23.1　一次函数的概念（课件）-2025--2026学年人教版八年级数学下册

23.1　一次函数的概念 第二十三章　一次函数 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系. (重点) 2.能利用一次函数解决简单的实际问题.(难点) 课堂引入 什么是函数？函数的表示方法有哪些？ 一、 一次函数的概念 问题　在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ (1)铁的密度约为7.9 g/cm3，铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的变化而变化； (2)每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的个数n的变化而变化； (3)一种计算成年人标准体重m(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化； (4)把一个长10 cm、宽5 cm的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化. 提示　在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为：(1)m＝7.9V.(2)h＝0.5n.(3)m＝h－105.(4)y＝－5x＋50. 这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 知识梳理 1.一次函数的概念：一般地，形如 (k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数. 2.一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数. 3.一次函数与正比例函数的关系： (1)当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. (2)正比例函数是一种特殊的一次函数. y＝kx＋b 例1　下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－8x；(2)y＝；(3)y＝5x2＋6；(4)y＝2(x－4)； (5)y＝－1；(6)y＝－13；(7)y＝－0.5x－1；(8)y＝. 解　(1)(4)(5)(7)(8)是一次函数，(1)是正比例函数. 跟踪训练1　下列函数中哪些是一次函数？如果是，请分别写出k，b是多少？ (1)y＝3x＋2；(2)y＝4(x＋1)；(3)y＝＋3；(4)y＝x(3x＋2)；(5)y＝. 解　(1)是一次函数，k＝3，b＝2. (2)是一次函数，k＝4，b＝4. (3)不是一次函数. (4)不是一次函数. (5)是一次函数，k＝，b＝－. 例2　已知函数y＝(m－1)x＋1－m2. (1)当m为何值时，这个函数是一次函数； (2)当m为何值时，这个函数是正比例函数？ 解　(1)由题意可得 m－1≠0，解得m≠1. 即m≠1时，这个函数是一次函数. (2)由题意可得 m－1≠0，1－m2＝0，解得m＝－1. 即m＝－1时，这个函数是正比例函数. 反思感悟 利用定义判定函数是一次函数时，必须保证：(1)k≠0；(2)自变量的次数是“1”. 跟踪训练2　已知函数y＝2x|m|＋(m＋1). (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是正比例函数，求m的值. 解　(1)由题意可得 |m|＝1，解得m＝±1. 即m＝±1时，这个函数是一次函数. (2)由题意可得 |m|＝1，m＋1＝0，解得m＝－1， 即m＝－1时，这个函数是正比例函数. 二、 求一次函数解析式 例3　已知y与x－3成正比例关系y＝k(x－3)(k≠0)，当x＝4时，y＝3. (1)写出y与x之间的函数解析式，并指出它是什么函数； (2)求x＝2.5时，y的值. 解　(1)把x＝4，y＝3代入y＝k(x－3)，得3＝k(4－3)， 解得k＝3. ∴y＝3(x－3)， ∴y＝3x－9，y是x的一次函数. (2)当x＝2.5时，y＝3×2.5－9＝－1.5. 反思感悟 将两组自变量及对应的函数值代入函数解析式中，得到关于k，b的方程组，解方程组即可. 跟踪训练3　已知y＝kx是正比例函数，且当x＝2时，y＝4. (1)求y与x的函数解析式； 解　因为函数y＝kx是正比例函数，且当x＝2时，y＝4， 所以4＝2k，解得k＝2， 所以y＝2x. 跟踪训练3　已知y＝kx是正比例函数，且当x＝2时，y＝4. (2)当x＝－时，求y的值. 解　当x＝－时，y＝2× ＝－1. 三、 一次函数的简单应用 例4　(课本P115例题)一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm. (1)求弹簧的长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式； 解　由每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm可知，挂x kg的物体时，弹簧伸长2x cm.因此，y关于x的函数解析式为y＝2x＋12. 例4　(课本P115例题)一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm. (2)当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 解　把x＝5代人y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22. 因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm. 跟踪训练4　汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升，求油箱中剩余油量y(单位：升)随行驶路程x(单位：千米)变化的函数解析式，并写出自变量x的取值范围，y是关于x的一次函数吗？ 解　剩余油量y与行驶路程x的函数解析式为y＝50－x. 自变量x的取值范围是0≤x≤. y是关于x的一次函数. 课堂小结 一次函数 形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数叫作一次函数 一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特殊情形，但一次函数不一定是正比例函数.只有当b＝0时，一次函数才是正比例函数 一次函数解析式的确定 根据实际问题抽象出一次函数解析式，同时要注意自变量的取值范围使实际问题有意义 1.下列说法正确的是 A.一次函数是正比例函数 B.正比例函数不是一次函数 C.不是正比例函数就不是一次函数 D.正比例函数是一次函数 课堂练习 √ 2.在函数①y＝2－x；②y＝8＋0.03t；③y＝1＋x＋；④y＝中，是一次函数的有　　　　(填序号).  ①② 课堂练习 3.要使y＝(m－2)xn－1＋n是关于x的一次函数，m，n应分别满足　　　　， 　　　　.  m≠2 n＝1 课堂练习 4.已知函数y＝(m－3)＋3是一次函数，求其解析式. 解　由题意得 ∴ ∴m＝－3， ∴一次函数的解析式为y＝－6x＋3. 课堂练习 5.如果长方形的周长是30 cm，长是x cm，宽是y cm. (1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？ (2)若长是宽的2倍，求长方形的面积. 解　(1)y＝15－x(0<x<15)，是一次函数. (2)由题意可得x＝2(15－x). 解得x＝10，∴y＝15－x＝5. ∴长方形的面积为10×5＝50(cm2). 课堂练习 谢谢观看 $