求空间几何体的体积的三种方法&立体几何中的“补形术”-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

知识结构与拓展 中学生数理化高数学2026年4月 求空间心何体的体祸的三神方法 ■丁丽莎 求空间几何体的体积是立体几何中的重 点内容，也是每年高考的常考点。常见的立体 2三名。综上所述，所求体积V,MN 几何的体积求法有三种，即公式法、等积法、割 2 补法。下面举例分析，供同学们学习与参考。 2× 方法一：公式法 VDCAMN 3 -=18 例1已知圆台下底面的半径为2，高为 评注：当所求的几何体的高或底面积不 2,母线长为√5，则这个圆台的体积是( )。 容易计算时，可考虑等积法。 A.14x 3 经c4 方法三：割补法 例3如图2所示，一个底 解：设圆台上底面的半径为r,下底面的 面半径为3的圆柱被一平面所 半径为R,即R=2,高为h,即h=2,则（√5） 截，截得的几何体的最短和最长 =(2-r)十2，解得r=1或r=3(舍去)。 10 母线长分别为4和10，求该几何 所以圆台的体积V-号xM(,+R+rR) 体的体积。 3 解：下面分别用“割”和“补” 1 3××2×(1+2+2×1)三3”。应选A。 的方法求体积。 图2 评注：对于规则的几何体的体积，可利用 用“割”法求体积。将所求几何体分割为 公式直接计算。 一个圆柱和半个圆柱，如图3所示，分别计算 方法二：等积法 体积后相加即可。 例2如图1所 D 所以该几何体的体积V=π×3×4+ 示，在棱长为2的正 π×3×(10-4) =36元十27元=63π 方体ABCD-AB,C,D 用“补”法求体积。将所求几何体看作一 中，M,N分别是 个圆柱削去半个圆柱，如图4所示，分别计算 BB1,AB的中点，试 D 体积后相减即可。 求三棱锥A1-D,MN 的体积。 解：由三棱锥的 图1 体积公式VArD,N= h·S△D,MN 10. ,可知计算h 10 3 比较复杂，因此选择等积法。 3…… 3 观察可得VA DMN=VD,AMN,且D1A!恰 好为三棱锥D1-AMN的高，因此可将“计 图3 图4 算三棱锥A1-D1MN的体积”转化为“计算 所以该几何体的体积V=π×3×10 三棱锥D1-A1MN的体积”，所以VD,A,MN= π×3×(10-4) 2 =90x-27元=63π。 D1A1·SAA, 。利用割补法可求三角形 评注：割补法是求不规则几何体体积的 3 A1MN的面积，即S△A,MN=S口AABB,一S△AAN 常用方法。 作者单位：陕西省铜川市第一中学 -SMMMM-SANMN -2x2-2X12X1 2 (责任编辑王琼霞) 10 商一黄学职结胸室扬骨中学生款理化 “补形术”是立体几何中一个重要的解题 技巧，通过对原图形的恰当“补形”，可以化不 立体（何中的 规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观， 从而实现化繁为简的目的。那么主要有哪些 66 模型呢？下面举例说明，供同学们参考。 补形术” 一、正四面体模型 正四面体的六条棱都相等，可以将它们 ■李爱辉 分别看成某个正方体的六个面的对角线，所 以正四面体通常可以补形成正方体，再利用 的半径，将正四面体P-ABC补形成正方体， 正方体的性质解决相关问题。 例1在正四面体ABCD中，设AB= 求出正方体的棱长，即可得到该正四面体的 棱长。 √2，则正四面体的体积等于( )。 解：设正四面体P-ABC的外接球的半 A.1 径为R,则R= 3 。将正四 ?π，解得R=3 c 1 D.4 面体P-ABC放入正方体中，如图2所示。 分析：由题意将正四面体ABCD补形成 棱长为1的正方体即可求解。 解：把正四面体ABCD补形成棱长为1 的正方体，如图1所示。 D 图2 设正方体的棱长为a。 易得√3a=2R=√3，所以a=1,故该正 四面体的棱长为√2a=√2。