复数核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

中学生数理化 核心考点演练 高一数学2026年3月 复数核心春点强业训练 ■刘大鸣（特级教师） ●●●●● 一、选择题 A.-1 B.0C.1 D.2 1.已知a,b∈R,a十bi=1一i(i为虚数 10.已知a,b∈R,a+3i=(b十i)i(i为虚 单位)，则a十b=()。 数单位)，则()。 A.0B.1C.2D.-2 A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 2.已知i是虚数单位，复数x满足之一i C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3 则复数：的共钜复数为( 3+i )。 11.在复平面内，(1十3i)(3一i)对应的点 位于()。 A.2B.-2 C.2i D.-2i A.第一象限 B.第二象限 3.若一个复数的实部和虚部相等，则称 C.第三象限 D.第四象限 这个复数为“等部复数”。若复数之=(2十 12.已知a∈R,复数之=a十2i,x2一2z ai)i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数乏十 是实数，则|=( )。 ai在复平面内对应的点在( )。 A.5 B.10 C.√5 D.√10 A.第一象限 B.第二象限 13.若复数之满足2(2+乏)=i(1一之)，则 C.第三象限 D.第四象限 之在复平面内对应的点在()。 4.已知复数x1=a十i,a∈R,x2=1一2i, A.第一象限 B.第二象限 且1·2为纯虚数，则之1等于(）。 C.第三象限 D.第四象限 A.3B.2 C.√5D.√6 5.已知m,n为实数，1一i(i为虚数单 14.复数=2一i 2+则之一=( )。 位)是关于x的方程x2一m.x十n=0的一个 A-号 C.i 8 根，则m十n等于( )。 D.5 A.0 B.1 C.2 D.4 15.已知复数之=a十i(a>0,i是虚数单 6.已知复数1与之=3十i在复平面内 位)，若=而，则三的虚部是（ )。 对应的点关于实轴对称，则2等于〔 ）。 A品 B-8 c n A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 16.复数一，则：的共轭复数的虚 2-i 7.设复数之满足|之一1十i=2,之在复 部为( )。 平面内对应的点为(x,y),则( )。 4 A.(x十1)2+(y-1)2=4 B.6 C. D.i B.(x十1)2+(y+1)2=4 17.已知复数之=a十i(i是虚数单位)是 C.(x-1)2+(y-1)2=4 纯虚数，则|=( ) D.(x-1)2+(y+1)2=4 A.0 B.1 C.2 D.√2 8.已知复数之1，之2和之满足|x1|=|x2 18.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗 =1,若1z1一之，1=1之1一1=22一x,则1之 发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公 的最大值为()。 式：[r(cos0+isin0)]”=r"(cosn6+ A.2√3 B.3 C.3 D.1 isin ne0)。根据复数乘方公式可知，复数 9.已知复数1十i(2一a一ai)为纯虚数， 则实数a的值为( [-2(eos+isin号)】 在复平面内对应 )。 22 南一数学梳心青桌费情中学生表理化 的点位于()。 x∈R A.第一象限 B.第二象限 B.若复数之∈R,则乏∈R C.第三象限 D.第四象限 C.若之1十x2∈R,则1之2∈R 19.(多选题)已知i为虚数单位，则下列 D.若复数1，之2满足1乏2∈R,则12 结论中正确的是()。 ∈R A.i+++=0 二、填空题 B.3+i>1+i 25.写出一个同时满足①②的复数≈= C若复数x为纯虚数，则|x2=之2 D.复数一2一i的虚部为一1 ①x3=乏；②xR。 