(2025年清华大学“强基计划” 高(o十2张x+in+2必s) 试题)已知实数x,y,之满足x2+y2十2十 5 5 xy+yz十x≤1，则x2十y2十2的最大值为 基于复向量加法的对称性，可以得到 多(os叶名r+iin+2kr 解析：注意到(x十y十z)2=x2十y2+x 0, 10 10 +2xy+2y2+2之x,于是将目标表达式x2十 三(o+26r+in不+2x]） 5 5=0。 y2+e2展开为x2+y2+之2+xy+y≈+x 与(x十y十之)2的线性组合。 于是}=10 令x2+y2+之2=1，(x2+y2+之2+xy十 评注：这道题着重考查复杂情景下的复数 y2+x)+入2(x十y+之)2，其中入1，入2是与 的运算，在乘除背景下，用复数的三角形式或者 x,y,之无关的待定常数，则x2十y2十之2= 指数形式，运算会比较简便，而恰当的代数变换 (入1+入2)(x2+y2+x2)+(入1+2入2)(xy+yz 9 知识篇名师强基课堂 中学生数理化高数学名202年4月 试题)已知x,y,之>0，且3x2十y2+x2=1, 十x),于是得 入：=2， 入2=一1。 则y十的最小值为一。 故x2+y2+~2=2(x2+y2+z2+xy+ Tyz y之十x)一（x十y+心)2≤2-0=2，容易验证 解析：已知x,y,>0,注意到十的分 不等式取等号时x2+y2十之2十xy十yz十x 子、分母都含有变量y,于是我们暂时视表达 =1且(x十y十x)2=0。 式中的y为“常量”。 易知(x,y,之)=(1，一1,0)为取等号的 由题意得3x2+e2=1一y2>0,将目标 情形之一，故x2十y2+之2的最大值为2。 表达式中的x,之与条件等式3x2十之2=1一 评注：这道题考查代数恒等变换能力及 不等式的基本概念。值得注意的是，在对称 y>0联系起来，得y+1=3·y+1≥ √/3x之 y 的条件下，当x2十y2十2取最值时，坐标分 3 2√3 量并不一定是对称的。例如本题，(x,y,之) .y+1= .y+1 2(3x2+e) y 1-y2 y =(1,一1,0)为取等号的情形之一，由对称性 知，共有3！一6（种）取等号的情形，但是每 2W3 一种取等号条件的坐标并不具有对称性。 y1其中0<y<1。因为0<y<1,所 变式2：(2025年北京大学“强基计划”试 题)已知x,y,之为不全为零的实数，则 以1故，≥8海。 x+y十之的最大值为。 xy+2yz 当且仅当x=2. 1 ”3，x=。寸号戊 4 解析：注意到分子中的变量x,之与变量 因此所求的最小值为8√5。 y都“纠缠”着，于是将分母中y2的系数1按 评注：这道题是在简单的多元背景下，求 一定比例裂开为两个正数61,62之和。 有关表达式的最值，求解的关键步骤在于灵 则x2+61y2≥2√6xy,6y2+之2≥ 活巧妙地放缩变换。 2√62y。联系分子中xy的系数与yz的系数 变式3：(2025年山东省预赛试题)已知 的比例关系，应使26：2√62=1：2，即6： a,b,c>0,且abc>1,则ac(a+b+c+8》的 abc-I 1 62=1:4。而6，十02=1，则6，= 最小值为。 故x2+y2+2≥2y+2y ,即 解析：由题意知6c(ab十c+8》>0. abc-1 √5 因为a,b,c>0,所以a十b十c≥3·abc> xy+2yz +y 空，易知当25x=2y=5 0,故abc(a十b+c十8)abc(3·abc+8) abc-1 abc-1 ≠0时等号成立，故所求最大值为 2 令t=abc>1,则原问题转化为求一元函数 评注：我们也可以将类似的思路应用于 g)=(31十8》(>1)的最小值 t3-1 向量背景问题，例如2025年北京大学“强基 计划”试题：已知向量a,b满足2a一b|=a -，则g'() 注意到g(1)-31十8+31+8 +2b|=1,求|3a+4b|的最大值。