应选C。 图1 点评：涉及正四面体的外接球问题，一般 易得正四面体的体积为1×1×1一1×1 将其放到正方体中，利用正方体的体对角线 ××号×4= 3,即正四面体ABCD的体 长即为正方体的外接球的直径求解。 3 二、对棱相等的四面体模型 积为 3。应选C 在四面体ABCD中，AB=CD=m, AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫作 点评：本题采用了先“补”后“割”的方法， 对棱相等的四面体，可以通过构造长方体来 将较为复杂的体积计算问题转化为简单的几 解决这类问题。 何体的体积计算问题。 例3已知三棱锥P-ABC的相对的两 例2已知正四面体P-ABC的外接球 条棱都相等，PA,AB,AC的棱长分别为√5， 的体积为号，则该正四面体的棱长为 √I0,√I3,求三棱锥P-ABC的体积。 ( )。 分析：将三棱锥补形为长方体，使三棱锥 A.1 B.√3 的棱为长方体的面对角线，根据三棱锥的棱 C.√2 D.√6 长求出长方体的长、宽、高，再利用割补法即 分析：求出正四面体P-ABC的外接球 可求出体积。 11 知识结构与拓展 中学生数理化高数学26年4月 解：如图3，因为三棱锥P-ABC的相对 因为PA,PB,PC两两垂直，所以三棱 的两条棱都相等，所以可以补形为长方体。 锥P-ABC的外接球是以PA=√2，PB= 设补成的长方体的长，宽，高分别为a,b,c。 √，PC=2为棱长的长方体的外接球。因为 长方体的外接球的半径为√23十4=名，所 以外接球的体积为号×xX(侵）厂-罗。 点评：当三棱锥中出现同一点出发的三 条棱两两垂直时，通常可借助墙角模型将其 图3 补形成长方体求解。 a”+b2=(√10)2， 例5已知侧棱长为2的正三棱锥SABC 由长方体的性质得b°+c=(5), 的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面 两两垂直，则这个球的表面积为( )。 c2+a=(√3)2， A.48π B.24π a=3, C.12π D.6π 解得b=1,故长方体的体积V=abc=6。因 分析：根据题意，把正三棱锥S-ABC放 c=2, 置在一个棱长为2的正方体内，则正三棱锥 Sam·PD=6abc=1,所以 1 为VpAD= 1 S-ABC的外接球即为此正方体的外接球，结 合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球 VP-ABC=V一4Vp-AcD=6一4×1=2，即三棱锥 P-ABC的体积为2。 的表面积公式即得结果。 解：补形后的正方体，如图5所示。 点评：本题与例1相仿，也是先“补”后 “割”，把不规则的几何体的体积转化为规则 的几何体的体积问题求解，从而起到了优化 思维、减少计算量的作用。 三、墙角模型 B::-.. 墙角模型是指三棱锥有一条侧棱垂直于 底面且底面是直角三角形的模型，这种三棱 锥通常可以补形成长方体或正方体，进而借 图5 助长方体或正方体的相关性质来解决问题。 已知正三棱锥S-ABC,满足SA=SB= 例4已知三棱锥P-ABC,PA,PB,PC SC,且三个侧面两两垂直，所以正三棱锥 两两垂直，且PA=√2，PB=√3，PC=2,则 S-ABC可以放置在棱长为2的正方体内，则 其外接球的体积为一。 正三棱锥S-ABC的外接球即为此正方体的 分析：根据墙角模型可把三棱锥补形成 外接球。设正三棱锥S-ABC的外接球的半 长方体，求出长方体外接球的半径即得结果。 径为R,则2R=√2+2+22=2√3，即R 解：补形后的长方体，如图4所示。 B √3，所以正三棱锥S-ABC的外接球的表面 积S=4πR2=12π。应选C。 点评：本题给出的三棱锥实际上是正方 体的一部分，于是将其补形成正方体后，可以 快速得到外接球的半径。 作者单位：四川省南充高级中学 (责任编辑王琼霞) 图4 12