聚焦复数的交汇问题-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

高-黄架双结肉军西骨中学生款理化 聚焦夏数的交汇问题 ■王曦 卫忠泽 复数是高中数学的重要内容，也是高考 评注：若p→q,则p是q的充分条件，9 的常考点，复数与其他知识的交汇问题，立意 是p的必要条件；若p→q,q→p,则p是q 新颖，灵活多样，且常考常新，值得同学们重 的充要条件。 视。下面举例分析。 三、方程问题 一、集合问题 例3若关于x的方程x2十(2一i)x十 例1已知集合M={2,m2-2m+(m (2m一4)i=0有实数根，则纯虚数n=。 +m-2)i},N={-1,2,4i},若MUN=N, 解：由题意设m=ai(a∈R,且a≠0)，所 则实数m的值是。 以x2+(2一i)x+(2ai-4)i=0,化简得x2+ 解：因为MUN=N,所以M三N,所以 2.x一2a+i(一x一4)=0，所以 m2-2m+(m2+m-2)i=-1或m2-2m+ 1x2+2x-2a=0, x=一4， 所以 故纯虚数 (m2+m一2)i=4i。由复数相等的充要条件 一x一4=0， a=4。 得m-2m=-1, m2-2m=0, n=4i。 解得 m2+m-2=0 或 m2+m-2=4, 评注：待定系数法是求解高中数学问题 n=1或m=2。 的常用方法。设纯虚数m=ai,应注意条件 评注：复数相等的充要条件是“化复数为 a∈R,且a≠0。 实数”的主要依据，常用来求解参数的值。 四、函数问题 二、充分条件与必要条件的判断问题 例4设i为虚数单位，函数f(x)=ix, 例2设a,b∈R,i是虚数单位，则“ab 则f(i)+f(f(i))+…+f(f(…∫(iD)= =0”是“复数a十名为纯虚数°的0 2025个1 )。 A.充分不必要条件 解：因为f(x)=ix,所以f(i)== B.必要不充分条件 -1,f(f(i)=f(-1)=-i,f(f(f(i))= C.充要条件 f(-i)=1,f(f(f(f(i)))=f(1)=i,所以 D.既不充分也不必要条件 f(i)+f(f (i))+f(f (f (i)))+ 解：若复数a十？为纯虚数，则复数a十 f(f(f(f(i)))=-1-i+1+i=0,即函数 f(x)=ix的周期为4，所以f(i)+f(f(i)) 名=a一6i为纯虚数.所以a=0.所以a6=0. +…+f(f(…f(i)…))=f(i)=-1。 2025个 评注：函数思想是一种重要的数学思想。 即必要性成立。 解答本题的关键是找出函数f(x)=ix的最 当a=b=0时，复数a十 名=0是实数： 小正周期为4。 当a=0,b≠0时，复数a十。=一1是纯虚 五、与三角函数的交汇 例5已知复数之1=m+(4一m2)i(m∈ 数：当u≠0，b=0时，复数a十么-a是实 R),≈2=2cos0+(入+3sin0)i(入，0∈R),且 z1=x2,则入的取值范围是( )。 数。所以充分性不成立。 综上可得.“ab=0”是“复数a十名为纯 A[- B[品] 虚数”的必要不充分条件。应选B。 C.[-1,1] 15 中学生数理化高数学2026年3月 知识结构与拓展 (m=2cos 0, AB=(0,2),所以1AB|=2,1OA1= 解：由1=之2，可得 消 4-m2=入+3sin0, √(-2)+(-1)F=5,1 O店1= 去m得入=4sin'0-3sin0=4(sin0- 3 8) √（一2）2+1严=√5。在△OAB中，由余弦定 9 因为一1≤sin0≤1，所以一 9 16° 16 ≤入≤7，所 理得os∠AOB=Oi+1O2-AB 21OA1·1OB [品小 (5)2+(√5)2-223 以入的取值范围 应选D。 25×√5 5。 评注：配方法一般是将二次多项式转化 评注：复数的几何意义：复数之=a+ 为一次多项式的平方形式，主要用来解一元 bi(a,b∈R)F一对应复平面内的点Za,b):复 二次方程或求最值。 六、对数问题 数：=4十bi(a,b∈R)一一对应平面向量O立. 例6已知复数之=log1(m一1)+ 八、不等式问题 例8若不等式m一(m2一3m)i<(m ilog2(5-m)(m∈R)。 (1)若之是虚数，求1的取值范围。 4m十3)i十10成立，则实数m的值是一。 解：由题设结合实数可以比较大小得 (2)若之是纯虚数，求m的值。 解：分清复数的实部与虚部，直接利用复 m2-3=0, m=0或n=3, 数为虚数、纯虚数的条件列方程求解。 72 -4n+3=0,所以3m=3或m=1, 所以 (1)若之是虚数，则其虚部1og2(5一m) m2<10, -10<m<√10， m-1>0, 当m=3时，原不等式成立，即实数的值为3。 ≠0，所以m应满足的条件是5一m>0,解得 评注：复数不能比较大小，只有当复数是 5-m≠1， 实数时才能比较大小。 1<m<5,且m≠4，即m的取值范围为(1， 4)U(4,5). 1.若(m2一1)+(m2一2m一3)i>0,则实 (2)若之是纯虚数，则其实部1og1(m一1) 数m的值为( )。 =0,虚部1og2(5一m)≠0，所以m应满足的条 A.3 B.-1 m-1=1, C.-1或3 D.±1 件是5一m>0,解得m=2,即m的值为2。 提示：因为(m2-1)+(m2-2m-3)i> 5-m≠1， m2-1>0, 评注：形如a十bi(a,b∈R)的数叫复数， 0,所以 解得m=3。应选A。 n2-2m-3=0, 其中a,b分别是复数的实部和虚部，i为虚数 2.已知复数之1,22满足之1十2乏1=一3 单位。当b=0时，a+bi为实数；当b≠0时， i,之2一心，|=1，则|x2十2i的最大值为。 a+bi为虚数；当a=0且b≠0时，u+bi为 提示：令心1=x十yi,x,y∈R,则1=x 纯虚数。 -yi,所以之1十21=3x一yi=一3一i,所以 七、向量问题 x=一1，y=1,即x1=一1+i。由之2一之1|= 5 例7 设复数二2在复平面上对应的点 |之2一（一1十i)|=1,可知复数x2对应的点在 复平面内的轨迹是以（一1,1）为圆心，1为半 为A,其共轭复数在复平面上对应的点为B, 径的圆。因为点（一1,1）到点(0，一2)的距离 则OA与OB(O为坐标原点)的夹角的余弦 值为一。 为√(-1-0)+(1+2)产=√10，所以|2+ 5(i+2) 2i的最大值为√10+1。 解：因为广2=G-2)(1+2) 一2一i, 作者单位：长春市一三七中学 所以点A(一2，一1)，B(一2,1)，所以向量 (责任编辑郭正华) 16