空间几何体中的最值问题的求解策略-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

资一数型识糖构室预骨中学生教理化 空间几何体中的最值问题的求解策略 ■左维维 立体几何中的最值主要与距离、角、面 作EF∥AC,分别与棱A,VC相交于点F,E; 积、体积有关，这类问题涉及的知识面较广， 在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于 灵活性较大，求解策略主要有五种，下面举例 点Q;在平面AB内，过点F作FDVB交 分析，供同学们学习与参考。 BA于点D。连接DQ,则四边形DFEQ是通 策略一：利用两边之和大于第三边 过点P且与直线VB,AC平行的切割平面。 例1如图1，已知圆锥SO的底面半径 为1，若其底面圆周上存在两点A,B,使得 ∠ASB=90°，则该圆锥侧面积的最大值为 Q ()。 图2 根据空间几何中平行关系的传递性，可 知四边形DFEQ是平行四边形。 图1 因为VB⊥VC,VB⊥VA,VA∩VC=V, A.√2π B.2π 所以VB⊥平面VAC。因为EFC平面 C.2√2π D.4π VAC,所以VB⊥EF。 解：设圆锥的母线长为1，连接AB,OA, 因为EQVB,所以EQ⊥EF,所以平行 OB。因为∠ASB=90°，所以AB=√2L 四边形DFEQ为矩形。 又OA+OB≥AB(当且仅当AB为底面 由EF∥AC得△VEF∽△VCA,设相似 圆的直径时取等号)，所以AB2,所以 比为k(0<k<1),则YF=VE_EF VA一VCAC √2l≤2，即1≤√2，所以圆维的侧面积S=π 易知AC=√2，则EF=√2k。因为FD∥ ×1×1=πl≤√2π，所以该圆锥侧面积的最大 值为√2π。应选A。 VB,所以△AFD△AVB,则识-合识 评注：三角形中任意两边之和大于第三边。 因为货-理-1-6，u别 FD VA 策略二：利用二次函数的性质 AF 例2有一个三棱锥木块，其顶点V引 VA =1一k,所以FD=1一友，则S矩彩FaD 出的三条棱VA、VB、VC两两相互垂直，且每 条棱的长度均为1dm。现在需要在侧面 EF·FD=VE·I-b)=-E(k-2)十 VAC上选取一个点P,沿着这个点将木块锯 开，使得锯开的截面同时平行于直线VB和 ,所以当及=之时，Se0 √ 1 4 取得最大值 AC,则这个截面面积（单位：dm)的最大值为 √2 ( 。应选B ABc D. 评注：二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)， 当a>0时，y有最小值；当a<0时，y有最 解：如图2所示，在侧面AC内，过点P 大值。 15 知识结构与拓展 中学生教理化高数学2026年4月 策略三：利用基本不等式 h 3 例3已知周长为24（单位：cm)的矩形， 0,则sin8=PA-3PA 若绕其中一条竖直边旋转一周，此时形成一 当点P为线段B,D1的中点时，PA1⊥ 个直立的圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 ② )cm。 BD可得(PA)m=2B,D,=号，当点P A.72π B.100π 为线段B1D1的端点时，可得(PA1)mx=1。 C.144π D.200元 综上可得，号<PA1 解：设矩形的长和宽分别是xcm,ycm, 则x+y=12,所以圆柱的侧面积S=2πxy 放sin0=济∈怎]，即食线PA 3,3 ≤2() =2π×36=72π，当且仅当x= 与平面A,BD所成角的正弦值的取值范围 y=6时取等号。故当矩形的长和宽都是 「3√6 6cm时，旋转所形成的圆柱的侧面积最大， 33 其最大值为72πcm。应选A。 评注：解题时，巧取特殊点（线段的端点 评注：基本不等式：a,b∈R+,a十b≥ 或中点)，可求得线段的最大值和最小值，从 而得到正弦值的取值范围。 2√ab,当且仅当a=b时等号成立；a,b∈R, 策略五：利用三角函数的性质 ab<(),当且仅当a=6时等号成立。 例5如图4，圆锥PO的轴截面的顶角 策略四：利用特殊点 为，母线长为2，则过任意两条不重合的母 例4如图3，在棱长为1的正方体 ABCD-AB1C1D1中，P为线段B,D1上 线的截面面积的取值范围为。 D 动点（包括端点），则直线PA1与平面A:BD 所成角的正弦值的取值范围是 图4 解：设PA,PB为圆锥的任意两条不重 D 合的母线，设∠APB=0。 由题签得0e(0]。 图3 1 解：设点P到平面A1BD的距离为h。 由PA=PB=2,可得SAPAB= PA· 由正方体的性质得BD∥B:D1。因为B,D PBsin∠APB=2sin0。 不在平面A1BD内，BDC平面A1BD,所以 因为0∈(0,4] 3π ,所以2sin9∈(0,2]，所 B,D1∥平面ABD。当点P在线段B,D1上 以过任意两条不重合的母线的截面面积的取 运动时，点P到平面A1BD的距离即为点 值范围为(0,2]。 D1到平面A1BD的距离。由VD,ABD= VAm可得号×1×合×1X1=吉A×号× 评注：正弦函数y=sinx在(0，]上单 反X疗×g智得A-套 调递增，在（受，x)上单调递减。 2 作者单位：安徽省合肥市第六中学 设直线PA,与平面A1BD所成的角为 (责任编辑王琼霞) 16