证明线面平行的三种常用方法-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

商一黄学识结胸室扬骨中学生款理化 证明线面平行的三种常用方法 ■高小斌 线面平行即直线与平面平行，它是一种较 证明：取D1B1的中点O,则OF∥B,C 为常见的空间位置关系。下面介绍证明线面 B,C1。因为BE∥B,C,且BE= 1 且OF= 平行的三种常用方法，供同学们学习与参考。 一、利用线面平行的判定定理 B,C,所以OF∥BE且OF=BE,所以四 1 1.利用三角形的中位线定理 边形OFEB为平行四边形，所以EF∥BO。 例1如图1所示，在正方体A1B,C,D1 又因为EF中平面BDD,B1,BOC平面 ABCD中，E是DD1的中点。 BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1。 点评：利用平行四边形的性质，得到平面 外的直线与平面内的直线的平行关系，进而 E 得到线面平行。 例3如图3所示，在直三棱柱ABC ABC1中，N是AB1的中点，M是CC1的 中点。 图1 求证：D1B∥平面ACE。 证明：设BD与AC交于点O。在正方体 P: ABCD-A,B,CD1中，底面ABCD是正方形， 则O为BD的中点。因为E为DD1的中点， B B 所以DB∥EO。又EOC平面ACE,D1B史 平面ACE,所以D1B∥平面ACE。 点评：已知平面外一直线平行于平面内 图3 一直线，则这条直线平行于这个平面。 求证：MN∥平面ABC1。 2.利用平行四边形的性质 证明：取AB,的中点P。因为N是AB, 例2如图2所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,C1D1的 的中点，所以NPA,A且NP=2AA 中点。 在直三棱柱ABC-A1B,C中，AA1∥ D CC1且AA,=CC1,由M是CC1的中点，可 得MC,/AA,且MC,=之AA,所以MC,∥ NP且NP=MC1,所以四边形NPC,M是 平行四边形，所以MN∥PC!。 因为PC:二平面A1B,C1,MN中平面 A1B1C1,所以MN∥平面A1B1C1。 点评：已知一边的中点，取对边中点，证 图2 明所得的四边形是平行四边形，即得线线平 求证：EF∥平面BDDB,。 行，再利用线面平行的判定定理即得结果。 13 中学生款理化智职皱整与新展年1月 3.利用平行线分线段成比例 解：取BC的中点H。 例4如图4，正方形ABCD与正方形 因为E,F分别是棱BC,C1D1的中点， ABEF所在的平面相交于AB,在对角线 所以FH∥B,D1,EH∥BBL。又FH与 AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ。 HE、B,D1与BB,是相交直线，所以 平面EFH∥平面BB,D,D。因为EFC平面 EFH,所以EF∥平面BB,D,D,所以EF与 Q 平面BB,D1D的位置关系是平行。 点评：解答本题的关键是先证面面平行， P 再得线面平行。 B 感：与收日 1.如图6，P 为平行四边形 图4 ABCD所在平面 求证：PQ∥平面BCE。 外一点，过BC的 D 证明：连接AQ并延长交BC所在的直 平面与平面PAD 线于点H。曲ADBC,可得铝B品 交于线段EF,E 在线段PD上且 图6 因为正方形ABCD和正方形ABEF有 公共边AB,所以AE=BD。 异于点P、D,则四边形EFBC是( )。 A.空间四边形 B.矩形 因为AP=DQ,所以品-AS,所以 C.梯形 D.平行四边形 AH=AE,所以PQ∥EH。 AQ_AP 提示：由BC∥AD,ADC平面PAD, BC丈平面PAD,可得BC∥平面PAD。因 又EH二平面BCE,PQ士平面BCE,所 为BCC平面EFBC,平面EFBC∩平面 以PQ∥平面BCE。 PAD=EF,所以BC∥EF。又BC=AD, 点评：先利用平行线分线段成比例得 EF<AD,所以EF<BC,所以四边形EFBC 到线线平行，再利用线面平行的判定定理 是梯形。应选C。 即得结果。 2.已知a,b为两条不同的直线，a,B为 二、利用面面平行的性质 两个不同的平面，则下列命题中正确的 例5（同例2）如图5所示，在正方体 是()。 ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC, A.若ab,b∥a,则aa C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位 B.若a%,a⊥a,b∥B,则&⊥3 置关系是」 C.若a∥a,b∥B,a∥B,则ab D D.若a∥a,b∥B,a⊥B,则a⊥b 提示：对于A,若a∥b,b∥a,则a∥a或 a二a,A错误。对于B,若a仍，bB,则a二B或 a你，再结合a⊥a,可得&⊥B,B正确。对于C, 若aa,bB,a∥B,则直线a,b相交、平行或异 D 面，C错误。对于D,若a∥a,b∥B,a⊥B,则直线 a,b相交、平行或异面，D错误。应选B。 作者单位：甘肃省正宁县第三中学 图5 (责任编辑王琼霞) 14