向量问题求解中的易错点“对策”-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

青一数蜡期新中学生款理化 向量问题求解中的易错点“对策’ ■杨涵舒 向量融“数”与“形”于一体，具有几何与 对策：切记向量a在b方向上的投影数 代数的“双重身份”，它是沟通几何、代数与三 角函数的一种工具。下面针对同学们在向量 量为alcosa)=“,它是一个数值，可 求解过程中的易错点，探究原因，给出应对方 正、可负、可为零。 法和策略，希望能助同学们一臂之力。 易错点3：忽视向量数量积与实数乘法 易错点1：弄错两个向量的夹角 的区别 例1在△ABC中，a=5,b=8,C= 例3已知a,b都是非零向量，且向量 60°，则BC·CA的值为()。 a+3b与7a-5b垂直，向量a一4b与7a A.20 B.-20 2b垂直，求向量a与b的夹角。 C.20√3 D.-203 错解：由题设中的垂直关系得 错解：易得BC.CA=BC1·CA1· (a+3b)·(7a-5b)=0, 由此化简整理得 (a-4b)·(7a-2b)=0, cosB元，c)=5×8x =20。应选A。 7a2+16a·b-15b2=0, 两式相减得46a· 探究：上述解法弄错了向量BC与CA 7a2-30a·b+8b2=0, 的夹角。由题意得〈BC,CA)=120°，所以 b一23b2=0,即b(2a一b)=0,所以b=0(不 BC·CA=|BC|·ICA1·cos〈BC,CA)= 符合题意，舍去)或2a一b=0。由2a-b=0 5×8×(-2）=-20。应选B. 知a与b同向，故向量a与b的夹角为0。 探究：上述解法将实数的性质迁移到数 对策：两个向量的夹角是指从同一定点 量积中而出错。由b(2a一b)=0,可得b°= 出发的两个向量的正方向所成的角，两个向 2a·b,结合7a2+16a·b-15b2=0得a2= 量的夹角的取值范围是[0，π]。切记：在三角 2a·b,所以a2=b2=2a·b。故cos〈a,b》= 形中，由图形找夹角，可避免出错。 1 易错点2：弄错一个向量在另一个向量 a·b 21a/ 方向上的投影 Ta·b=1a°=2。又<a,b>∈[0，rJ, 1 例2已知向量a与b的夹角为45°，且 所以(a,b》= ，即向量a与b的夹角为号 1a=4,(分a+b）·(2a一3b)=12,则向量 对策：向量的数量积的运算不满足结合 b在a方向上的投影数量等于 律，也不满足消去律。对于向量a,b,若a· 错解：向量b在a方向上的投影数量为 b=0,则不一定有a=0或b=0。由a·b= 1acos(a,b>=4Xcos牙=2E。 a·bcos(a,b),可知当<a,b)=受时， 探究：上述解法弄错了向量b在a方向 a·b=0恒成立，此时a,b均可以不为0。 上的投影。由a=4,(分a十b)·(2a-3b) 易错点4：误认为向量a与b的夹角为 钝角（锐角）a·b<0(a·b>0) =12,结合〈a,b)=45°得3|b12-√21b| 例4已知向量a=(2,1),b=(入，1)， 4=0,解得1b1=或1b1=-2E(舍去)，所 入∈R,且向量a与b的夹角为0。若日为锐 3 角，则入的取值范围是一。 以向量b在a方向上的投影数量为 2λ+1 bcos<a,b)=bcos45°=1。 错解：cos9=1ab5. 33 中学生款理化餐辐皱早突新年2月 由0为锐角，可得cos0>0,所以 是入+以=1。 2入+1 >0,可得2入+1>0，即λ> 5·√+1 感悟身民日 一放又的取值范围是（名十） 1.已知向量a=(x,2x),b=(-3x,2), 如果向量a与b的夹角是钝角，则实数x的 探究：上述解法没有排除cos日=1>0， 取值范围是。 即a与b共线且同向的情况。当cos0=1 提示：向量a与b的夹角是钝角，需满足 2入+1 时，可得 =1,解得入=2。注意 a·b<0且a与b不共线。当向量a与b的 √5·√2+1 夹角为钝角时，可得a·b=x·(一3x)十 到日为锐角，因为0<cos日<1，所以入的取值 4红=-3x2+4红<0，解得x<0或x>号，当 范围是以>-2且X≠2。 向量a,b不共线时，可得2x十6.x2≠0，解得 对策：切记向量a,b为非零向量，a与b x≠ 的夹角为日，则〈a,b》为锐角→a·b>0且a 号且x≠0。故实数x的取值范周为 与b不共线台 (x1x2十y1y2>0, (a,b)为钝 (-,-3)U(-30)u(传，+) x1y2-x2y1≠0； 2.已知O为△ABC所在平面内一点，满 角台a·b<0且向量a与b不共线台 i2+y1y20, +BCI=1B1+CA=oc1 x1y2一x2y1≠0。 十AB1,则点O是△ABC的( ）。 易错点5：忽略共线向量和三点共线的 A,垂心B.重心C.内心D.外心 条件致错 提示：由已知得1OA一1OB=1CA1 例5已知同一平面上的三个向量a,b, -B元12，所以(OA-O)·(OA+OB)= c两两所成的角相等，且|a|=1,|b1=2, (CA一BC)·(CA+BC),整理得BA· c|=3,求向量a十b十c的长度。 (OA+Oi)=(CA+CB)·BA,所以BA· 错解：已知a,b,c皆为非零向量，设向量 (OA+O店+AC+BC)=0,即BA·2OC= a,b,c所成的角均为日，则30=360°，即0= 0,所以OC⊥BA。同理得OA⊥C,OB⊥ 120°，所以a·b=|a|·|b1cos120°=-1。 AC。故点O是△ABC的垂心。应选A。 同理可得bc=一3，c·a=- 3 3.(多选题)己知平面向量a,b,c满足 因为a+b+c12=a2+b2+c2+2a· a=b=cl=1,若a·b-2,则(a b+2b·c十2c·a=3,所以|a+b十c=√3. b)·(2b一c)的值可能为()。 探究：上述解法认为a,b,c皆为非共线 A.-2B.3-√3C.0D.-√2 向量，从而产生了漏解。当向量a,b,c共线 提示：(a-b)·(2b-c)=2a·b-a·c 且同向时，两两所成的角也相等，都为0°，符 2b+b·c=1-2十(b-a)·c=1b-a|· 合题意。 |c|·cos<b-a,c〉-1=cosb-a,c〉-1。 当向量a,b,c共线且同向时，可得|a+ 由cosb-a,c)∈[-1,1]，可得(a-b)· b十c|=|a|十|b|+|c|=6;当向量a,b,c (2b-c)∈[-2,0]。由-2∈[-2,0]，3 不共线时，结合错解得|a+b十c|=√3。 3[-2,0],0∈[-2,0]，-√2∈[-2,0]， 综上所述，向量a十b十c的长度为6或√3。 可知(a一b)·(2b一c)的值可能为一2,0， 对策：处理共线向量问题时，一定要注意 一√2。应选ACD。 向量的方向。切记：若OA=AOB十OC(入， 作者单位：陕西省洋县第二高级中学 以为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件 (责任编辑王琼霞) 34