正方体的玩法丰富，乐趣十足&正三棱台中的线面角的“一题多解”-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

创新题追根溯源 高一数学2026年4月 中学生数理化 正方体的玩法丰富，乐趣十足 ■袁有亮 正方体是由六个完全相同的正方形围成 评注：解决此类问题的关键是根据“切 的立体图形，也叫立方体或正六面体。正方 点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问 体有6个面，每个面是完全相同的正方形：正 题转化为平面问题来解决。 方体有12条棱，每条棱长都相等，相邻的两 二、点线面的位置关系 条棱互相垂直。 例2如图4所示，在正方体ABCD 一、正方体的外接球、内切球、与各条棱 A,B,C1D1中，O为BD的中点，直线AC∩ 都相切的球的关系 平面C1BD=M,则下列说法错误的是()。 例1现有三个球，第一个球内切于正 D 方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第 三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个 球的表面积之比是 解：设正方体的棱长为a,这三个球的半 径分别为r1,r2,r3,三个球的表面积分别为 S1,S2,S3 图4 ①正方体的内切球球心是正方体的中 A.A,C,C,A1四点共面 心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球 B.C1,M,O三点共线 心作截面，如图1所示，则2r1=a,可得r1= C.M∈平面BB,D1D 2,所以S:=4rr7=ra2。 D.A,C与BD异面 解：对于A,AA1∥CC,且AA1=CC1,所 以A,C,C1,A1四点共面，A正确。对于B, 直线A1C∩平面C1BD=M,所以M∈平面 C1BD。因为M∈直线A,C,又A,CC平面 ACC1A,,所以M∈平面ACC1A,。因为O 为BD的中点，BDC平面C,BD,所以O∈ 图1 图2 图3 平面C,BD。因为底面ABCD为正方形，所 ②球与正方体的各条棱的切点为每条棱 以O为AC的中点。因为ACC平面 的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如 ACC1A1,所以O∈平面ACC1A:。又C1∈ 图2所示则2r2=2a,可得r,=号a,所以 平面ACC1A1,C:∈平面C,BD,所以平面 C1BD与平面ACC1A1相交，且点C1,M,O S2=4πr=2πa2。 在交线上，所以C1,M,O三点共线，B正确。 ③正方体的各个顶点在球面上，过球心 对于C,因为平面CBD∩平面BBD1D= 作正方体的对角面得截面，如图3所示，则 BD,M∈平面C,BD,而M氏直线BD,所以 M任平面BB1D1D,C错误。对于D,直线 2r。=3a,可得r二3a,所以S=4号 A1C∩平面ABCD=C,直线BDC平面 3ra2。 ABCD,M任BD,所以直线A,C与BD为异 综上可得，S1:S::S,=1：2:3。 面直线，D正确。应选C。 35 创新题追根溯源 中学生数理化高新数学2026年4月 评注：解题时，注意文字语言、符号语言 OC,,所以∠C,OC即为二面角C1-BD-C的 和图形语言的相互转化。 平面角，且为锐角。设正方体ABCD 三、异面直线所成的角 例3如图5所示，在正方体ABCD AB,CD,的棱长为2，则OC=号AC=2, A1B,C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的 所以tan∠C,OC= =√2，所以二面 角等于 D 角C1-BD-C的正切值为√2 评注：解题时，结合题意可判断二面角 C1-BD-C的平面角是锐角。 五、截面问题 例5如图7，在棱长为2的正方体中， A,B,C均为顶点，P为所在棱的中点，若 PC∥平面a,且A,B均在平面a内，则平面a 图5 截正方体所得图形的面积是( )。 解：由ABCD-A1B1C1D1为正方体知 B A,B∥D1C,所以∠AD1C是直线A1B与 AD1所成的角。因为三角形ACD1是等边 。。。 三角形，所以∠AD,C-受，所以直线A,B与 。。 AD,所成的角为否 评注：求异面直线所成角的三个步骤： 图7 作，通过作平行线得到相交直线；证，证明所 A.2W2 B.4C.25D.42 作的角为异面直线所成的角（或其补角）；求， 解：设H,F分别为所在棱的中点 解三角形，求出所作的角。异面直线所成角 (如图7)，则平面ABFH为平面a。 的范周是o,哥引 因为四边形APCF为平行四边形，所以 AF∥PC。又AFC平面ABFH,PC史平面 四、二面角问题 ABFH,所以PC∥平面ABFH。因为正方 例4如图6所示，在正方体ABCD A1B,C1D1中，O是BD的中点，则二面角 体的棱长为2，所以AH=BF=√2十1= C,-BD-C的正切值是 √5，AB=HF=2,AF=PC=√/22+2+1 D =3,所以AH2+HF2=AF2,所以平行四边 形ABFH为矩形，所以S矩形ABFH=AH·HF =√5×2=25。应选C。 评注：在立体几何中，截面是指用一个平 D 面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、 棱锥、长方体、正方体等)所得到的平面图形。 