参考答案 =3+31-1)-(31+8)·3 为详细解题这程略。 (t8-1)2 。令g'(t)= 0,方程两边去分母得3(t3一1)2+3(t3一1)一 三、“冻结变量法”（放缩消元法）求表达 (3t+8)·3t=0,化简得(t3-1)2-2(t3-1) 式的最值 -812一3=0(*)。注意到(t3-1)2-2(13 例3(2025年清华大学“强基计划” 1)一3可因式分解，并产生因式t3,则进一步 10 知识篇名师强基课堂中学生数理化 高二数学2026年4月 对（￥）恒等变换得t(t3一4)一8=0，即(t 16)-4t+8=0,也即(t-2)[(t2+4)(t十2)-4] 解析：由反余弦函数的定义得arccos2 =0。因为t>1,所以(t2+4)(t+2)一4>0，则 4。记a=arccos 2 .B-arccos-3 ,则 t-2=0,t=2。当t∈(1,2)时，g'(t)<0, √13 34 g(t)单调递减；当t∈(2，十∞)时，g'(t)>0, 由反余弦函数的定义，且0<2 <1,0< g(1)单调递增。故所求的最小值为g(2)一 13 16,当且仅当a=b=c=2时取等号。 3 √34 <1,知0<a<受，0<<空。则eosa 四、考查整数的基本性质、不定方程 2 3 例4(2025年中国科学技术大学“强 ,进而sina= 3 /13 同理cosB=3 基计划”试题)方程x2十xy十y2=4的整数 5 sin B= 解的组数为。 34 解析：先考虑x,y至少一个为零的情 cos(a+B)-cos acos B-sin asin B- 形。若x=0,则y=士2；若y=0,则x= 2 大、3 3×5 9 士2。这就有了4组整数解。下面仅考虑 w/13/34 √1 ,则 34 /13×34 x·y≠0的情形。 9 a+3=π-arccos ,也即a十B=π一 直接配方，将原方程x2十xy十y2=4等 /13×34 价变为(+之)°+，=4，利用实数平方的 19 arctan 9 由反正切函数的定义域与值域特征可 非负性及xy≠0，得0<子<(+之)广十 知，一 5 <arctan 14 -arctan g)。则 子=4，则0<y<9≈5.3. 519 9 充分利用y的整数特征，得1≤y2≤5， tan(arctan -arctan 9 5 149 即1≤|y≤√5。再次利用y的整数特征，得 1+× |y=1,|y=2。当y=1时，x不是整数， 45-14×19 -221 5 14×9+5×19221 -1,所以arctan 舍去；当|y|=2时，x有整数解，即x=2, 19 y=一2或者x=一2，y=2。 -arctan- 9 故共有6组整数解。 评注：求解这类不定方程整数解（正整数 于是所求值为牙十一至=。 解、非负整数解等)问题的总体思路是：一方 评注：这道题考查反三角函数（反正切、 面，要用好整数的基本性质，例如奇数、偶数、 反余弦)的基本概念，只要考生具有反三角函 质数、合数等的特，点；另一方面，要充分结合 数的基础知识，敏锐地察觉arccos 1=π，进 具体问题的具体结构特征，在整数集合的前 √24 提下，进一步“压缩”有关变量的取值范围，当 一步利用两角和的余弦（为什么是余弦？因 有关变量的取值范围足够小时，即可对有关 为余弦函数在(0，π)上是单调的)，并注意到 变量进行分类讨论，逐一验证了。 相应反正切函数的值域特征，就不难得到最 五、反三角函数背景下的求值或证明 后的结果了。 