第8章 概率（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高二选择性必修第二册

第8章 概率（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分布列概率之和为1即可求解. 【解析】由题意可得解得． 故选：B. 2.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【解析】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 3.对于事件A，B，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【解析】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 故选：A 4.已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【解析】由题意知， 则， 故选：B. 5.已知的分布列如下表所示，设，则（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用分布列性质求参数，利用期望公式求，再利用线性关系求，即可求出答案. 【解析】利用概率和为，可得 则根据题意得：， 因为，所以， 故选：D. 6.已知一个盒子里有5个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设相应事件，利用组合数结合条件概率公式运算求解即可. 【解析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球， 则，， 所以所求事件的概率. 故选：C 7.产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（ ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【解析】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D. 8.甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，结合二项分布方差公式运算求解. 【解析】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则 【答案】BC 【分析】利用方差的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项. 【解析】对于A选项，随机变量和满足，且，则，A错； 对于B选项，随机变量，， 则，B对； 对于C选项，因为随机变量，则，C对； 对于D选项，在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为， 所以，D错. 故选：BC 10.已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ） A. 事件与事件相互对立 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】BCD 【分析】利用对立事件的概率公式判断A；利用条件概率公式与对立事件的概率公式求得，从而利用独立事件的概率公式判断B；利用事件的概率公式判断C；利用条件概率公式判断D. 【解析】对A，因为，不满足， 所以事件与事件不是相互对立事件，故A错误； 对B，根据题意可得， 由条件概率公式可得，， 又，，所以， 又易知，所以； 即满足，所以事件与事件相互独立，故B正确； 对C，易知，故C正确； 对D，由条件概率公式可得，故D正确. 故选：BCD. 11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ） A. 当时， B. C 随机变量，当，都减小时，概率增大 D. 随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 【答案】ABD 【分析】由定义即可判断A；根据结合正态曲线的对称性，可判断B；根据正态分布的准则可判断CD. 【解析】对于A：当时，，故A正确； 对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确； 对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴， 根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么__________. 【答案】 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【解析】由题意可得，. 故答案为：. 13.最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为___________- 【答案】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【解析】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故答案为： 14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 ①. ②. 或 【分析】（1）先计算得分和得分的概率，再利用独立事件的概率公式列出分布列； （2）记得1分的次数为，则，利用求二项分布的概率最值解出，再根据得出或，则可求的值. 【解析】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为， 因的可能取值为2，4，6， 则，，， 则随机变量的期望值． （2）记得1分的次数为，则得3分的次数为， 所得总分为， 拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则， 若取最大值，则，， 则，解得， 又，，则或， 当时，； 当时，． 故答案为：；或 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用离散型随机变量分布列的性质可求得的值； （2）由计算可得结果. 【解析】（1）根据分布列的性质，所有概率之和等于1，即：， 将题目给出的概率公式代入，得：， 化简计算：，通分得到：，解得：. （2）， 将的值代入概率公式，得： ，所以. 16.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，. 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 006 期望. 17.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64； (2)1587； (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【解析】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 18.同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）两队积分相等的概率小于 【分析】（1）计算6场比赛甲赢的频率即可； （2）利用第1问求出的概率，分类列出其分布列，再求期望； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，求两者之间的关系，将问题转化为时的概率，再结合第2问可求其概率. 【解析】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 19.为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ） 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出； （ⅱ）记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的 数学威望，由题意可得，解不等式组即可得出答案. 【解析】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”． ， 即学生甲该题得分的概率为． （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，， ， ， ， 所以的分布列为 则数学期望． （ⅱ）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，解得：， 故的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 概率（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 A． B． C． D．或 2.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3.对于事件A，B，，，，则（ ） A. B. C. D. 4.已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 5.已知的分布列如下表所示，设，则（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 6.已知一个盒子里有5个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7.产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（ ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 8.甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则 10.已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ） A. 事件与事件相互对立 B. 事件与事件相互独立 C. D. 11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ） A. 当时， B. C 随机变量，当，都减小时，概率增大 D. 随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么__________. 13.最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为___________- 14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 16.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 17.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 18.同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 19.为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $