如何求异面直线所成的角-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

商一黄学识结胸室扬骨中学生款理化 如何求异面直线新成的角 ■张振继（特级教师） 异面直线所成的角是立体几何中的一个 因为sin∠PBC1 重要概念，是高考的常考点。求异面直线所 BC,=2,所以∠PBC,= 成的角一般常用几何法（平移法、补体法、线 即异面直线PB与AD,所成的角为若。 6 面垂直法)与向量法（高二学习）。下面就几 何法求异面直线所成的角进行简单分析，供 2.同时平移两条直线 将所求角的顶点选在空间某一点（为了 同学们学习与参考。 计算方便，往往选取在特殊位置上)，将两条 一、利用平移法 异面直线进行平行移动，得到两条相交直线 平移法的依据是异面直线所成角的定义。 所成的角，再通过解三角形求出该角（或其补 一般步骤是：作出异面直线所成的角，把空间 角)的大小。 问题转化为平面问题：证明所作出的角即为两 例2如图2，在四面体ABCD中，E,F 条异面直线所成的角（或其补角）；利用平面几 分别是AB,CD的中点，异面直线AD与BC 何知识，通过解三角形，求得角的大小。 1.只平移其中一条直线 所成的角为答，且AD=BC=4,则EF= 将所求角的顶点选在其中一条异面直线 上，将另一条直线进行平行移动，得到两条相 交直线所成的角，再通过解三角形求出该角 (或其补角)的大小。 例1如图1所示，在正方体ABCD AB,C,D中，P是BD,的中点，则异面直 线PB与AD1所成的角为 图2 解：取异面直线所成角的顶点在线段 BD的中点O处，此时需平移两条直线。因 为OE是△ABD的中位线，所以OE∥AD。 同理得OF∥BC,所以∠EOF(或其补角)即 为异面直线AD与BC所成的角。 图1 因为异面直线AD与BC所成的角为 解：将所求角的顶点选择在点B处，此 吾，所以∠EOF=舌或∠BOF=三.因为 时只平移另一条直线。因为AD1∥BC1,所 以∠PBC1(或其补角)即为异面直线PB与 AD=BC=4,所以OE=2AD=2,OF- AD1所成的角（锐角）。因为BB,⊥平面 A1B1C1D1,所以BB1⊥PC1。又B1D1⊥ 名C=2。当∠EOF=后时，△EOF是边长 3 PC1,且BB,∩B1D1=B1,所以PC1⊥平面 为2的等边三角形，可得EF=2。 PBB1,所以PC1⊥PB。不妨设正方体 当∠EOF=时，由余弦定理可得： ABCD-AB,C1D1的棱长为2，则BC1= 3 2E,PC,=2BD,=E.在R△PBC中， EF-OE:+OF:-20E.OFcos2 3 3 中学生数理化 知识结构与拓展 高-数学2026年4月 √/2+2- 2×2×2× =2√3。 +()= ,所以cos∠D1BM,= 综上得EF=2或EF=23。 BD+BM-D M =√15 ,即异面直线AM 二、利用补体法 2BD,·BM 15 通过补体将异面直线所成的角转化为两 条相交直线所成的角，然后计算即得结果。 与BD:所成的角的余弦值为 15。 例3(1)如图3，已知三棱锥S-ABC的 三、利用线面垂直法 侧棱与底面边长都相等，若E,F分别为SC, 利用线面垂直的性质定理，可求异面直 AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角 线所成的角为直角。 为。 例4(1)如图5，在空间四边形ABCD 中，若AB=AD,BC=CD,则异面直线AC 与BD所成的角的大小为 图3 (2)如图4所示，在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M为A1B1的中点， 则异面直线AM与BD1所成的角的余弦值 图5 为 (2)如图6所示， D 在正方体ABCD A 4 M A1B1C1D1中，E是 CC:的中点，F是AC 和BD的交点，求异 D 面直线A1F与BE所 成的角的大小。 图6 图4 解：(1)取BD的 中点O。由AB=AD,BC=CD,可得BD⊥ 解：(1)由题意将正三棱锥SABC补成 AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC。又 正方体MC(如图3)。 AC二平面AOC,所以BD⊥AC,故异面直线 易知EF∥SM,所以∠MSA(或其补角) 即为异面直线EF与SA所成的角。由正方 AC与BD所成的角的大小为90°。 体的性质得∠MSA=45°，所以异面直线EF (2)在正方体ABCD-A,B,C1D1中，取 与SA所成的角为45°。 BC的中点H,则FH⊥平面BCCB1,所以 FH⊥BE。因为BE⊥B,H,FH∩B,H= (2)在正方体AC,右侧补上一个正方体 BG(如图4)。在平面BEHB,内过点B作 H,所以BE⊥平面A1FHB1。又A1FC平 BM1∥AM交A1H于点M1。连接D1M1, 面AFHB1,所以BE⊥A,F,所以异面直线 则∠D:BM(或其补角)即为异面直线AM A1F与BE所成的角的大小为90°。 与BD1所成的角。因为BD1=√+1+1 作者单位：河南省商丘市夏邑县 佳合高级中学 =3,BM1= √+(-，D,M (责任编辑王琼霞)