例5(2025年东南大学“强基计划” 六、巧用三角换元法解题 试题)求值：arccos 1 2 例6(2025年北京大学“强基计划” √2 arccos 13 试题)椭圆x2一2xy十2y2=4的面积为 3 5 arccos 34 +arctan 14 解析：将x2一2xy+2y2=4中的(x,y) 11 中学生教理化离数学名226年月 知识篇名师强基课堂 变为（一x,一y),原方程形式不变，表明椭圆 t∈(1,2]，易知g(t)是减函数，所以g(1)min 上的点关于原点中心对称。于是我们探究 =g(√2)= 2 (√2-1)-1=2+√2。 √x十y的值域即可，其最大值与最小值分 2-1 别对应椭圆的长半轴与短半轴。 将x2-2xy十2y2=4配方得(x-y)2+ 故f(0)=-f(T）=2+2,即实数飞 3y2 =4,联想到三角恒等式，令 的最大值为2十√2。 [x-y=2cos 0, [x=2cos 0+2sin 0, 变式5：(2025年北京大学“强基计划”试题) 即 则 y=2sin 0, y=2sin 0, 已知2x2+y2=1,则x+2y的最大值为 。 Vx2+y2=v(2cos 0+2sin 0)2+(2sin 0)2 ccos 0, 解析：令 √2 易得x+2y= √/4+4sin20+4sin0 y =sin 0, √/6+4sin20-2cos20。 易知三角函数式Asin a+Bcos a∈ cos0+2sin0,其最大值为 +22= √2 [-√A+B7,√A+B],于是√6-2√5≤ 3V2 √x+y2≤W/6+25,即V5-1≤w√x2+y 2 ≤5+1。 七、特定条件下的计数问题 故由椭圆面积公式S=πab得，S=π（√5 例7(2025年山东大学“强基计划" +1)(5-1)=4π。 试题)将10个不同的球放入编号1,2,3的三 评注：本题考查非标准椭圆的面积，关键 个盒子，要求每个盒子内的球数不少于盒子 在于挖掘出原点是该椭圆的对称中心，进而 的编号，求放法的种数。 结合椭圆的几何意义，将问题归结为 解析：设盒子1放x,个球，盒子2放x2 个球，盒子3放xa个球，由已知得x1≥1， √x十y的值域问题，进一步运用三角换元、 x2≥2，x3≥3，且x1十x2十x3=10。 极坐标换元等处理。 令m1=x1-1≥0，m2=x2-2≥0，mg= 变式4：(2025年东南大学“强基计划”试 题)若a,b,c>0,且a2十b2=c2,求实数k的 x3一3≥0，则x1十x2十x3=10的正整数解等 价转化为m1十m2十m,=4的非负整数解，易 最大值，使得+6十c≥恒成立。 abc 知这个方程有C+-,=15(组)非负整数解。 解析：由题意知a,b,c>0,且a2十b2= 由于各个球不一样，则每组解(m1,m2, c2,联想到三角恒等式cos20+sin0=1,可令 10! m,)对应(m1+1D1(m+21(m,+3种 a=cos0,b=csin0,0∈(0.），将这些关 放法（分母中每个阶乘对应每个盒子内的球 系式代人a+b+c 数，它们之间任意交换不增加放法种数)。 ≥，则原问题转化为求 abc 10! f(0)= cos0+sim0+1,0∈(0，)的最 故∑ (,)m1+1D！m+2)！(m,+3) sin 0cos 0 =34800。 小值。 评注：15种方法的具体情形如下：(4,0， 令t=sin0+cos0,0∈(0,2)，此时1∈ 0)及其交换，共3种；(2,2,0)及其交换，共3 种；(1,1,2)及其交换，共3种；(1,3,0)及其 (1,√2]，则sin0cos0=2。于是f(a)= 交换，共6种。 (责任编辑赵倩) 2 g() t-1 -1-(1-1)-1, 2 12