13.2.3 第3课时 点面距与线面距及直线与平面所成的角 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

13.2.3 第3课时 点面距与线面距及直线与平面所成的角 [课时跟踪检测] 1.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是 (　　) A.∠BPA B.∠PBA C.∠PBC D.以上都不对 解析：选B　由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B， 得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角. 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.平面的斜线与平面所成的角的取值范围是 0°<θ<90° B.直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90° C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行 D.若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等 解析：选AD　B中应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可能平行，也可能相交或异面. 3.在正三棱柱(侧棱与底面垂直，底面为正三角形的三棱柱)ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　如图，取C1A1，CA的中点E，F，连接B1E，BF，EF， 则B1E⊥平面CAA1C1，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1， 连接AH，则∠DAH即为所求的线面角.DH=B1E=，DA=. 所以sin∠DAH==. 4.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是 (　　) A. B.2 C.3 D.4 解析：选D　如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩PD=P，∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC=5，CD=3， ∴AD=4.在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，∴PD==4. 5.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是BC1和CD1的中点，则下列判断正确的是 (　　) A.PQ⊥CC1 B.PQ⊥平面A1ACC1 C.PQ∥BD D.PQ∥平面ABD1 解析：选ABC　取CC1的中点E，连接PE，QE，∵P，Q分别是BC1和CD1的中点，易得CC1⊥PE，CC1⊥QE.又PE∩QE=E，∴CC1⊥平面PQE.∵PQ⊂平面PQE，∴CC1⊥PQ，故A正确.分别取CD，BC的中点F，G，连接QF，FG，PG，易得PG∥QF且PG=QF，∴四边形PQFG为平行四边形.∴PQ∥FG.又FG∥BD，∴PQ∥BD，故C正确.∵BD⊥AC，∴PQ⊥AC.又PQ⊥CC1，AC∩CC1=C，∴PQ⊥平面A1ACC1，故B正确.平面ABD1即为平面ABC1D1，显然PQ∩平面ABC1D1=P，故D错误.故选ABC. 6.(多选)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论正确的是 (　　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析：选ABC　A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为BD∩SD=D，BD，SD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB.B正确，因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，如图，由AC⊥平面SBD得SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，易知∠ASO=∠CSO，故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角.D不正确，AB与SC所成的角是∠SCD(或其补角)，而DC与SA所成的角是∠SAB(或其补角)，易知∠SCD≠∠SAB.故选ABC. 7.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面ABCD所成的角是　　　　.  答案：45° 8.(5分)已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则AB的中点P到平面α的距离是　　　　.  解析：若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO'-OO'=3-2=1. 答案：3或1 9.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB=4，则MN到平面BCC1B1的距离为　　　　.  解析：连接BC1(图略)，易知MN∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.∴MN与平面BCC1B1的距离等于N到平面BCC1B1的距离，又N到平面BCC1B1的距离为NB=AB=2，∴MN到平面BCC1B1的距离为2. 答案：2 10.(5分)如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥平面ABC，C为圆周上一点，AB=5 cm，AC=2 cm，则B到平面PAC的距离为　　　　 cm.  解析：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又由AB是☉O的直径，C为圆周上一点，可得AC⊥BC，因为PA∩AC=A，且AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC的长为点B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中，AB=5 cm，AC=2 cm，可得BC==(cm). 答案： 11.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，则BD1与平面A1B1C1D1所成角的大小为　　　　.  解析：如图所示，连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1===，则∠BD1B1=30°. 答案：30° 12.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中： (1)求证：A1A∥平面BB1D1D；(4分) (2)若AB=4，AD=3，求A1A到平面BB1D1D的距离.(6分) 解：(1)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1， 又BB1⊂平面BB1D1D，AA1⊄平面BB1D1D， 所以A1A∥平面BB1D1D. (2)由(1)知A1A∥平面BB1D1D， 则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等. 如图，过点A作AH⊥BD交BD于H， 易知BB1⊥平面ABCD， 因为AH⊂平面ABCD， 所以BB1⊥AH. 因为BB1∩BD=B， 所以AH⊥平面BB1D1D， 即AH的长为直线A1A到平面BB1D1D的距离. 在△ABD中，AB=4，AD=3， 则BD=5. 由等面积法得AH===， 所以A1A到平面BB1D1D的距离为. 13.(15分)如图(1)，在矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中PF=2. (1)求证：PF⊥平面ABED；(7分) (2)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ∥平面PBE?若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由.(8分) 解：(1)证明：连接EF.由题意知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2， 所以PF⊥BF. 易得EF==. 在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2， 所以PF⊥EF. 又BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED， 所以PF⊥平面ABED. (2)存在.当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ∥平面PBE.理由如下： 因为AQ=AP，AF=AB，所以FQ∥BP. 又FQ⊄平面PBE，PB⊂平面PBE， 所以FQ∥平面PBE. 14.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，O，M分别是AD，PB的中点，AD∥BC，AB=BC=CD=OP=1，DA=2，OP⊥平面ABD. (1)求证：PD∥平面OCM；(5分) (2)求CP与平面PAD所成角的余弦值.(10分) 解：(1)证明：如图，连接OB，设OC∩BD=E，连接EM， ∵AD∥BC且AD=2BC，O为AD的中点， ∴BC∥OD且BC=OD， ∴四边形OBCD为平行四边形. ∵OC∩BD=E，∴E为BD的中点. 又∵M为PB的中点，∴EM∥PD. ∵PD⊄平面OCM，EM⊂平面OCM， ∴PD∥平面OCM. (2)取OD的中点F，连接CF，PF， 由(1)可知，OB=CD=1， ∵AD∥BC且AD=2BC，O为AD的中点， ∴BC∥OA且BC=OA， ∴四边形OABC为平行四边形， ∴OC=AB=1.∴OC=OD=CD=1， ∴△OCD为等边三角形. ∵F为OD的中点，∴CF⊥OD. ∵PO⊥平面ABD，CF⊂平面ABD， ∴CF⊥PO. ∵PO∩OD=O，PO，OD⊂平面PAD， ∴CF⊥平面PAD， ∴CP与平面PAD所成的角为∠CPF. ∵PO⊥平面ABD，OC⊂平面ABD， ∴PO⊥OC，∴PC==， CF=CDsin 60°=， 在Rt△PFC中，PF==， 故cos∠CPF==. 学科网（北京）股份有限公司 $