20.(多选题)下面关于复数的结论正确 的是()。 26.在复平面内，复数：与己对应的点 A若(2-i)=,则：的实部为日 关于虚轴对称，则之=一。 27.已知|x=1,则|x一2一2i(i为虚数 B.若复数之满足】∈R,则之∈R 单位)的最大值为」 28.若实系数方程x2十ax十b=0的一 C.对任意复数x恒有：·乏=乏2成立 个根是i,则a十b= D.若复数之1,22满足12∈R,则之1= 21.(多选题)已知i为虚数单位，以下四 29,若复数什是纯虚数，则实数a的 个说法正确的是()。 值是一。 A++-0 30.已知关于x的方程x2+x+4十31 一0有实数根，则复数≈的模的最小值为 B.-1-3i>-3-3i C.若x=(1十2)2，则复数x对应的点位 三、解答题 于第四象限 31.在复平面内，复数之=(m2一m一2) D.已知复数x满足|之一2=3，则之在 十(m2一3m十2)i,分别求出满足下列条件的 复平面内对应点的轨迹为圆 复数之。 22.（多选题)已知复数x1=3i,之2=1一21 (1)在虚轴上。 (1为虚数单位)，则( )。 (2)在实轴的负半轴上。 A.1=-3i (3)在直线y=x上。 B.≈2的虚部为一2i 32.已知复数之=4十ai,其中a是正实 C.|z1>|x21 数，i是虚数单位。 D.三在复平面内对应的点位于第四象限 (1)如果(3a十ai)为纯虚数，求实数a 之2 的值。 23.(多选题)已知复数=一2+，云 (2)如果a=2,之1=1一是关于x的方 为w的共轭复数，则()。 程x2+bx十c=0(b,c∈R)的一个根，求b十c A.w·w=1 的值。 B.w2十o=w十0 33.已知复数x=(m一1)十(m十1)i(m C.1+w+w2=0 ∈R)。 D.w十w2+w3+…十u21=1 (1)若之在复平面内的对应点位于第二 24.(多选题)已知复数之，之1，之2均不为 象限，求m的取值范围。 0,则下列说法正确的是()。 (2)若之为纯虚数，设x8,x2一之在复平 A.若复数之满足之2∈R,且x2>0,则 面内对应的点分别为A,B,求向量OA在向 23 中学生款理化款心数摩滴等年3月 量OB上的投影向量的坐标。 9.提示：因为1十i(2一a一ai)=(1+a) 1十a=0, 参考答案与提示 十(2一a)i为纯虚数，所以{ 2-a≠0， 解得a 一、选择题 =一1。应选A。 1.提示：因为a十bi=1一i,所以 10.提示：因为a+3i=(b+i)i=一1+ bi,所以a=一1，b=3。应选B a=1, b=-1, 所以a十b=0。应选A。 11.提示：因为(1+3i)(3一i)=6+8i,所 以对应的点在第一象限。应选A。 2.提示：因为之一i= 3+i(3+i)(1-i) 1+i(1+i)(1-i) 12.提示：之2-2x=(a+2i)-2(a十2i) =4一21=2一1，所以之=2，所以复数之的共 =a2-4+4ai-2(a+2i)=a2-2a-4+(4a 2 一4)i∈R,则4a一4=0，解得a=1,故|x|= 轭复数为2。应选A。 |1十2i|=√5。应选C。 3.提示：因为之=(2十ai)i=一a+2i,又 13.提示：设复数之=a十bi(a,b∈R),由 “等部复数”的实部和虚部相等，复数之为“等 2(2十乏)=i(1-x),可得(2a+4)-2bi=b+ 部复数”，所以一a=2,解得a=一2，所以x (1一a)i。由实部和虚部分别相等得 2十2i,所以乏=2-2i,所以乏+ai=2-2i-2i 12a十4=b,解得 a=-3, =2一4i,所以复数乏十ai在复平面内对应的 则复数之在复 2b=1-a, b=-2, 点是(2，一4)，位于第四象限。应选D。 平面内对应的点为（一3，一2）。应选C。 4.提示：复数≈1=a十i,2=1一2i,则 14.提示：依题意得复数之= x1·2=(a十i)(1十2i)=(a-2)十 (2a十1)i。依题意得亿-2二0，解得a=2. 会8-3-号-台所以=号 (2+i)(2-i) 5 2a+1≠0， +,所以-=（层-）-（层+） 所以1=2十i,所以11=√2十1严=√5。 应选C。 含.应选C 5.