13.2.3 第3课时 点面距与线面距及直线与平面所成的角-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦点面距、线面距的概念及计算，直线与平面所成角的定义、取值范围及求解，通过距离问题、线面角问题、综合问题的题型设计，构建从概念理解到计算应用的学习支架。 该资料采用习题讲评式教学，结合三棱锥、正方体模型，通过“思维建模”提炼方法，如距离转化、线面角“作-证-求”步骤，培养学生空间观念（数学眼光）、推理能力（数学思维）和应用意识（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后帮助学生强化知识、弥补盲点。

第3课时　点面距与线面距及直线与平面所成的角 　　　　 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　 1.了解点到平面的距离，直线和平面的距离的概念. 2.了解直线和平面所成角的概念，能利用线面关系寻找直线与平面所成的角，会求直线与平面所成的角. 1.两种距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. (2)直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离. 2.直线与平面所成的角 (1)相关概念： ①斜线：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线. ②斜足：斜线与平面的交点叫作斜足. ③斜线段：斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段. (2)定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. (3)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是0°角. (4)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°. 题型(一)　距离问题 [例1]　如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点. (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离. 解：(1)证明：∵PA=PC=AC=4，O为AC的中点， ∴OP⊥AC，且OP=2.连接OB，如图， ∵AB=BC=AC， ∴△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC， ∴OB=AC=2， ∵OP2+OB2=PB2，∴OP⊥OB. 又∵OP⊥AC，OB∩AC=O，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC. (2)作CH⊥OM，垂足为H， 由(1)可得OP⊥CH， 又OM∩OP=O，OM⊂平面POM，OP⊂平面POM，∴CH⊥平面POM， ∴CH的长即为点C到平面POM的距离. 由题设可知，OC=AC=2，CM=BC=，∠ACB=45°，由余弦定理得OM2=OC2+CM2-2OC·CM·cos 45°=4+-2×2××=，即OM=，∴CH==， ∴点C到平面POM的距离为. |思|维|建|模| (1)从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离. (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求空间图形的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高. [针对训练] 1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1=12，AB=5. (1)求点B1到平面A1BCD1的距离； (2)求B1C1到平面A1BCD1的距离. 解：(1)如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1， ∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B=B，BC⊂平面A1BCD1，A1B⊂平面A1BCD1， ∴B1E⊥平面A1BCD1， ∴线段B1E的长即为所求. 在Rt△A1B1B中，B1E===， ∴点B1到平面A1BCD1的距离为. (2)∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1， BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1. ∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求， ∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 题型(二)　直线与平面所成的角 [例2]　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 解：(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1=90°，AB=AA1， ∴∠AA1B=45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1=B1，BB1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B=，A1O=. 又∵∠A1OB=90°， ∴sin∠A1BO==， 又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO=30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. |思|维|建|模| 求解直线和平面所成角的一般步骤 求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影，基本步骤为 (1)作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，准确确定垂足的位置是关键；几何图形的特征是确定垂足的依据，垂足一般都是一些特殊的点，比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等. (2)证：即证明所找到的角为直线和平面所成的角，也就是证明选取的点与垂足的连线和平面垂直，依据就是直线和平面所成角的定义. (3)求：将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算. [针对训练] 2.三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值. 解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO. 则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO. ∵SA=SB=SC=a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO=BO=CO，∴O为△ABC的外心. ∵△ABC为正三角形， ∴O为△ABC的中心.∵SO⊥平面ABC， ∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角. 在Rt△SAO中，SA=a，AO=×a=a， ∴cos∠SAO==， ∴SA与底面ABC所成角的余弦值为. 题型(三)　直线与平面位置关系的综合问题 [例3]　如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD. 证明：(1)取PD的中点E，连接NE，AE， 又∵N是PC的中点， ∴NE∥DC且NE=DC. 又∵DC∥AB且DC=AB，AM=AB， ∴AM∥CD且AM=CD， ∴NE∥AM，且NE=AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA=45°，∴AP=AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD. |思|维|建|模| 　　解决线面位置关系的综合问题一定要掌握线线平行与垂直的转化关系. (1)直线与平面平行问题，常常转化为直线与直线平行问题，而直线与直线平行问题也可以转化为直线与平面平行的问题，要做出正确的命题转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理. (2)线线垂直常常转化为线面垂直，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可.证明转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直. 　　[针对训练] 3.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱与底面垂直，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=，D是A1B1的中点. (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论. 解：(1)证明：∵三棱柱A1B1C1-ABC的侧棱与底面垂直，AC=BC=1，∠ACB=90°， ∴A1C1=B1C1=1， 且∠A1C1B1=90°，AA1⊥平面A1B1C1. ∵C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D. ∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. 又A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)当F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 证明：如图，作DE⊥AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F. 由(1)知C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，DF，C1D⊂平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF. 易知AA1=A1B1=， ∴四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点，DF⊥AB1， ∴F为BB1的中点. ∴当F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 学科网（北京）股份有限公司 $