三角恒等变换题型总结&求函数的值域(最值)的九种常用方法-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

高一数型识施物卓骨中学生表理化 三角恒等变换题型总结 ■陈海峰 一、和角公式的应用 sin(a+)的值为( 例1已知tan atan B=2,cos(a-3)= 3,则cos(a十B)=。 1 A.5 C 2 D.3 5 sa·c月-2， 解析：因为tanatan B=sina·sinB 解析：由sin(a十)十cosa-4 5,可得 所以sin asin B=2 cos acos B。 ① 3 y cos(a-B)=cos acos B+sin a sin B= 5,所以 2cos a+cosa=43 2 sin a 30sg=子，所以c0sae0sg=号 1 ② 2 cos a=4 3 5,所以 2 sin a+ 2 cos a= 将②代入①得sin asin B= 2 9。故cos(a 告，所以cos受sina十sin答cosa=专，即 1 十3)=cos acos3-sinasinβ=- 9 sin(货+a)=号。应选A。 点评：本题主要考查两角和与差的三角 点评：本题主要考查两角和与差的正弦 函数公式的灵活应用。 公式的灵活应用。 二、倍角公式的应用 四、三角恒等变换与函数性质的交汇 2巳知cs(-）=点0<< 例4函数f(x)=sin2x十2巨co(年+ cos 2x 4,求sinz十cosz的值。 x)十3的最小值是。 解析：易得sin(纤+x)=cos(至-x) 解析：f(x)=sin2x+22cos(不+x)十 5 ,cos2a=sin(E+2x）=2sin(于+x）· 3=oc(2x-）+2Eas[受-(-x] cos(年+x),sinx+cosx=Esin(任+z) 3=1-2sim(e-F）+2Esin(年-x)+3 因为0<x<圣，所以平<x十至<受。故 4-[2sim(e-）)+2sin(e-)+]中 cos 2. 2sm(任+z)os(经+x）_ 1=5-2sim(x-)+1] sinx十cosx Esin(于+x) 因为sin(x-天)∈[-1,1]，所以函数 2 cos (+)=21-sin()= f(x)=sin2x+22cos(牙+x)+3的最小 122 13 值为5-（√2+1）2=2-2√2。 点评：在解决三角函数问题中，若将二倍 点评：本题主要考查三角恒等变换与正弦 角的正弦、余弦公式与它们的变通公式联合 型函数在闭区间上的最值问题。解题时，先利 应用，则会降低解题难度，使问题轻松获解。 用三角恒等变换把所求函数转化为(x)= 三、三角函数的求值 Asin(r十)的形式，再研究函数的最值。 例3已知sin(a+)+cosa=4, 作者单位：浙江省柯桥中学 5,则 (责任编辑王琼霞) 11 中学生教理化高数学2026年1月 知识结构与拓展 求西数的值撼（影值）( 的九种常用方法 ■邓高雄 一、反解法 所以0≤y≤√8 55√2 4 ,所以此函数的值域 例1 1-|x 函数y一十的值域是 为0 5√2 4 解析：由y计引，可得x=号 评注：对于二次函数y=ax2十bx十c= -1+y 因为x≥0，所以义≥0且y≠-1，所以 a(+)'+4ae- -(a≠0)，当a>0时，此 2a Aa 1+y 函数有最小值4ac一b ;当a<0时，此函数有 -1<y≤1，即函数y=十Z 1-|x1 Aa 的值域是 最大值4ac二b (-1,1]。 4a 评注：解题时，由已知解析式解出|x1,根 四、基本不等式法 据引x|≥0求出y的取值范围，但要注意1十 例4函数y=+5)+2)(x>-1) x+1 y≠0的情况。 的最小值是 二、判别式法 解析：已知x>-1,可得x十1>0。 2x 例2函数y 3十x的值域为一 函数y= [(x+1)十4[(x十1)+1卫 x+1 解析：因为y= 3十，所以函数的定义 2x x+1)+5(x+1)+4-(x+1D十4 x+1 2x 域为x∈R,所以函数y=3十x可化为关于 5≥2√x+1)·有+5=9，当且仅当x+ x的一元二次方程yx2一2x十3y=0。 