提示：因为1一i是关于x的方程x2 l5.提示：因为复数x=a十i(a>0,i是 mx十n=0的一个根，所以1十i是关于x的 虚数单位)，且|之|=√0，所以|之|= 方程x2一m.x十n=0的另一个根，则m=1 i+1+i=2,n=(1-i)×(1十i)=2,即m= 后+=而，解得a=8。所以-3计 2,n=2,所以m十n=4。应选D。 3+)3-D0。,所以是的虚部是 3-i 31 6.提示：因为复数x1与x=3十i在复平 2 面内对应的点关于实轴对称，所以1=3一i, 10。应选B。 3-i3-i0(2-i0-5-5i-1 16.提示：由题意得复数之= 所以2+2干2+i)(2-)5 i。应选B。 名2昌8=号一言所以复数 (2+i)(2-i) 5 7.提示：由题意得复数z=x十yi(x,y∈ R)。由-1+i=|x-1十(y+1)i=2,可 的共钜复数的虚部为专。应选B。 得(x-1)2+(y十1)2=4。应选D. 17.提示：因为复数之=a十i(i是虚数单 8.提示：根据题意得之|=|(2一之)一 位)是纯虚数，所以a=0,所以之=i,则|z= x21≤|之2一之|+|之2|=|21-1|+1≤|之1|十 1。应选B。 1十1=3，当1=一1,2=1，之=3时，x1 18.提示： 2(eo音+ism】 x2|=|x1一1|=|之2-x|=2,此时|之|=3，所 以|之|mx=3。应选B。 （-2)202 2 027isin 2027元 cos 5 5 24 高一数学枝心察清赞中学生教理化 核心考点演练 (-2)(e0s+iim）。因为(-2)w< 3i 3i(1+2i) 6 1-2i1-2i)(1+2i) 5 +号，其在复 0,cos sin 5 >0,所以复数 平面内对应的点的坐标为（一·），此点位 [(o号+im】 在复平面内对应 于第二象限，D错误。应选AC。 23.提示：对于A,因为复数w=一 1 的点位于第四象限。应选D。 19.提示：对于A,由虚数的运算性质，可 得十+i3+i=i一1一i+1=0,A正确。对 ,所以=-，所以。· 于B,虚数不能比较大小，B不正确。对于C, 当之=i时，1之12=1，x2=一1，此时之12≠x2, (专+（合）=(-)川 C不正确。对于D,根据复数的概念，可得复 数一2一i的虚部为一1，D正确。应选AD。 (停)八-}+子=1，A正确。对于Bw十 20.提示：对于A,若x(2一i)=,则 i23 -i(2+i)1-2i12: 云=(+)°+（合）=片 22-(2+D=55号1，所 -++9-=-1w+= 以：的实部为5，A正确。对于B,设复数 4 2 =a十6i(a,6∈R),若复数x满足号 +号-号-怎=-1，所以。+可=。十可。 a-bi b (a+bi)(a-bi)a+b一a+bi∈R,则 B正确。对于C,1十w十w-1-号+ 2 a十b=0,可得b=0,所以x∈R,B正确。 b (+)-++-- 20 对于C,设之=a十bi(a,b∈R),则x·乏=(a C正确。对于D,因为1十w十w=0,所以(1 +bi)(a-bi)=a2+b2,|乏12=a2+b2,所以 十w十w2)a”=w"十w+1十w"+2=0,所以w十 对任意复数x恒有之·乏=乏2成立，C正 02十w3+…十0221=u十w2=-1,D错误。 确。对于D,设之1=一1十i,之2=2十2i,则 应选ABC。 12=(-1十i)(2十2i)=一4∈R,但之1≠ 24.提示：对于A,令之=a十bi(a,b∈ 乏，，D错误。应选ABC。 R),则x2=a2一b2十2abi。因为22∈R,且 21,提示：对于A,片十是十十日=一 ab=0, >0,所以 解得b=0,a≠0，所以 a2-b2>0, 一1十i十1=0，A正确。对于B,易知两个虚 数不能比较大小，B不正确。对于C,因为： 之∈R,A正确。对于B,令之=a十bi(a,b =(1+2i)2=1十4i一4=-3+4i,所以复数x R),则乏=a一bi。若之∈R,则b=0,所以 对应的点位于第二象限，C不正确。对于D, ∈R,B正确。对于C,令1=1十i,2=2一i, 设之=x十yi,因为之一2i=3,即x+（y一 则1十之2=3∈R,12=3十1庄R,C错误。 