图6 六、点到平面的距离 解：连接AC交BD于点O,则AC⊥ 例6在棱长为2的正方体ABCD BD,即OC⊥BD。因为C1C⊥平面ABCD, A1B,C1D1中，E,F分别是AB,CC1的中 BDC平面ABCD,所以C,C⊥BD。又 点，则点B到平面B,EF的距离是。 OC∩C1C=C,所以BD⊥平面COC。 解：已知正方体ABCD-A1B,C1D1,如 因为OC1C平面C,OC,所以BD⊥ 图8所示。 36 高一黄新鸿经丽膏中学生表理化 D 不超过正六棱锥的内切球直径。而正方体的 外接球直径为其体对角线的长，即为3a,所以 Ba≤2，=15-3 2 所以a≤52，所以正 方体楼长的限大值为5。 图8 评注：要使正方体能在该正六棱锥内任 意转动，只需正方体的外接球直径不超过正 设点B到平面B,EF的距离为h。易得 六棱锥的内切球的直径即可。 B1F=B1E=√/1+22=√5，EF 1 √EC+FC=V6,S△B=2X6X 在Rt△AOB中，AO⊥OB,∠OBA= /w5)2-(6)=I 60°，OB=√3，现将Rt△AOB以直角边AO 2 2 为轴旋转一周得到一个圆锥，如图9，点C为 由等体积法得VB,EF=VFB,E,所以 圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=90°。 h S△B,BEX2 2×1X2X242I S△B,F √21I 21 2 评注：点到平面的距离是指空间中一点 到一个平面的垂线段的长度，即空间中一点 到一个平面的最短距离。 图9 图10 七、最值问题 (1)求圆锥的表面积。 例7在底面边长为1、高为√3的正六棱 (2)若一个棱长为a的正方体木块可以 锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥 在这个圆锥内任意转动，求a的最大值。 内任意转动，则正方体棱长的最大值是。 提示：(1)在Rt△AOB中，由AO⊥OB, 解：由正六棱锥的底面边长为1、高为 ∠OBA=60°，OB=√3，可得AB=2√3。因 √3，可得侧棱长为2，所以正六棱锥的底面积 为圆锥的底面圆面积S:=π（√3）=3π，圆锥 5=6××1=3,侧面面积5，=6× 的侧面面积S2=π×√3×2√3=6π，所以圆 4 锥的表面积S=S1十S2=9π。 2 ,所以正六棱锥 (2)当正方体的外接球在圆锥内，与圆锥 相切时a的值最大。如图10，球心G在AO 的体积V= 2 上。在平面AOB内作GH⊥AB于H。设 3 。设正六棱锥的内切球的半径为，则正 球的半径为R。易得OA=√AB一OB= 3。在Rt△AGH中，由∠OAB=30°，可得 六棱锥的体积V=3×正六棱锥的表面积× R=2(3一R),解得R=1。因为正方体的外 r=3×(S+S:)×y=3 接球的直径为2R=3a,所以a=2.a (5+3)-2解得r=8 2 2 4 的展大价为。 设正方体的棱长为a,要使正方体能在该 作者单位：湖北省巴东县第一高级中学 正六棱锥内任意转动，则正方体的外接球直径 (责任编辑郭正华) 37 创新题追根溯源 中学生数理化离新数学粮2026年4月 正三棱台中的线面角的 “一题多解” ■徐得富 题目：(2024年高考全国新课标卷)如图 AD-AM-MN=23-x,可得DD1 ,已知正三棱台ABC-A,B,C的体积为3， VDN+DN=√25-x)+ 3。 AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成 角的正切值为( )。 由等腰梯形C,B得BB-(2)'十 DD.m+-4+25-)+ ,解得x 13,所以AA与平面ABC所成角的正切值 为an<AAM-点-1。应进B 图1 方法2：补形十相似形十线面角的定义 A B.1 C.2 D.3 分析：将正三棱台补全为正三棱锥，利用 相似比和体积公式求得棱锥的高，结合线面 方法1：作高十解梯形十线面角的定义 角的定义即得结果。 分析：分别取BC,B1C1的中点D,D1, 解：将正三棱台ABCA,B1C1补形成正 利用正三角形的性质，求出梯形A1D1DA的 三棱锥P-ABC,如图3所示。 上、下底边长，由棱台体积公式求出梯形的 高，结合线面角的定义即得结果。 解：分别取BC,B1C1的中点D,D1,如 图2所示。 图3 易知A1A与平面ABC所成的角即为 图2 PA与平面ABC所成的角。 由AB=6,A1B1=2,结合正三棱台的 因为阶品=言所以 VP.A B c 上、下底面为等边三角形得AD=3√3，A1D, 1 =5,所以S△Ae=2X6X3V5=9V3, 27,所以VxA马G= -竖，所以 27 Vr-ABe=18。 1 S△ABC,=2×2X3=5。设正三楼台 设正三棱锥P-ABC的高为d,则VpAC= ABC-A1B1C1的高为h,则VACA,BC= 司dx号×6x6×g 1 2 18,解得d=2√3。取 吉9+5+0sx5)h-号解得么= 底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且 43 。分别过点AD,作底面的垂线，垂足 AO=2√3，所以PA与平面ABC所成角的正 分别为M,N。设AM=x,则AA,=BB= 切值为m∠PA0需品-1.应选B √+。由DN 作者单位：四川省蓬安中学校 VAM2+AM2- (责任编辑郭正华) 38