4 当y≠0时，由x∈R结合△=4 1=,十即x=1时等号成立，所以此函数 12y≥0得-1 的最小值是9。 3 ≤y<9:当y=0时，可得 评注：已知x,y都是正数，若积xy等于 x=0,且y=0∈ 定值，则当x=y时，其和x十y有最小值。 五、单调性法 故函数y= 2x 3+x的值域为 3’3 例5 函数f(x)= -log2(x十2) 评注：函数的值域与自变量的取值有关， 在区间[一1,1]上的最大值为 因此要注意函数的定义域。解题时，要注意 解析：因为函数y= () 和函数y= 对y=0情况的讨论。 三、配方法 -一1og2(x十2)在区间[一1,1]上均单调递减， 例3函数y=√一2x十x十3的值域 所以函数f(x)= 一1og2(x+2)在区间 为 [一1,1]上单调递减，所以函数∫(x)的最大 解析：因为函数y一√一2（一）广+要， 值为f(-1) -1og21=3。 12 高一数识施物卓杯骨中学生教理化 评注：单调递减函数减去单调递增函数 一(x一2)|=3，所以函数的值域为[3，十∞)。 是单调递诚函数 评注：绝对值不等式的性质为|a|一 六、换元法 |b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 例6函数f(x)=x+√x一I的最小值 九、正弦函数性质法 为 例9函数y一识二号的值是 解析：令t=√x-1,且t≥0，则x=t+ 1,所以函数f(x)等价于y=t十1十t,t≥0， 解标：由y一名，可得y(c0s, 配方得y=(+2）广+≥0.因为≥0， 2)=sinx一1，化简整理得1一2y=sinx一 ycos x=√1十ysin(x+p),其中9为辅助 所以y≥子十是=1，故函数f2)=x十 1-2y 角，所以 =sin(x十9)。 √x一I的最小值为1。 √+y 评注：利用换元法解题时要注意新元的 由正弦函数的图像与性质得一1≤sin(x 取值范围。 十9)≤1，所以一1≤ 1-2y :≤1，所以 七、数形结合法 √1+y 例7定义max{a,b,c}为a,b,c中的 1-2y ≤1，所以1-2》≤1，解得0≤y≤ 1+y2 最大值，设h(x)=max{2,2x一3,6一x},则 4 h(x)的最小值是()。 所以硒数V的值线是，引 A.2 B.3 评注：正弦函数y=sinx,x∈R是有界 C.4 D.6 函数，即sinx∈[-1,1]，x∈R。 解析：已知函数h(x)=max{2,2x-3, 6一x},在同一直角坐标系中画出函数y= 感格与收。 2,y=2x一3，y=6一x的图像，如图1所 已知定义在R上的函数f(x)满足Hx, 示，则函数h(x)的图像为图中的实线部分。 y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)-2024,若 1y=2 函数g(x) x√2024-x7 十f(x)的最大值 2024+x2 和最小值分别为M,m,则M十m=一。 y=2x-3 提示：令x=y=0,则f(0)=2f(0) 2 、.y=6-x 2024,即f(0)=2024。令y=-x,则f(0) 2房40 =f(x)+f(-x)-2024,所以f(一x)- 2024=-[f(x)-2024],所以h(x)=f(x) 图1 一2024为奇函数，所以f(x)=h(x)十 由图可知，函数h(x)在点A处取得最 小值2=6一2=4，故h(x)的最小值为4。 2024。令G(x)=xV2024-x 2024+x2 十h(x),则 应选C。 G(一x)=一G(x),即G(x)为奇函数，所以 评注：利用图像法求函数最值的一般步 G(x)k十G(x）m=0。又因为g(x）= 骤：画出函数的图像；利用图像的交点找最高 点、最低点；确定函数的最大（小）值。 2024+z+h(x)+2024=G(x)十 x√2024-x 八、绝对值不等式法 2024,所以M+m=G(x)mx十2024十 例8函数y=|x十1|十|x一2|的值域 G(x)mm+2024=0十4048=4048。 作者单位：湖北省巴东县第一高级中学 解析：因为x+1十x一2≥(x十1) (责任编辑王琼霞) 13