2)i=3,也即x2+(y-2)2=9,所以×在复 对于D,令之1=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈ 平面内对应点的轨迹是圆心为(0,2)，半径为 R),则之12=(a十bi)(c-di)=ac十bd+(bc 3的圆，D正确。应选AD。 -ad)i∈R,所以bc-ad=0,所以乏1x2=(a 22.提示：对于A,由1=3i,可得1= -bi)(c+di)=ac+bd+(ad-bc)i=ac+ 一3i,A正确。对于B,之2的虚部为一2，B错 bd∈R,D正确。应选ABD。 误。对于C,x1=3,x2=√1十（一2）严= 二、填空题 5,故>|，1，C正确。对于D,= 25.提示：已知之庄R,不妨设之=bi(b∈ 22 R,b≠0)，则x3=(bi)3=-b3i=一bi,所以b 25 中学生数理化筒数学2026年3月 核心考点演练 =b,解得b=士1，即x=士i。 三、解答题 26,提示：由题意得己=1十。因为复 31.提示：(1)若复数之对应的点在虚轴 上，则m-m-2=0,即m=-1或m=2。 数：与名对应的点关于虚轴对称，所以< 所以之=6i或之=0。 -1+i。 (2)若复数x对应的点在实轴的负半轴 27.提示：设之=x十yi,其中x,y∈R,由 上，则 m2-m-2<0, 解得m=1,所以x= |x=1,可得x2十y=1,结合复数x的几何 m2-3m十2=0， 意义得复数之表示以原点O为圆心，半径r -2。 =1的单位圆，则|x一2-2i=(x-2)+(y (3)若复数之对应的点在直线y=x上， -2)i=√(x-2)'十(y-2)产，所以|x-2 则m2-m-2=m2一3m十2，可得m=2,所 2i|表示单位圆上的点到点P(2,2)的距离。 以复数x=0。 因为PO=2√2，所以|之一2一2i的最大值为 32.提示：(1)因为x(3a+ai)=(4+ai)· (3a+ai)=12a-a2+(3a2+4a)i,又x(3a+ PO+r=2√2+1. 12a-a2=0, 28.提示：由题意得十ai十b=0,即ai ai)为纯虚数，所以 解得a=12。 3a2+4a≠0， +b-1=0,所以a=0,b=1,所以a十b=1。 29提示：肉为名得器 (2)因为Q=2,所以之=4十2，之1=，41 a+6+(3-2a)i-Q十6+3-2a1是纯虚数，所 4+2)0十=1+3。将1=1+3i代入 5 5 5 (1-i)(1+i) a+6 方程x2十bx十c=0(b,c∈R)得(1+3i)2+ 三0， 以 5 b(1+3i)+c=0,即b+c-8+(6+3b)i=0, 解得a=一6。 3-2a≠0， b+c-8=0, b=一2， 5 所以 解得 所以b十c 6+3b=0, c=10, 30.提示：由方程x2十xx十4十3i=0,可 =8. 得x=一(x2十4十3i),显然x=0不是方程 33.提示：(1)因为复数之在复平面内的 x2十之x十4+3i=0的实数根，以x≠0，所 对应点为(m一1，m十1)，又点(m-1,m+1) 以复数之=一 士+).若关于x的方 位于第二象限，所以 /m-10, 解得一1< 程x十x十4十3i=0有实数根，则复数之 m+1>0, 一(+)-是ix∈R,所以复数：的实部 m<1,所以m的取值范围为(-1,1)。 m-1=0, (2)因为之为纯虚数，所以{ 解 为-（女十生），虚部为一 3 ,所以复数之的模 m十1≠0， 得m=1,所以x=2i,所以之3=(2i)3=-8i, z= √(+打+(-) x2-x=一4-2i,所以OA=(0,-8),OB= (-4,-2)。所以1OA1cos〈OA,O)· 十8。利用基本不等式得 OB OA.OB .oi= 16 (4,-2)= OBI 1OB12 20 25 25 +8 +8=√18= (-,-),即向量O在向量O上的投 3√2，当且仅当x2= 25 ,即x=士√5时等号成 影向量的坐标为（一，一）。 立，所以x|≥3√2，所以复数之的模的最小 作者单位：陕西省洋县中学 值为3√2。 (责任编辑郭正华) 26